Sự chậm trễ trong miền thời gian có ảnh hưởng gì trong miền tần số?

Nếu tôi có tín hiệu bị giới hạn thời gian, hãy nói một hình sin chỉ tồn tại trong giây và tôi lấy FFT của tín hiệu đó, tôi thấy đáp ứng tần số. Trong ví dụ này, đây sẽ là một đột biến ở tần số chính của hình sin.$T$

Bây giờ, giả sử tôi lấy tín hiệu cùng thời gian đó và trì hoãn nó theo hằng số thời gian và sau đó lấy FFT, mọi thứ thay đổi như thế nào? FFT có thể biểu thị thời gian trễ đó không?

Tôi nhận ra rằng độ trễ thời gian biểu thị sự thay đổi trong miền tần số, nhưng tôi gặp khó khăn trong việc xác định điều đó thực sự có nghĩa là gì .$\exp(-j\omega t)$

Thực tế mà nói, miền tần số có phải là nơi thích hợp để xác định độ trễ thời gian giữa các tín hiệu khác nhau không?

Các rời rạc biến đổi Fourier (DFT) , thường được thực hiện bởi Fast Fourier Transform (FFT) , bản đồ một chuỗi hữu hạn chiều dài của mẫu miền thời gian rời rạc thành một chuỗi bằng độ dài của mẫu miền tần số. Các mẫu trong miền tần số là số phức chung; chúng đại diện cho các hệ số có thể được sử dụng trong tổng các hàm số mũ phức tạp trong miền thời gian để tái tạo tín hiệu miền thời gian ban đầu.

Các số phức này biểu thị một biên độ và pha được liên kết với từng hàm số mũ. Do đó, mỗi số trong chuỗi đầu ra FFT có thể được hiểu là:

Bạn có thể diễn giải điều này như sau: nếu bạn muốn xây dựng lại x [n], tín hiệu mà bạn đã bắt đầu, bạn có thể lấy một loạt các hàm số mũ phức tạp , trọng số của từng người bằng và tính tổng chúng. Kết quả hoàn toàn chính xác (trong phạm vi chính xác bằng số) với . Đây chỉ là một định nghĩa dựa trên từ của DFT nghịch đảo.X[k]=Akejϕkx[n$e^{\frac{j 2 \pi n k}{N}}, k = 0, 1, \ldots, N-1$$X[k] = A_k e^{j \phi_k}$$x[n]$

Vì vậy, nói với câu hỏi của bạn, các hương vị khác nhau của biến đổi Fourier có đặc tính là độ trễ trong miền thời gian ánh xạ sang sự dịch pha trong miền tần số. Đối với DFT, thuộc tính này là:

x [ n - D ] ↔ e - j 2 π k

Nghĩa là, nếu bạn trì hoãn tín hiệu đầu vào của mình bằng các mẫu , thì mỗi giá trị phức tạp trong FFT của tín hiệu được nhân với hằng số . Mọi người thường không nhận ra rằng các đầu ra của DFT / FFT là các giá trị phức tạp, bởi vì chúng thường được hình dung dưới dạng cường độ chỉ (hoặc đôi khi là cường độ và pha).e - j 2 π k $D$$e^{\frac{-j2 \pi k D}{N}}$

Chỉnh sửa: Tôi muốn chỉ ra rằng có một số sự tinh tế cho quy tắc này đối với DFT do tính chính xác của nó trong phạm vi bảo hiểm thời gian. Cụ thể, sự thay đổi trong tín hiệu của bạn phải là hình tròn để giữ mối quan hệ; nghĩa là, khi bạn trì hoãn bằng các mẫu , bạn cần bọc các mẫu cuối cùng ở cuối vào phía trước tín hiệu trễ. Điều này sẽ không thực sự khớp với những gì bạn sẽ thấy trong một tình huống thực tế khi tín hiệu chỉ không bắt đầu cho đến sau khi bắt đầu khẩu độ DFT (ví dụ như trước là số không). Bạn luôn có thể khắc phục điều này bằng cách đệm không tín hiệu gốc để khi bạn trì hoãn bằng$x[n]$$D$$D$$x[n]$$x[n]$$D$mẫu, bạn chỉ cần quấn quanh số không về phía trước nào. Mối quan hệ này chỉ áp dụng cho DFT vì nó là hữu hạn về thời gian; nó không áp dụng cho biến đổi Fourier cổ điển hoặc biến đổi Fourier thời gian rời rạc .

Gallamine,

Điều này đơn giản có nghĩa là sẽ có một pha bù trong vectơ FFT của bạn. Khi bạn FFT tín hiệu (thực) của mình, câu trả lời của bạn sẽ phức tạp, do đó bạn sẽ có phần thực và phần ảo. Nếu bạn lấy pha của chúng, (inverse_tangent (hình ảnh / thực)), điều này sẽ hiển thị tất cả các pha của tần số. Cách thức các pha của chúng khác với nếu bạn không có độ trễ có liên quan trực tiếp đến độ trễ bạn có trong thời gian.

(Trong MATLAB, bạn cũng có thể lấy pha bằng cách đơn giản là "angle (fft_result)").

Nhân tiện, nếu bạn thực hiện tương quan tín hiệu của mình với độ trễ và không chậm trễ và chọn mức cao nhất, bạn có thể nhận được độ trễ theo cách đó. Trong miền freq, nó trừ đi tất cả các pha của tín hiệu của bạn mà không có độ trễ, từ tất cả tín hiệu có độ trễ và lấy mức trung bình.

$\sin(\omega t)$$\omega$