Giới hạn của đạo hàm của hàm giới hạn dải giới hạn

Để cho $f(t)$ là một hàm với các thuộc tính:

\begin{array}{ll} t \in R & t is in reals \\ f (t) \in R for all t & f (t) is in reals \\ | f (t) | < A for all t & absolute value of f (t) is bounded above by A \\ \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- i ω t} d t = 0 for all | ω | \geq B & f (t) is band-limited by frequency B in radians \end{array}

$\begin{array}{ll} t\in\mathbf{R}&t\text{ is in reals}\\ f(t)\in\mathbf{R}\text{ for all } t&f(t)\text{ is in reals}\\ |f(t)|<A\text{ for all }t&\text{absolute value of }f(t)\text{ is bounded above by }A\\ \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \ e^{- i \omega t} \ {\rm d}t = 0\text{ for all }|\omega|\ge B&f(t)\text{ is band-limited by frequency B in radians} \end{array}$

Được $A$ và $B,$ giới hạn trên chặt chẽ để làm gì $|f'(t)|,$ giá trị tuyệt đối của đạo hàm của hàm số?

Không có gì khác được giả định về $f(t)$ hơn những gì đã được nêu ở trên. Các ràng buộc phải phù hợp với sự không chắc chắn này.

Đối với một hình sin của biên độ $A$ và tần số $B,$ giá trị tuyệt đối lớn nhất của đạo hàm là $AB.$ Tôi tự hỏi nếu đây là một giới hạn trên, và trong trường hợp đó cũng là giới hạn trên chặt chẽ. Hoặc có thể một chức năng không phải hình sin có độ dốc lớn hơn.

bandwidth derivative

— Olli Niemitalo
nguồn

Bạn đã kiểm tra điều này ?

— Tendero

@Tendero cảm ơn. Ở đó, năng lượng tín hiệu được biết đến, thay vì giá trị tuyệt đối cao nhất như trong câu hỏi của tôi.

— Olli Niemitalo

Xem câu trả lời của tôi cho ràng buộc bạn tìm kiếm. Nó nói Tổng quát hơn, một kết quả do Bernstein nói rằng nếu tần số tối đa trong một chung

x (t)

$x(t)$ giới hạn trong

[- 1, 1]

$[-1,1]$ Là

f_{0}

$f_0$ , đó là,

X (f) = 0

$X(f) = 0$ cho

| f | > f_{0}

$|f| > f_0$ , sau đó

max | \frac{d x}{d t} | \leq 2 π f_{0} .

$\max \left| \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\right| \leq 2\pi f_0.$

— Dilip Sarwate

Dựa trên phiên bản sắc nét của sự bất bình đẳng của Bernstein, từ các câu trả lời được liên kết của Dilip, câu trả lời được chỉnh sửa của MBaz và tài liệu được trích dẫn, thực sự là sắc nét (tôi gọi nó là chặt chẽ giống nhau) cho giá trị tuyệt đối tối đa của đạo hàm, đầy đủ quy mô hình sin ở chính xác giới hạn băng tần (không được cho phép nghiêm ngặt bởi các ràng buộc tôi đưa ra) làm cho bất đẳng thức trở thành một đẳng thức.

A B

$AB$

— Olli Niemitalo

Câu trả lời:

Bạn sẽ quan tâm đến sự bất bình đẳng của Bernstein, điều mà lần đầu tiên tôi biết về Lapidoth, Một nền tảng trong truyền thông kỹ thuật số (trang 92).

Với tín hiệu hoạt động tốt như bạn đã xác định ở trên (cụ thể, có thể tích hợp và được giới hạn thành và ), sau đó $f(t)$ $f(t)$ $B\,\text{Hz}$ $\text{sup}\,|f(t)| = A$

| \frac{d f (t)}{d t} | \leq 2 A B π .

$\left|\frac{\text{d}f(t)}{\text{d}t}\right| \leq 2AB\pi.$

Lưu ý rằng kết quả ban đầu của Bernstein đã thiết lập giới hạn ; sau đó, ràng buộc đó được thắt chặt thành . $4AB\pi$ $2AB\pi$

Tôi đã dành một chút thời gian để đọc "Chuỗi lượng giác" của Zygmund; tất cả tôi sẽ nói rằng đó là phương thuốc hoàn hảo cho những người dưới ấn tượng rằng họ biết lượng giác. Một sự hiểu biết đầy đủ về bằng chứng nằm ngoài kỹ năng toán học của tôi, nhưng tôi nghĩ rằng tôi có thể làm nổi bật những điểm chính.

Đầu tiên, điều mà Zygmund gọi là sự bất bình đẳng của Bernstein là kết quả hạn chế hơn. Cho đa thức lượng giác (với thực ), sau đóvới bất đẳng thức nghiêm ngặt trừ khi là đơn thức .

T (x) = \sum_{- \infty}^{\infty} c_{k} e^{j k x}

$T(x) = \sum_{-\infty}^\infty c_k e^{jkx}$

x

$x$

max_{x} | T^{'} (x) | \leq n max_{x} | T (x) |

$\max_x |T'(x)| \leq n \max_x |T(x)|$

T

$T$

A \cos (n x + α)

$A \cos(nx+\alpha)$

Để khái quát hóa điều này, chúng ta cần một kết quả sơ bộ. Hãy xem xét một hàm có trong và trong . ( là lớp các hàm tích phân loại nhiều nhất - đây là một trong những nơi toán học của tôi bắt đầu bị sờn ở các cạnh. Hiểu biết của tôi là đây là một cách nghiêm ngặt về mặt toán học nói rằng có băng thông .) $F$ $\text{E}^\pi$ $\text{L}^2$ $\text{E}^\sigma$ $\sigma$ $f=\text{IFT}\lbrace F \rbrace$ $\sigma$

Đối với bất kỳ nào như vậy, chúng ta có công thức nội suy trong đó là phức và(Đây là định lý 7.19.) $F$

F (z) = \frac{\sin (π z)}{π} F_{1} (z),

$F(z) = \frac{\sin(\pi z)}{\pi}F_1(z),$

z

$z$

F_{1} (z) = F^{'} (0) + \frac{F (0)}{π} + \sum_{n = - \infty}^{\infty}^{'} (- 1)^{n} F (n) (\frac{1}{z - n} + \frac{1}{n}) .

$F_1(z) = F'(0) + \frac{F(0)}{\pi} + \sum_{n=-\infty}^\infty {^\prime} (-1)^nF(n) \left( \frac{1}{z-n}+\frac{1}{n} \right).$

Bây giờ chúng ta có thể nêu định lý chính. Nếu:

$F$ nằm trong với $\text{E}^\sigma$ $\sigma>0$
$F$ được giới hạn trên trục thực
$M=\sup |F(x)|$ cho thực $x$

sau đó với đẳng thức có thể iff tùy ý . Chúng tôi giả sử rằng (nếu không, chúng tôi lấy thay vì .)

| F^{'} (x) | \leq σ M

$|F'(x)| \leq \sigma M$

F (z) = a e^{j σ z} + b e - j σ x

$F(z) = a e^{j\sigma z} + b e{-j\sigma x}$

a, b

$a,b$

σ = π

$\sigma=\pi$

F (z π / σ)

$F(z\pi/\sigma)$

F (z)

$F(z)$

Để chứng minh điều này, chúng tôi viết đạo hàm của bằng công thức nội suy ở trên:Đặt chúng ta sẽ có ngụ ý $F$

F^{'} (x) = F_{1} (x) \cos (π x) + \frac{\sin (π x)}{π} \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} F (n)}{(x - n)^{2}} .

$F'(x) = F_1(x)\cos(\pi x)+\frac{\sin(\pi x)}{\pi} \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{(-1)^nF(n)}{(x-n)^2}.$

x = 1 / 2

$x=1/2$

F^{'} (1 / 2) = \frac{4}{π} \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} F (n)}{(2 n - 1)^{2}}

$F'(1/2) = \frac{4}{\pi} \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{(-1)^nF(n)}{(2n-1)^2}$

| F^{'} (1 / 2) | \leq \frac{4}{π} \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{1}{(2 n - 1)^{2}} = \frac{4 M π^{2}}{4 π} = M π .

$|F'(1/2)| \leq \frac{4}{\pi} \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2} = \frac{4M\pi^2}{4\pi} = M\pi.$

Bây giờ chúng ta cần một mẹo nhỏ hay: Lấy tùy ý và xác định . Sau đó, $x_0$ $G(z) = F(x_0+z-1/2)$

| F^{'} (x_{0}) | = | G^{'} (1 / 2) | \leq M π .

$|F'(x_0)| = |G'(1/2)| \leq M\pi.$

(TODO: Hiển thị bằng chứng cho trường hợp đẳng thức. Xác định .) $\sum \prime$

— MBaz
nguồn

@OlliNiemitalo Như đã chỉ ra trong câu trả lời MattL, những hình sin có tối đa phát sinh . Điều này đáp ứng ràng buộc của Bernstein, như đã nêu trong câu trả lời của tôi ở đây trên dsp.SE (được trích dẫn trong một nhận xét về câu hỏi của bạn) và trong câu trả lời của tôi về math.SE mà bạn tìm thấy, với sự bình đẳng.

\sin (2 π B t)

$\sin(2\pi Bt)$

2 π B

$2\pi B$

— Dilip Sarwate

@OlliNiemitalo Tôi tìm thấy bằng chứng được đưa ra bởi Pinksy ở đây (Tôi hy vọng liên kết đó hoạt động!). Anh ấy chắc chắn sử dụng làm ràng buộc, không phải .

4 A B π

$4AB\pi$

2 A B π

$2AB\pi$

— MBaz

@MBaz Liên kết của bạn thực sự hoạt động! Ở cuối phần 2.3.8, họ nói rằng phiên bản bất bình đẳng nổi tiếng nhất của Bernstein có yếu tố 2 thay vì 4, rất sắc nét và để biết thêm chi tiết, hãy tham khảo Zygmund (1959) Vol. 2, tr. 276. Tôi nghĩ đó là Zygmund, A. Chuỗi lượng giác. Tái bản lần 2 Tập II. Nhà xuất bản Đại học Cambridge, New York 1959.

— Olli Niemitalo

RP Boas, Một số định lý về biến đổi Fourier và liên hợp tích phân lượng giác , Giao dịch của Hiệp hội toán học Hoa Kỳ 40 (2), 287-308, 1936 trích dẫn các bài báo có liên quan của Bernstein, Szegö và Zygmund, đã bị ràng buộc Tôi có thể kể.

— Olli Niemitalo

@OlliNiemitalo Tuyệt vời! Tôi đã bỏ lỡ ghi chú đó ở cuối phần 2.3.8. Tôi sẽ cập nhật câu trả lời của tôi. Ngoài ra: cuốn sách của Zygmund nằm trong thư viện của trường đại học của tôi, nhưng nó không trực tuyến. Tôi sẽ lấy nó ra vào ngày mai và xem những gì nó nói.

— MBaz

Nói chung, bạn sẽ nhận được một cái gì đó như thế này, nhưng nó có thể không chặt chẽ:

\begin{aligned} | f^{'} (t) | & = | \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} j ω F (j ω) e^{- j ω t} d ω | \\ \leq \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} | ω | | F (j ω) | d ω \\ = \frac{1}{2 π} \int_{- ω_{c}}^{ω_{c}} | ω | | F (j ω) | d ω \\ \leq \frac{| ω_{c} |}{2 π} \int_{- ω_{c}}^{ω_{c}} | F (j ω) | d ω \\ (1) & = \frac{ω_{c}}{π} \int_{0}^{ω_{c}} | F (j ω) | d ω \end{aligned}

$\begin{align}|f'(t)|&=\left|\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}j\omega F(j\omega)e^{-j\omega t}d\omega\right|\\&\le \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|\omega||F(j\omega)|d\omega\\&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_c}^{\omega_c}|\omega||F(j\omega)|d\omega\\&\le \frac{|\omega_c|}{2\pi}\int_{-\omega_c}^{\omega_c}|F(j\omega)|d\omega\\&=\frac{\omega_c}{\pi}\int_{0}^{\omega_c}|F(j\omega)|d\omega\tag{1}\end{align}$

Giới hạn trên củatất nhiên là ẩn trong. $|f(t)|$ $|F(j\omega)|$

Đối với hình sin , cung cấp cho như một giới hạn trên, như mong đợi. $A\sin(\omega_ct)$ $(1)$ $A\omega_c$

— Matt L
nguồn

@Olli Niemitalo, tôi đã bắt nguồn từ trường hợp hình sin Tôi nghĩ đây là trường hợp chung mà chúng tôi đang xem xét. Cảm ơn Matt L.

— MimSaad