Trực giác đằng sau tính giao hoán của tích chập trong các hệ thống LTI

Tại sao tích chập giao hoán, vì nó dường như xử lý hai tín hiệu theo một cách khác nhau trong một hệ thống LTI?

Nếu bạn tưởng tượng với là tín hiệu đầu vào và là đáp ứng xung của hệ thống LTI A, thì nó có ý nghĩa như thế nào với hệ thống LTI B với đầu vào và đáp ứng xung tạo ra cùng một đầu ra ?$y[n] = x[n] \star h[n]$$x[n]$$h[n]$$h[n]$$x[n]$$y[n]$

Trong một hệ thống thời gian riêng biệt như hệ thống mà bạn có, số (ở đây là một số nguyên cố định) là tổng của dạng có thể được sắp xếp lại thông qua thay đổi biến (thay bằng ) thànhVì vậy, tính giao hoán của tích chập là không đáng kể. Vấn đề là sự giải thích mà bạn đưa vào nó. Như câu trả lời của Laurent Duval / s chỉ ra, các hệ thống A và B không tương đương với bất kỳ ý nghĩa nào của thuật ngữ này. Nếu tín hiệu$y[n_0]$$n_0$

$$\sum_{k=-\infty}^\infty h[k]x[n_0-k]$$ $k$$n_0-\ell$ $$\sum_{\ell=-\infty}^\infty h[n_0-\ell]x[\ell].$$ $x$đã được thay thế bằng một tín hiệu khác , sau đó hệ thống A sẽ có đầu ra , nhưng bạn sẽ không nhận được cùng một đầu ra nếu hệ thống B bị kích thích bởi ; đáp ứng xung của hệ thống B tiếp tục là và hệ thống B do đó có đầu ra .$\hat{x}$$\hat{y} = h \star \hat{x}$$\hat{y}$$h$$x$$x \star \hat{x} = \hat{x}\star x \neq h \star \hat{x}$

Hãy tưởng tượng một hệ thống chấp nhận một số làm đầu vào của nó và nó nhân số đó với một số . Bạn có ngạc nhiên không khi một hệ thống khác nhân số đầu vào của nó với số cho cùng một đầu ra với hệ thống đầu tiên khi được cung cấp với số là đầu vào? Nếu không, thì cũng không nên ngạc nhiên khi đầu ra của hệ thống LTI có đáp ứng xung và đầu vào cho cùng một đầu ra như một hệ thống LTI khác có đáp ứng xung và đầu vào .$x$$h$$x$$h$$h[n]$$x[n]$$x[n]$$h[n]$

Hoặc, trong ngôn ngữ toán học, cho trường hợp thời gian rời rạc:

$$(x\star h)[n]=\sum_kx[k]h[n-k]\;{\Big|}_{m=n-k}=\sum_mx[n-m]h[m]=(h\star x)[n]$$

Hãy nghĩ về tích chập khi lấy một số bản sao bị trễ của gộp lại với nhau, mỗi bản có biên độ được đọc từ mục nhập của tại độ trễ đó. Chúng ta hãy hình dung nó với các tín hiệu xung động thưa thớt: _{(Bỏ qua sự thay đổi theo chiều dọc, đó chỉ là để làm xáo trộn cốt truyện)}$x\star h$$x$$h$

Bây giờ, nếu bạn quay lại tích chập, tất cả những thay đổi đó là khái niệm về độ trễ thời gian là độ trễ của tín hiệu, và đơn giản là thời gian của tín hiệu gốc. Bạn kết thúc với kết quả tương tự.

Mã nguồn (Haskell với cốt truyện động ):

import Graphics.Dynamic.Plot.R2
import Control.Monad
import Data.List
import System.Random

main :: IO ()
main = do
   -- Times of the impulses in signal 𝑥
   txs <- scanl (+) 0 <$> replicateM 16 (randomRIO (0,0.1))
   -- Amplitudes of the impulses in 𝑥
   xs <- replicateM 8 (randomRIO (0,1))
   -- Times of the echoes in convolution kernel ℎ
   ths <- scanl (+) 0 <$> replicateM 16 (randomRIO (0,0.4))
   -- Amplitudes of the echoes in ℎ
   hs <- (1:) <$> replicateM 9 (randomRIO (0,1.0))

   plotWindow [plotLatest
     [ plotDelay 0.5 $ plotMultiple
    [ legendName name $ lineSegPlot
                             [(t,y+y0) | (t,x) <- sig, y<-[0,x,0]]
        | (    sig,                     name,   y0 ) <-
           [ ( zip txs xs,              "𝑥" ,   0  )
           , ( zip ths hs',             "ℎ" ,   1  )
           , ( [ (tx+th,x*h)
               | (tx,x)<-zip txs xs
               , (th,h)<-zip ths hs' ], "𝑥⋆ℎ", 0.5 )
           ]
        ]
      | hs' <- cycle . tail $ inits hs]
    , xInterval (0,2) ]
   return ()

Tôi rất khuyến nghị ¹ xác định tích chập theo một cách hơi khác, cụ thể là:

$$(x\star h)[n]=\sum_{i+j=n}x[i]h[j]$$

Bạn có thể thấy rằng đây chỉ là định nghĩa chuẩn với sự thay đổi của các biến, tức là chọn . (Bạn cần phải rõ ràng hơn một chút về phạm vi và đang chạy, nghĩa là nó sẽ tạo ra sự khác biệt nếu so với )$j=n-i$$i$$j$$i,j\in\mathbb N$$i,j\in\mathbb Z$

Định nghĩa này làm cho giao hoán rõ ràng. Tuy nhiên, một quan điểm khác về điều này là nếu bạn có đa thức và một đa thức và bạn nhân chúng thành đa thức , , bạn nhận được (Điều này khái quát cho chuỗi lũy thừa chính thức.) Chỉ cần tự viết ra phép nhân trong một số ví dụ để xác minh điều này và có thể chứng minh nó theo quy nạp. Quan điểm này một lần nữa làm cho giao hoán hoàn toàn rõ ràng. Phối cảnh này cũng làm cho định lý tích chập cho biến đổi Z cũng khá rõ ràng.$X(z)=\sum_i x[i]z^i$$H(z)=\sum_i h[i]z^i$$X(z)H(z)$

$$X(z)H(z)=\sum_i (x\star h)[i]z^i$$

¹ Tôi đã viết cả một bài blog về điều này.

Để bổ sung cho các câu trả lời trước đó, hầu như không nhìn vào đầu ra không cho phép bạn xác định những gì bạn có là chức năng đầu vào / hệ thống. Lấy ví dụ các hệ thống (kết nối) sau đây tạo ra tất cả cùng một đầu ra.

---

Đối với hệ thống trên, chúng ta có:

$$y[n] = (x \star h) [n]$$ $$Y(z) = X(z). H(z) = H(z) . X(z)$$

---

Đối với hệ thống trên, chúng ta có:

$$y[n] = ((\delta \star x) \star h) [n]$$ $$Y(z) = 1 . X(z) . H(z) = X(z). H(z) = H(z). X(z)$$

---

Đối với hệ thống trên, chúng ta có:

$$y[n] = ((\delta \star \alpha x) \star \frac{1}{\alpha} h) [n]$$ $$Y(z) = 1. \alpha X(z) . \frac{1}{\alpha} H(z) = X(z). H(z) = H(z). X(z)$$

---

Tất nhiên, rất nhiều sự kết hợp khác cho kết quả tương tự là có thể, bao gồm cả việc hoán đổi vai trò của và .$h[n]$$x[n]$

Lưu ý rằng quan sát này là mối quan tâm chính của trường được gọi là nhận dạng hệ thống mù : thử xác định đầu vào và / hoặc chức năng hệ thống chỉ sử dụng dữ liệu đầu ra.

Vì chúng tôi không thể giải quyết vấn đề như đã nêu, cần thêm thông tin phụ (ví dụ: thống kê đầu ra), các kênh đa dạng hơn (để bù cho các số 0, tức là tần số mà không tín hiệu nào có thể đi qua) và tín hiệu đầu vào đủ phong phú có thể hữu ích cho việc phục hồi chức năng hệ thống.

Để có một trực giác cho câu hỏi của bạn như

Tại sao tích chập giao hoán, vì nó dường như xử lý hai tín hiệu theo một cách khác nhau trong một hệ thống LTI?

xem là đầu ra của hai hệ thống LTI nối tiếp. Bạn có thể trao đổi chúng, áp dụng cái thứ hai rồi cái thứ nhất; đó là giao hoán. Ngoài ra, nếu cả và đều có cùng dải tần số (hoặc vô hạn) thì chúng ta có thể phục hồi chúng (lên tới phép nhân vô hướng), nếu không, chúng ta chắc chắn sẽ mất một số tần số và tổng số phục hồi không khả thi.$Y(z)=X(z)H(z)$$X(z)$$H(z)$

Có sự khác biệt cơ bản về khái niệm giữa tín hiệu và hệ thống . Tôi sẽ giải thích điều này thông qua ý tưởng về tính nhất quán của đơn vị (xem ví dụ). Tuy nhiên, đối với các hệ thống LTI, tín hiệu và hệ thống trở thành kép thông qua tích chập, vì sau này là giao hoán. Hai lạc đề đầu tiên, do được đề cập trong câu trả lời @Dilip Sarwate .

• Phân tích 1: Các hệ thống LTI có thể có cùng một đầu ra cho các tín hiệu khác nhau

Nếu hai hệ thống khác nhau cung cấp cùng một đầu ra cho một số tín hiệu đầu vào, điều này có nghĩa là chúng chia sẻ một số thuộc tính. Nhưng nếu đầu ra của chúng bằng nhau cho tất cả các đầu vào, thì về cơ bản chúng có cùng đáp ứng xung và chúng hầu như là cùng một hệ thống.

Ví dụ, hãy tưởng tượng bạn có một sin đầu vào ở tần số . Nếu cả hai hệ thống đều cắt tần số trên , cả hai đều có cùng hành vi đối với tín hiệu đó, nhưng chúng có thể là hai hệ thống thông thấp khác nhau, cần nhiều tín hiệu hơn để phân biệt chúng.$f$$f-\epsilon$

• Phân tích 2: hai tín hiệu đầu vào khác nhau có thể có cùng một đầu ra thông qua một hệ thống LTI nhất định

Chẳng hạn, tín hiệu không đổi bằng một hoặc tín hiệu 2 chu kỳ với các giá trị { } tạo ra cùng một đầu ra cho các trình quay phim bảo vệ .$2,0$$2n$

Quay lại câu hỏi của bạn . Một hệ thống biến đầu vào thành đầu ra , tương ứng với các đơn vị vật lý và . Vì vậy, một hệ thống có thể được xem như là một bộ chuyển đổi đơn vị, chính thức với đơn vị bên trong . Nói chung, hệ thống là "cố định", trong khi đầu vào của tôi khác nhau. Vì vậy, không có lý do tại sao và phải đóng vai trò giống nhau.$\mathcal{S}$$X$$Y$$u_X$$u_Y$$u_Y/u_X$$\mathcal{S}$$X$

Tuy nhiên, khi xem xét các hệ thống LTI, các thuộc tính hệ thống đột nhiên có thể được chuyển sang tín hiệu bằng cách nào đó và ngược lại (miễn là tích chập được xác định rõ). Điều này có liên quan đến thực tế là tích chập đi lại với ca. Để đơn giản, hãy tưởng tượng một hệ thống "ba chạm", với phản hồi . Bạn có thể trực tiếp chuyển đổi ngân hàng này thành ngân hàng bộ lọc ba băng tần, với một đầu vào duy nhất và các câu trả lời tương ứng , và . Mỗi chi nhánh chỉ cung cấp, cho mỗi đầu vào, một hệ số tỷ lệ và độ trễ.$z$$h_{l}z^{-l}+h_{m}z^{-m}+h_{n}z^{-n}$$h_{l}z^{-l}$$h_{m}z^{-m}$$h_{n}z^{-n}$

Nhưng điều tương tự cũng xảy ra với các tín hiệu: mỗi đầu vào có thể được chia thành các thành phần vô hướng:$x=\{\ldots,x_{l},\ldots,x_{m},\ldots,x_{n},\ldots\}$

$$x=\ldots+x_{l}\delta_{l}+\ldots+x_{m}\delta_{m}+x_{n}\delta_{n}+\ldots$$ trong đó biểu thị Kronecker Biểu tượng. Do tính tuyến tính, mỗi thành phần có thể được cung cấp thông qua hệ thống tuyến tính. Khi mọi thứ (tín hiệu và hệ thống) được phân chia theo cách này, các tính toán chỉ là một bó trải qua một vài , về cơ bản là các hoạt động giống nhau: một yếu tố / biên độ và mẫu trễ / toán tử trễ. Nói cách khác, đi qua mang lại kết quả tương tự như đi qua , vì sản phẩm$\delta_{\cdot}$$x_{k}\delta_{k}$$h_{i}z^{-i}$$x_{k}\delta_{k}$$h_{i}z^{-i}$$h_{k}\delta_{k}$$x_{i}z^{-i}$$h_{k}x_{i}$ là giao hoán (và duy trì tính nhất quán của đơn vị) và cũng trì hoãn đi lại.

Nói cách khác, LTI chỉ mang lại tổng trọng số với trọng số trên các mẫu đầu vào của : , có thể được đọc cũng như tổng số có trọng số trên các mẫu đầu vào của : . Đối với tính nhất quán đơn vị, người ta nên chuyển đổi đơn vị của và .$h$$x$$\sum h_i x_{k-i}$$x$$h$$\sum x_i h_{k-i}$$x$$h$

Khả năng thay thế lẫn nhau giữa các tín hiệu và hệ thống trong LTI dường như đang hoạt động (thoạt nhìn) trong biểu thức polyphase / điều chế của các ngân hàng bộ lọc hoặc trong bộ lọc phù hợp.

Bạn đúng rồi. Thật vô lý khi nghĩ rằng đáp ứng xung của hệ thống LTI có thể được thay thế bằng tín hiệu đầu vào và ngược lại và chúng vẫn tạo ra kết quả tương tự.

Ví dụ, hãy xem xét bộ lọc thông thấp có đáp ứng xung IIR được cung cấp bởi các mẫu của dạng sóng lời nói để tạo ra một bản án được lọc thông thấp của lời nói. Tuy nhiên, việc hoán đổi vai trò của lời nói đầu vào và hệ thống LTI thúc đẩy resoponse biến thành một điều phi lý trong một môi trường thực tế.$h[n]$$x[n]$$h[n]$

Tuy nhiên, đó là về mặt toán học. Và bạn thậm chí có thể tìm thấy ứng dụng ví dụ có thể mang lại lợi ích của việc trao đổi như vậy. Một lời giải thích toán học được đưa ra trong câu trả lời của Matt.