Điều gì có nghĩa là đáp ứng xung lực của hệ thống

Bất cứ ai cũng có thể nói sự khác biệt giữa đáp ứng tần số và đáp ứng xung trong tiếng Anh đơn giản?

Các đáp ứng xung và đáp ứng tần số là hai thuộc tính này rất hữu ích cho việc mô tả thời gian bất biến tuyến tính (LTI) hệ thống. Chúng cung cấp hai cách khác nhau để tính toán đầu ra của hệ thống LTI cho tín hiệu đầu vào cụ thể. Một hệ thống LTI thời gian liên tục thường được minh họa như thế này:

Nói chung, hệ thống ánh xạ tín hiệu đầu vào thành tín hiệu đầu ra tương ứng . Có nhiều loại hệ thống LTI có thể áp dụng các biến đổi rất khác nhau cho các tín hiệu đi qua chúng. Nhưng, tất cả đều có chung hai đặc điểm chính:$H$$x(t)$$y(t)$

• Hệ thống này là tuyến tính , vì vậy nó tuân theo nguyên tắc chồng chất . Nói một cách đơn giản, nếu bạn kết hợp tuyến tính hai tín hiệu và đưa chúng vào hệ thống, đầu ra là kết hợp tuyến tính giống nhau của những gì đầu ra sẽ có các tín hiệu được truyền riêng lẻ. Nghĩa là, nếu bản đồ đến công suất và bản đồ đến công suất , sau đó cho tất cả các giá trị của và ,$x_1(t)$$y_1(t)$$x_2(t)$$y_2(t)$$a_1$$a_2$

$$H\{a_1 x_1(t) + a_2 x_2(t)\} = a_1 y_1(t) + a_2 y_2(t)$$

• Hệ thống này là bất biến theo thời gian , vì vậy đặc điểm của nó không thay đổi theo thời gian. Nếu bạn thêm độ trễ cho tín hiệu đầu vào, thì bạn chỉ cần thêm độ trễ tương tự vào đầu ra. Đối với tín hiệu đầu vào ánh xạ tới tín hiệu đầu ra , sau đó cho tất cả các giá trị của ,$x(t)$$y(t)$$\tau$

$$H\{x(t - \tau)\} = y(t - \tau)$$

Các hệ thống LTI thời gian rời rạc có cùng tính chất; ký hiệu là khác nhau vì sự khác biệt rời rạc so với liên tục, nhưng chúng rất giống nhau. Những đặc điểm này cho phép hoạt động của hệ thống được đặc trưng đơn giản bằng cách sử dụng các đáp ứng xung và tần số của nó. Họ cung cấp hai quan điểm về hệ thống có thể được sử dụng trong các bối cảnh khác nhau.

Đáp ứng xung:

Sự thúc đẩy được đề cập trong thuật ngữ đáp ứng xung nói chung là tín hiệu miền thời gian ngắn. Đối với các hệ thống thời gian liên tục, đây là hàm delta Dirac , trong khi đối với các hệ thống thời gian rời rạc, hàm delta Kronecker thường được sử dụng. Đáp ứng xung của hệ thống (thường được chú thích là cho các hệ thống thời gian liên tục hoặc cho các hệ thống thời gian rời rạc) được định nghĩa là tín hiệu đầu ra dẫn đến khi một xung được áp dụng cho đầu vào hệ thống.$\delta(t)$ $\delta[n]$$h(t)$$h[n]$

Tại sao điều này hữu ích? Nó cho phép chúng ta dự đoán đầu ra của hệ thống sẽ trông như thế nào trong miền thời gian. Ghi nhớ các thuộc tính tuyến tính và thời gian bất biến được đề cập ở trên? Nếu chúng ta có thể phân tách tín hiệu đầu vào của hệ thống thành một nhóm các thành phần, thì đầu ra bằng tổng đầu ra của hệ thống cho từng thành phần đó. Điều gì xảy ra nếu chúng ta có thể phân tách tín hiệu đầu vào của mình thành một tổng các xung theo tỷ lệ và thay đổi theo thời gian? Sau đó, đầu ra sẽ bằng tổng số bản sao của đáp ứng xung, được chia tỷ lệ và thay đổi thời gian theo cùng một cách.

Đối với các hệ thống thời gian rời rạc, điều này là có thể, bởi vì bạn có thể viết bất kỳ tín hiệu dưới dạng tổng của các hàm delta Kronecker được điều chỉnh và thay đổi theo thời gian:$x[n]$

$$x[n] = \sum_{k=0}^{\infty} x[k] \delta[n - k]$$

Mỗi thuật ngữ trong tổng là một xung được chia tỷ lệ theo giá trị của tại thời điểm đó ngay lập tức. Chúng ta sẽ nhận được gì nếu chúng ta vượt qua thông qua hệ thống LTI để mang lại ? Đơn giản: mỗi xung được chia tỷ lệ và trễ theo thời gian mà chúng ta đưa vào mang lại một bản sao được thu nhỏ và trễ theo thời gian của đáp ứng xung ở đầu ra. Đó là:$x[n]$$x[n]$$y[n]$

$$y[n] = \sum_{k=0}^{\infty} x[k] h[n-k]$$

trong đó là đáp ứng xung của hệ thống. Phương trình trên là định lý tích chập cho các hệ thống LTI thời gian rời rạc. Nghĩa là, đối với bất kỳ tín hiệu nào được đưa vào hệ thống LTI, đầu ra của hệ thống bằng với tích chập riêng của tín hiệu đầu vào và đáp ứng xung của hệ thống.$h[n]$$x[n]$$y[n]$

Đối với các hệ thống thời gian liên tục, việc phân tách đơn giản ở trên không thể thực hiện theo nghĩa toán học nghiêm ngặt (đồng bằng Dirac có chiều rộng bằng không và chiều cao vô hạn), nhưng ở cấp độ kỹ thuật, đó là cách nhìn gần đúng, trực quan về vấn đề. Một định lý tích chập tương tự giữ cho các hệ thống này:

$$y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t - \tau) d\tau$$

trong đó, một lần nữa, là đáp ứng xung của hệ thống. Có một số cách để tạo ra mối quan hệ này (Tôi nghĩ rằng bạn có thể đưa ra một lập luận tương tự như trên bằng cách tuyên bố rằng các hàm delta Dirac mọi lúc tạo nên một cơ sở trực giao cho không gian Hilbert , lưu ý rằng bạn có thể sử dụng Thuộc tính sàng lọc của hàm delta để chiếu bất kỳ hàm nào trong lên cơ sở đó, do đó cho phép bạn biểu thị các đầu ra của hệ thống theo các đầu ra được liên kết với cơ sở (tức là các đáp ứng xung thay đổi theo thời gian), nhưng tôi không phải là nhà toán học được cấp phép, vì vậy tôi sẽ để nó qua một bên). Một phương pháp chỉ dựa trên các thuộc tính hệ thống LTI đã nói ở trên được hiển thị ở đây .$h(t)$$L^2$$L^2$

Tóm lại: Đối với cả hai hệ thống thời gian rời rạc và liên tục, đáp ứng xung rất hữu ích vì nó cho phép chúng ta tính toán đầu ra của các hệ thống này cho bất kỳ tín hiệu đầu vào nào; đầu ra chỉ đơn giản là tín hiệu đầu vào được tích hợp với chức năng đáp ứng xung.

Phản hồi thường xuyên:

Đáp ứng tần số của hệ thống LTI cung cấp một chức năng tương tự: nó cho phép bạn tính toán hiệu ứng mà hệ thống sẽ có đối với tín hiệu đầu vào, ngoại trừ các hiệu ứng này được minh họa trong miền tần số . Nhắc lại định nghĩa của biến đổi Fourier :

$$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j 2 \pi ft} dt$$

Quan trọng hơn vì lợi ích của minh họa này, hãy nhìn vào nghịch đảo của nó:

$$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) e^{j 2 \pi ft} df$$

Về bản chất, mối quan hệ này cho chúng ta biết rằng bất kỳ tín hiệu miền thời gian cũng có thể được chia thành một tổ hợp tuyến tính của nhiều hàm số mũ phức tạp ở các tần số khác nhau (có một mối quan hệ tương tự cho các tín hiệu thời gian rời rạc được gọi là Fourier thời gian rời rạc biến đổi ; tôi chỉ xử lý trường hợp thời gian liên tục dưới đây cho đơn giản). Đối với tín hiệu miền thời gian , biến đổi Fourier mang lại hàm tương ứng chỉ định, với mỗi tần số , hệ số tỷ lệ áp dụng cho hàm mũ phức tạp ở tần số$x(t)$$x(t)$$X(f)$$f$$f$trong sự kết hợp tuyến tính nói trên. Những yếu tố tỷ lệ này, nói chung, số phức. Một cách để xem các số phức là ở định dạng biên độ / pha, đó là:

$$X(f) = A(f) e^{j \phi(f)}$$

Nhìn theo cách này, sau đó, có thể được viết dưới dạng kết hợp tuyến tính của nhiều hàm số mũ phức tạp, mỗi hàm được biên độ theo hàm và được dịch theo pha bởi hàm . Điều này phù hợp với các thuộc tính hệ thống LTI mà chúng ta đã thảo luận trước đây; nếu chúng ta có thể phân tách tín hiệu đầu vào thành một tổ hợp tuyến tính của một loạt các hàm số mũ phức tạp, thì chúng ta có thể viết đầu ra của hệ thống dưới dạng kết hợp tuyến tính tương tự của đáp ứng hệ thống với các hàm số mũ phức tạp đó.$x(t)$$A(f)$$\phi(f)$$x(t)$

Đây là nơi nó trở nên tốt hơn: các hàm số mũ là các hàm riêng của các hệ thống bất biến thời gian tuyến tính. Ý tưởng là, tương tự như các hàm riêng trong đại số tuyến tính, nếu bạn đặt một hàm số mũ vào một hệ thống LTI, bạn sẽ nhận được hàm số mũ tương tự, được chia theo giá trị (nói chung là phức tạp). Điều này có tác dụng thay đổi biên độ và pha của hàm số mũ mà bạn đặt vào.

Điều này vô cùng hữu ích khi kết hợp với phân tách dựa trên biến đổi Fourier đã thảo luận ở trên. Như chúng ta đã nói trước đây, chúng ta có thể viết bất kỳ tín hiệu dưới dạng kết hợp tuyến tính của nhiều hàm số mũ phức tạp ở các tần số khác nhau. Nếu chúng ta truyền vào một hệ thống LTI, thì (vì các số mũ đó là các hàm riêng của hệ thống), đầu ra chứa các hàm mũ phức tạp ở cùng tần số, chỉ được điều chỉnh theo biên độ và dịch chuyển theo pha. Những ảnh hưởng này đối với biên độ và pha của số mũ, như là một hàm của tần số, là đáp ứng tần số của hệ thống . Nghĩa là, đối với tín hiệu đầu vào có biến đổi Fourier được truyền vào hệ thống để tạo ra đầu ra có biến đổi Fourier$x(t)$$x(t)$$X(f)$$H$$Y(f)$,

$$Y(f) = H(f) X(f) = A(f) e^{j \phi(f)} X(f)$$

Tóm lại: Vì vậy, nếu chúng ta biết đáp ứng tần số của hệ thống và biến đổi Fourier của tín hiệu mà chúng ta đặt vào nó , thì việc tính toán biến đổi Fourier của đầu ra của hệ thống là điều đơn giản; nó chỉ là sản phẩm của đáp ứng tần số và biến đổi tín hiệu đầu vào. Đối với mỗi tần số mũ phức tạp có trong phổ , hệ thống có tác dụng chia tỷ lệ theo hàm mũ theo biên độ của và dịch chuyển số mũ theo pha theo radian.$H(f)$$X(f)$$X(f)$$A(f)$$\phi(f)$

Mang chúng lại với nhau:

Đáp ứng xung và tần số đáp ứng của hệ thống LTI có liên quan mật thiết với nhau. Đáp ứng tần số chỉ đơn giản là biến đổi Fourier của đáp ứng xung của hệ thống (để xem tại sao mối quan hệ này giữ, hãy xem câu trả lời cho câu hỏi khác này ). Vì vậy, đối với hệ thống thời gian liên tục:

$$H(f) = \int_{-\infty}^{\infty} h(t) e^{-j 2 \pi ft} dt$$

Vì vậy, với đáp ứng xung của hệ thống hoặc đáp ứng tần số của hệ thống, bạn có thể tính toán khác. Một trong hai là đủ để mô tả đầy đủ hành vi của hệ thống; đáp ứng xung rất hữu ích khi hoạt động trong miền thời gian và đáp ứng tần số rất hữu ích khi phân tích hành vi trong miền tần số.

Bang một cái gì đó sắc nét một lần và vẽ cách nó phản ứng trong miền thời gian (như với máy hiện sóng hoặc máy vẽ bút). Điều đó sẽ gần với phản ứng thúc đẩy.

Nhận một máy phát âm và rung một cái gì đó với tần số khác nhau. Một số tần số cộng hưởng nó sẽ khuếch đại. Những người khác nó có thể không đáp ứng gì cả. Vẽ kích thước đáp ứng và pha so với tần số đầu vào. Điều đó sẽ gần với đáp ứng tần số.

Đối với một số loại hệ thống phổ biến nhất định (trong đó hệ thống không thay đổi nhiều theo thời gian và bất kỳ phi tuyến tính nào cũng đủ nhỏ để bỏ qua cho mục đích hiện tại), hai phản hồi có liên quan và có thể áp dụng biến đổi Laplace hoặc Fourier để gần đúng mối quan hệ.

Đáp ứng xung là phản ứng của một hệ thống đối với một xung có thời gian và năng lượng đơn vị vô hạn nhỏ (một xung Dirac). Đáp ứng tần số cho thấy mỗi tần số bị suy giảm hoặc khuếch đại bởi hệ thống.

Đáp ứng tần số của một hệ thống là đáp ứng xung được chuyển đổi sang miền tần số. Nếu bạn có đáp ứng xung, bạn có thể sử dụng FFT để tìm đáp ứng tần số và bạn có thể sử dụng FFT nghịch đảo để chuyển từ đáp ứng tần số sang đáp ứng xung.

Một thời gian ngắn, chúng ta có hai loại phản ứng cơ bản: đáp ứng thời gian và đáp ứng tần số . Thời gian đáp ứng kiểm tra cách hệ thống hoạt động với nhiễu loạn tạm thời trong khi đáp ứng tần số kiểm tra nó với nhiễu liên tục. Phản ứng thời gian chứa những thứ như phản ứng bước, phản ứng lan man và phản ứng thúc đẩy . Đáp ứng tần số chứa phản ứng hình sin .

Đại học Aalto có một số tài liệu khóa học Mat-2.4129 miễn phí tại đây , hầu hết có liên quan có lẽ là các tệp Matlab vì hầu hết mọi thứ bằng tiếng Phần Lan. Nếu bạn quan tâm hơn, bạn có thể kiểm tra các video dưới đây để xem video giới thiệu. Tôi thấy họ hữu ích cho bản thân mình.

Tôi chỉ có kiến ​​thức rất cơ bản về các vấn đề LTI vì vậy tôi sẽ đề cập đến chúng bên dưới - nhưng chắc chắn có nhiều loại vấn đề khác nhau hơn nhiều!

Phản hồi với các vấn đề bất biến theo thời gian tuyến tính

Với các vấn đề LTI (bất biến thời gian tuyến tính), đầu vào và đầu ra phải có cùng dạng: đầu vào hình sin có đầu ra hình sin và kết quả đầu vào bước tương tự vào đầu ra bước. Nếu bạn không có hệ thống LTI - giả sử bạn có phản hồi hoặc kiểm soát / tiếng ồn và tương quan đầu vào của bạn - thì tất cả các xác nhận trên có thể sai. Với LTI, bạn sẽ nhận được hai loại thay đổi: thay đổi pha và thay đổi biên độ nhưng tần số vẫn giữ nguyên. Nếu bạn phá vỡ một số giả định, giả sử với giả định không tương quan, thì đầu vào và đầu ra có thể có các hình thức rất khác nhau.

Nếu bạn cần điều tra xem một hệ thống có LTI hay không, bạn có thể sử dụng công cụ như phương trình Wiener-Hopf và phân tích tương quan. Phương trình Wiener-Hopf được sử dụng với các hệ thống nhiễu. Điều cần thiết là xác nhận kết quả và xác minh các cơ sở, nếu không, dễ dàng phạm sai lầm với các phản ứng khác nhau. Thông tin thêm về việc xác định đáp ứng xung với hệ thống ồn ào ở đây .

Người giới thiệu

1. Wikipedia bài viết về LTI ở đây

2. Các video giới thiệu rất hay về các phản hồi khác nhau ở đây và đây - một vài điểm chính dưới đây.