Làm thế nào để khu vực hội tụ của -transform 's hoạt động?

Tôi là người mới làm việc trong DSP và tôi có một vài nghi ngờ về -transform và khu vực hội tụ (ROC) của nó.$\mathcal Z$

Tôi biết một dạng toán học là gì. Nhưng tôi gặp khó khăn trong việc hiểu ROC. Trước hết tôi có một số nhầm lẫn với và . Tôi dễ dàng bị bắt bằng cách trao đổi các điều khoản này. Tôi biết ROC xác định vùng nơi tồn tại dạng -transform. Từ trang web và sách của tôi nói rằng:$\mathcal Z$$X(z)$$x(z)$$\mathcal Z$

Nếu là một chuỗi thời gian hữu hạn, thì ROC là toàn bộ mặt phẳng , ngoại trừ có thể hoặc . Chuỗi thời gian hữu hạn là một chuỗi không khác nhau trong một khoảng hữu hạn$x[n]$$z$$z = 0$$\lvert z\rvert = \infty$$n_1 \le n \le n_2$

Và sau đó nó nói:

Khi sẽ có một thuật ngữ và do đó ROC sẽ không bao gồm . Khi thì tổng sẽ là vô hạn và do đó ROC sẽ không bao gồm .$n_2 > 0$$z^{-1}$$z=0$$n_1 < 0$$\lvert z\rvert=\infty$

Đây là nơi tôi bị mắc kẹt!. Những gì họ cố gắng nói trong dòng trên " Khi sẽ có một thuật ngữ và do đó ROC sẽ không bao gồm$n_2 > 0$$z^{-1}$$z=0$ " Ý nghĩa của gì? Có phải chúng thay thế bằng , nếu vậy trong phương trình nào?$z=0$$z$$0$

Làm thế nào để chúng ta tính toán vùng hội tụ cho một chuỗi vô hạn?

Thành thật mà nói, tôi nghĩ rằng lý thuyết đằng sau biến đổi Z cũng không rõ ràng ở trường đại học. Nhìn nhận lại, tham gia một khóa học về phân tích phức tạp sẽ làm cho nó rõ ràng hơn. Và tôi cũng không thích các quy ước công chứng dường như được sử dụng cho công cụ này. Nói đúng ra, thông thường ước ở đây là

• $x[n]$ biểu thị một chuỗi thời gian rời rạc
  • $n\in \mathbb{Z}$
  • dấu ngoặc biểu thị một đối số rời rạc
• $X(z)$ biểu thị một hàm biến đổi có giá trị liên tục
  • $z\in\mathbb{C}$ (là số phức)
  • dấu ngoặc đơn biểu thị một hàm chấp nhận tham số có giá trị liên tục
  • chữ viết hoa biểu thị một phiên bản biến đổi của một số hàm / chuỗi (một ký hiệu tương tự được sử dụng cho các biến đổi Fourier:$X$$x$$F(j\omega)\leftrightarrow f(t)$

Ý nghĩa của z = 0 là gì? Có phải chúng thay thế z bằng 0, nếu vậy trong phương trình nào?

Ý họ là, chỉ cần cắm vào định nghĩa thông thường của bạn về biến đổi Z.$z=0$

$X(z) = \sum_{n=\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}$

Nói chung (chính xác hơn, khi đối với một số ), tổng này sẽ phân kỳ (đến vô cùng) cho một số phức tạp . Chẳng hạn, đặt và với và . Khi đó . ROC không bao gồm , cho$x[n] \ne 0$$n \ne 0$$z$$x[0] = 1, x[1] = 1$$x[n]=0$$n<0$$n>1$$X(z) = 1 + z^{-1}$$z=0$$\lim_{z\rightarrow 0} X(z)=\infty$

Khi văn bản của bạn nói " Khi sẽ có một thuật ngữ và do đó, ROC sẽ không bao gồm$n_2>0$$z^{−1}$$z=0$ ", nghĩa là gì khi không khác với một số , không thể tránh khỏi biến đổi z bao gồm thuật ngữ , phân kỳ thành vô cùng tại . Đó là tất cả.$x[n]$$n>0$$z^{-n}$$z=0$

Làm thế nào để chúng ta tính toán vùng hội tụ cho một chuỗi vô hạn?

Rất nhiều môn toán. Hà!

thật đáng tiếc, cách thức này được thực hiện là thu được một công thức đại số cho chuỗi được đề cập, cắm nó vào định nghĩa biến đổi Z và sử dụng các công cụ có sẵn từ phân tích chuỗi hình học (và chuỗi lũy thừa phức tạp) để xác định Z này ở đâu -transform hội tụ / phân kỳ. Trong thực tế, việc xác định xem hội tụ hay không là câu hỏi quan trọng nhất cần trả lời, bởi vì điều đó quyết định sự ổn định và liệu bạn có thể có được đáp ứng tần số từ hệ thống hay không, v.v. đang làm$|z|=1$