Lựa chọn quy ước và ký hiệu cho biến đổi Fourier?

Các định nghĩa về biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược mà tôi học được ở trường đại học là

F (j ω) = \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- j ω t} d t

$F(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t}\ dt$

f (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} F (j ω) e^{j ω t} d ω

$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(j\omega)e^{j\omega t} d\omega$

Các đặc điểm nổi bật của quy ước này là

Biến đổi không đơn nhất; đơn vị miền tần số là radian (biến là ) $\omega$
Các đơn vị "miền thời gian" đang ở trong thời gian (biến là ) $t$
Các biến đổi hàm được biểu thị bằng chữ in hoa ( so với ) $F$ $f$
Chữ trong biểu thị đúng rằng hàm là biến đổi Fourier $j$ $F(j\omega)$
Và tất nhiên, quy ước EE bình thường mà . $j=\sqrt{-1}$

Ngày nay tôi sử dụng một quy ước khác nhiều, về cơ bản được sử dụng trên wikipedias :

Các đặc tính của Công ước này Chúng tôi

\hat{f} (ξ) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) e^{- j 2 π ξ x} d x

$\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-j2\pi\xi x}dx$

f (x) = \int_{- \infty}^{\infty} \hat{f} (ξ) e^{j 2 π ξ x} d ξ

$f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi) e^{j2\pi\xi x} d\xi$

Biến đổi đơn vị; đơn vị miền tần số là tần số chuẩn hóa (biến là ) $\xi$
Đơn vị "miền thời gian" là đơn vị (biến là ) $x$
$\hat{f}$ $f$
$\xi$ $x$

Tôi rất thích quy ước này vì nhiều lý do.

Sử dụng một quy ước đơn nhất làm tăng đáng kể tính đối xứng và rõ ràng của đối ngẫu Fourier: so sánh
- $\mathrm{rect}(x)\leftrightarrow\mathrm{sinc}(\xi)$
- $\mathrm{sinc}(x)\leftrightarrow\mathrm{rect}(\xi)$
- $\mathrm{rect}(t)\leftrightarrow\mathrm{sinc}(\frac{\omega}{2\pi})$
- $\mathrm{sinc}(t)\leftrightarrow\mathrm{rect}(\frac{\omega}{2\pi})$
$x$ $t$ $t$
Tôi thấy các chữ in hoa sẽ hữu ích hơn cho việc biểu thị các biến / hàm có giá trị rời rạc hơn là biểu diễn các hàm được chuyển đổi.
$f$ $\xi$ $\mathcal{F}\{f\}$ $\mathcal{F}{f(t)}$ $\mathcal{F}\{f\}(t)$ $\mathcal{F}\{f\}(\omega)$
$\pi$

Tất nhiên, sẽ khá vô ích đối với tôi khi coi sự lựa chọn quy ước của mình là vượt trội so với những người khác sử dụng. Nhưng tôi đang có một thời gian khó khăn để đưa ra những lý do chính đáng để thích hội nghị mà tôi đã học ở trường đại học (nghĩa là những lý do không liên quan đến truyền thống).

$F(j\omega)$

Bất cứ ai cũng có thể nghĩ ra những lý do khác để thích quy ước "truyền thống" (không đơn nhất)? Đây có phải là quy ước "truyền thống" giống như những gì bạn đã học một khóa xử lý tín hiệu (nếu bạn đã học) không? Mà ước làm bạn thích?

fourier-transform frequency

— rtollert
nguồn

Câu hỏi lấy ý kiến cá nhân không thực sự mang tính xây dựng cho trang web này. Câu trả lời là nó thực sự không quan trọng quy ước của bạn là gì, miễn là bạn xác định chính xác, sử dụng nó một cách nhất quán và trong nhiều trường hợp, tuân theo ký hiệu phổ biến được sử dụng trong lĩnh vực của bạn. Điều quan trọng là không phát minh ra những ký hiệu mới điên rồ để cố tình che giấu. Tôi không chắc sở thích và ý kiến cá nhân hữu ích như thế nào trong những điều này ...

— Lorem Ipsum

Tôi có thể hiểu được mong muốn tránh chỉ dư luận, nhưng tôi nghĩ rằng đó là một câu hỏi hợp pháp như lý do tại sao công ước truyền thống là những gì họ là: không chắc rằng chúng được định nghĩa chỉ là tai nạn lịch sử. Tôi sẽ sẵn sàng viết lại câu hỏi này để tránh gây ra ý kiến, và tập trung vào câu hỏi làm thế nào những quyết định về quy ước / ký hiệu này trong văn học xử lý tín hiệu xuất hiện ở nơi đầu tiên.

— rtollert

Bạn đã quên thay thế tất cả 2π bằng . : D

— endolith

@endolith Bạn đánh bại tôi với nó :)

— datageist

x (t)

$x(t)$

X (f)

$X(f)$

X (ω)

$X(\omega)$

Sự lựa chọn của quy ước nên là một trong những phù hợp nhất (hoặc quen thuộc) cho khán giả mà bạn đang cố gắng để giao tiếp.

— hotpaw2
nguồn

Một điều về việc sử dụng x (t) cho tín hiệu là sự song song giữa

$y = x^2$

và

$y(t) = x(t)^2$

trong đó x vẫn là đầu vào và y vẫn là đầu ra, chỉ trong trường hợp này chúng là tín hiệu thay vì số.

— nội tâm
nguồn