Tại sao autocorrelation đạt đỉnh ở mức 0?

Tôi biết rằng độ dịch chuyển bằng 0 trong hàm tự tương quan bằng với năng lượng của nó, tuy nhiên, tôi muốn hiểu tại sao đỉnh lại bằng 0.

Bạn đang tìm kiếm một bằng chứng chính thức hoặc trực giác đằng sau điều này? Trong trường hợp sau: "Không có gì có thể giống với hàm hơn chính nó". Tự tương quan tại lag biện pháp sự giống nhau giữa một hàm f và chức năng tương tự chuyển bởi τ . Lưu ý rằng nếu f là định kỳ, f chuyển bởi bất kỳ bội số nguyên của τ và f trùng, do đó tự tương quan có hình dạng lược - với đỉnh tại bội số nguyên của thời gian với cùng một chiều cao như đỉnh trung ương.$\tau$$f$$\tau$$f$$f$$\tau$$f$

Hàm tự tương quan của tín hiệu năng lượng hữu hạn thời gian rời rạc được định kỳ bởi

$$R_x[n] = \sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]x[m-n]~~~~ \text{or}~~~ R_x[m] = \sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m](x[m-n])^*$$ cho tín hiệu thực và tín hiệu phức tạp tương ứng. Hạn chế bản thân với các tín hiệu thực tế để dễ giải thích, chúng ta hãy xem xét triệu hồi $x[m]x[m-n]$ . Đối với độ trễ cố định $n$ và $m$ cho trước , $x[m]x[m-n]$ thường sẽ có giá trị dương hoặc âm. Nếu điều đó xảy ra với một độ trễ cụ thể $n$ , $x[m]x[m-n]$ là không âm cho tất cả$m$ , sau đó tất cả các điều khoản trong tổng sẽ cộng lại (không hủy bỏ) và do đó$R_x[n]$ được đảm bảo có giá trị dương. Trong thực tế, tổng sẽ lớn nhất nếu tất cả các đỉnh trong$x[m-n]$ thẳng hàng với các đỉnh trong$x[m]$ và các thung lũng trong$x[m-n]$ thẳng hàng với các thung lũng trong$x[m]$ . Ví dụ: nếu$x$ là hàm chân được lấy mẫu quá mức, giả sử, $$x[m] = \begin{cases} \frac{\sin(0.1 \pi m)}{0.1 \pi m}, & m \neq 0,\\ 1, & m = 0\end{cases}$$ với đỉnh tại$m = 0, \pm 25, \pm 45, \ldots$và thung lũng tại $\pm 15, \pm 35, \pm 55, \ldots$ $x(t)$, sau đó$R_x[n]$sẽ có cực đạitại$n = 0, \pm 25, \pm 45, \ldots$ (và bởi cùng một mã thông báo, sẽ cócực tiểutại$n = \pm 15, \pm 35, \pm 55, \ldots$ khi các đỉnh thẳng hàng với các thung lũng). Cáctoàn cầutối đa của$R_x[n]$ rõ ràng là tại chậm trễ $n = 0$ khi đỉnh cao nhất trong$x[m]$ và$x[m-n]$ trùng. Thật vậy, kết luận này không chỉ áp dụng cho tín hiệu chân thành này mà còn chobất kỳtín hiệu. Tại lag $n = 0$ , ta có $$R_x[0] = \sum_{m=-\infty}^\infty (x[m])^2$$ ) nhưng cũng có những đỉnh cao nhất và thung lũng sâu nhất được xếp một cách thích hợp. và chúng tôi được đảm bảo rằng không chỉ tất cả các đỉnh và thung lũng được xếp hàng với nhau (bất kể trường hợp này xảy ra trong$x[m]$

Chính thức hơn, đối với những người làm nghề giáo như @JohnSmith, những người cần bằng chứng chính thức, bất đẳng thức Cauchy nói rằng đối với các chuỗi có giá trị phức tạp $u$ và$v$ ,

$$\left|\sum_m u[m](v[m])^*\right|^2 \leq \sum_m |u[m]|^2 \sum_n |v[m]|^2.$$ Giới hạn bản thân trong các chuỗi có giá trị thực chỉ để dễ giải thích, một phiên bản chi tiết hơn nói rằng $$-\sqrt{\sum_m \left(u[m]\right)^2 \sum_m \left(v[m]\right)^2} \leq \sum_m u[m]v[m] \leq \sqrt{\sum_m \left(u[m]\right)^2 \sum_m \left(v[m]\right)^2}$$ trong đóđẳng thứcgiữ ở giới hạn trên (dưới) nếu có số dương (âm)$\lambda$sao cho$u = \lambda v$, (nghĩa là$u[m]=\lambda v[m] ~ \forall m$nơi$\lambda > 0$($\lambda < 0$)). Phải thừa nhận rằng số tiền bên trong căn bậc hai là các nguồn năng lượng $\mathcal E_u$ và $\mathcal E_v$ của chuỗi, chúng ta có thể viết rằng $$-\sqrt{\mathcal E_u \mathcal E_v} \leq \sum_m u[m]v[m] \leq \sqrt{\mathcal E_u \mathcal E_v}$$ Thiết$u[m] = x[m]$và$v[m] = x[m-n]$nơi$n$là một số nguyên, chúng tôi có mà $$-\sqrt{\sum_m \left(x[m]\right)^2 \sum_m \left(x[m-n]\right)^2} \leq R_x[n] \leq \sqrt{\sum_m \left(x[m]\right)^2 \sum_m \left(x[m-n]\right)^2}$$ và nhận ra rằng bây giờ$\mathcal E_u = \mathcal E_v = \mathcal E_x$, ta có $$-\mathcal E_x \leq R_x[n] \leq \mathcal E_x$$ với bình đẳng giữ một trong các giới hạn nếu$x[m] = \lambda x[m-n]$cho tất cả $m$ . Cuối cùng, lưu ý rằng $$\mathcal E_x = \sum_m (x[m])^2 = R_x[0]$$ và rằng khi $n=0$ , trình tự $u[m] = x[m]$ là giống hệt với chuỗi $v[m] = x[m-n] = x[m-0] = x[m]$ (có nghĩa là,$\lambda = 1$ là số thực dương sao cho$u[m] = \lambda v[m]$ cho tất cả$m$ ), chúng tôi có mà $$-R_x[0] \leq R_x[n] \leq R_x[0]$$ cho thấy rằng$R_x[n]$ có một giá trị đỉnh tại$n=0$, tất cả các giá trị tự tương quan khác nhỏ hơn đỉnh này.

---

$x[m]$$R_x[n]$

$$R_x[n] = \sum_{m=0}^{N-1} x[m](x[m-n])$$ $N$$x[m]$$x[m] = x[m-N]$$m$$R_x[n]$$n$$R_x[0] \geq |R_x[n]|$$1 < n < N$$R_x[0]$$R_x[kN] = R_x[0]$$k$$R_x[n] = -R_x[0]$$n \in \{1, 2, \ldots, N-1\}$$n = N/2$$N$ chẵn, và vì vậy chúng tôi có thể có các thung lũng sâu như các đỉnh cao nhất trong định kỳ$N=2$$[1 ~ -1]$$[2 ~ -2]$$R_x[n]$$2$$n$$0$$-2$$n$$N$$\vec{x}$$[\vec{x^\prime}, -\vec{x^\prime}]$

sử dụng

$$\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 = x^2[n] + x^2[n+m] - 2x[n]x[n+m]$$

người ta có thể dễ dàng cho thấy rằng

$$\begin{align} R_x[m] & = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]x[n+m] \\ & = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x^2[n] - \frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 \\ & = \ R_x[0] \quad \quad - \frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 \\ \end{align}$$

thuật ngữ đầu tiên chỉ đơn giản là $R_x[0]$$R_x[m]$$R_x[0]$$m$