Độ dài FIR lý tưởng là bao nhiêu, với độ dài xung cụ thể?

Tôi đang cố gắng xác định độ dài bộ lọc FIR 'lý tưởng' là bao nhiêu, với độ dài xung của một hình sin có cửa sổ trong tiếng ồn mà tôi tìm cách lọc.$T_p$

Khi tham số vào bộ lọc FIR mà tôi thiết kế, tôi có:

1. $F_c = 15 \text{ kHz}$ , Tần số trung tâm. (Đây là tần số sóng mang của tín hiệu). Tôi biết cái này.

2. Vì đây là FIR của BPF, nên tôi chỉ định băng thông là thành . Điều này là do băng thông của hình sin cửa sổ là$F_{c} - \frac{1}{T_p}$$F_{c} + \frac{1}{T_p}$$\frac{2}{T_p}$

3. Tham số cuối cùng mà tôi không biết chính xác như thế nào về độ đặc biệt, là độ dài của FIR này ... đây là nơi tôi bị mất. Độ dài lý tưởng ở đây là bao nhiêu, (nếu có?) ... Có nên chỉ là độ dài của xung (trong các mẫu tất nhiên), do đó làm cho nó giống với bộ lọc phù hợp? Điều này có nghĩa là tôi không có thêm lợi ích nào trong việc tăng chiều dài bộ lọc?

Nếu bối cảnh xa hơn, tôi đang tìm kiếm độ dài 'lý tưởng' này, nếu nó tồn tại, bởi vì tôi đang cố gắng lọc ra càng nhiều tiếng ồn càng tốt, nhưng cũng cố gắng hết sức để giữ lại các quá độ sắc nét. Đây là những gì khiến tôi phải hỏi, có độ dài bộ lọc lý tưởng để bắt đầu không. Ví dụ, trong âm mưu sau đây, tôi đã lọc một phiên bản nhiễu tín hiệu của mình, với các bộ lọc có độ dài lần lượt là 11 (đỏ) và 171 (đen). Chúng được hiển thị dưới đây:

Như bạn có thể thấy, trong khi kết quả màu đen là 'mượt mà' hơn, bạn có thể thấy rằng nó cũng bị 'nhòe' hơn trong chừng mực tạm thời. Ngược lại, màu đỏ vẫn giữ một số nhiễu, nhưng quá độ không bị ảnh hưởng.

Biểu đồ bên dưới hiển thị phổ của các bộ lọc trên:

TLDR: Vì vậy, có độ dài 'lý tưởng' cho các bộ lọc FIR, cho đến khi việc tăng thêm chiều dài bộ lọc sẽ không mua cho bạn bất kỳ khả năng chống ồn nào nữa, nhưng thực sự có thể làm nhòe quá độ của bạn nhiều hơn mức cần thiết?

BIÊN TẬP:

Tôi đã thêm hai hình ảnh mới. Cái đầu tiên có bộ lọc có chiều dài 11, (màu đỏ), bộ lọc có chiều dài 171, (màu đen) và bộ lọc có chiều dài 901, (màu xanh). Màu xanh đậm là phổ của dữ liệu.

Dưới đây là kết quả tương ứng cho bộ lọc có độ dài 11, (màu đỏ) và bộ lọc mới có độ dài 901, (màu đen).

Tôi đang chuyển đổi một số ý kiến ​​của tôi từ phía trên thành câu trả lời này:

Nếu bạn đang cố gắng phát hiện sự hiện diện của một số hình dạng xung $p(t)$ trên kênh AWGN, sau đó bộ phát hiện tối ưu sử dụng bộ lọc khớp với hình dạng xung $p(t)$(khéo léo đặt tên cho bộ lọc phù hợp ); điều này tối đa hóa tỷ lệ tín hiệu / nhiễu (SNR) ở đầu ra của bộ lọc và do đó cung cấp thống kê phát hiện tốt nhất. Cách tiếp cận này tương đương với mối tương quan chéo trượt của hình dạng xung với tín hiệu quan sát, được biểu thị bằng toán học như sau:

Ở đâu $x(t)$ là tín hiệu quan sát và $d(t)$ là thống kê phát hiện kết quả.

Do đó, vấn đề chính bao gồm việc lựa chọn một ngưỡng thích hợp có thể được sử dụng để xác định các xung quan tâm xảy ra ở đâu $x(t)$. Cụ thể, người ta sẽ chỉ ra một phát hiện khi$d(t) > T$, Ở đâu $T$là một ngưỡng được sử dụng để cân bằng giữa hai số liệu hiệu suất đối nghịch: xác suất phát hiện $P_d$và xác suất báo động sai $P_{fa}$. Đây là một liên kết đến một câu trả lời trước đây, nơi tôi nói về sự đánh đổi nhiều hơn một chút . Giá trị mục tiêu cho các số liệu này sẽ được chọn theo các yêu cầu cho ứng dụng cụ thể của bạn.

Trong trường hợp này, chúng ta có thể đưa ra các biểu thức chung cho $P_d$ và $P_{fa}$ khá dễ dàng:

• Xác suất báo động sai: "Báo động sai" cho biết trường hợp máy dò báo cáo sự hiện diện của xung đích$p(t)$khi nó trong thực tế không có mặt Vì chúng tôi đã xác định kênh là AWGN, điều đó có nghĩa là đối với cảnh báo sai, tín hiệu đầu vào$x(t)$là một quá trình nhiễu Gaussian trắng (WGN). Không mất tính tổng quát, chúng ta sẽ cho rằng nhiễu là không trung bình với phương sai$\sigma^2$.

  Để xác định $P_{fa}$, chúng tôi quan tâm đến tín hiệu ở đầu ra của bộ lọc phù hợp trông như thế nào. Nhớ lại rằng$d(t)$ được định nghĩa là:

  $$d(t) = x(t) * p(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) p(t-\tau) d\tau$$

  Giả sử rằng $x(t)$ là một quá trình nhiễu Gaussian trắng với phương sai $\sigma^2$, nó có thể được chỉ ra rằng $d(t)$ cũng sẽ là Gaussian, với phương sai bằng:

  $$\sigma_d^2 = \sigma^2 \int_{-\infty}^{\infty} |p(t)|^2 dt$$

  Nghĩa là, phương sai ở đầu ra của bộ lọc phù hợp chỉ được chia tỷ lệ theo tổng năng lượng của dạng sóng xung $p(t)$. Thống kê phát hiện sau đó chỉ là một quá trình Gaussian với phương sai . Xác suất của một báo động giả tại bất kỳ thời điểm nào bằng với xác suất mà số liệu thống kê phát hiện vượt quá ngưỡng . Sử dụng các thuộc tính của phân phối Gaussian , chúng ta có thể viết điều này như sau:$d(t)$$\sigma_d^2$$t$$T$

  $$\begin{align} P_{fa} &= P(d(t) > T\ | \text{ no signal present}) \\ &= 1 - F_d(T) \\ &= Q\left(\frac{T}{\sigma_d}\right) \end{align}$$

  nơi là hàm phân phối tích lũy (CDF) của phân phối Gaussian và là Q-chức năng .$F_d(d)$$Q(x)$

• Xác suất phát hiện: Trường hợp này khác với trường hợp báo động sai ở chỗ có tín hiệu quan tâm. Cụ thể, chúng tôi kiểm tra tình huống trong đó bộ lọc phù hợp được căn chỉnh hoàn hảo với xung quan tâm. Thành phần nhiễu tương tự mà chúng tôi đã phân tích trước đây có mặt, nhưng sự tự tương quan của hình dạng xung mong muốn mang lại cho nó một giá trị trung bình khác không. Giá trị trung bình này bằng tổng năng lượng của dạng sóng xung:

  $$\mathbb{E}\left(d(t)\right) = \int_{-\infty}^{\infty} |p(t)|^2 dt$$

  Do đó, xác suất phát hiện là xác suất thống kê phát hiện vượt quá ngưỡng:

  $$\begin{align} P_{d} &= P(d(t) > T\ | \text{ signal present}) \\ &= 1 - F_d(T) \\ &= Q\left(\frac{T - m_d}{\sigma_d}\right) \end{align}$$

Quá trình thiết kế sau đó sẽ trông như thế này:

• Chọn phạm vi hoạt động cho máy dò của bạn, xác định tỷ lệ nhiễu tín hiệu tối thiểu (hoặc tương đương, phương sai tạp âm tối đa ) tại đó bạn sẽ vận hành.$\sigma^2$

• Giả sử các điều kiện trong trường hợp xấu nhất (nghĩa là mức ồn tối đa), hãy chọn ngưỡng đáp ứng hoặc yêu cầu của bạn (tùy theo mức nào quan trọng hơn đối với bạn).$T$$P_d$$P_{fa}$

• Cắm giá trị kết quả cho vào phương trình khác để xác định số liệu hiệu suất dự đoán của bạn.$T$

Đây là một cách xử lý vấn đề ở mức độ khá cao và nếu bạn bắt tay vào công việc cố gắng xây dựng một cái gì đó hoạt động thực tế, bạn sẽ gặp một số chi tiết khác cần lưu ý:

• Một điều có thể liên quan đến vấn đề phát hiện sin của bạn là có khả năng các xung nhận được sẽ ở một giai đoạn bắt đầu không xác định liên quan đến hình dạng xung mẫu . Sau đó, bạn sẽ quan sát thấy việc giảm đỉnh tương quan dựa trên mức độ bù pha, điều này sẽ tàn phá hiệu suất của máy dò. Nếu đó là trường hợp, một noncoherent dò là một phương pháp tốt hơn:$\phi$$p(t)$

  $$d_1(t) = x(t) * p(t)$$ $$d_2(t) = x(t) * p_Q(t)$$ $$d(t) = \sqrt{d_1^2(t) + d_2^2(t)}$$

  Trong đó là phiên bản thay đổi 90 độ (hoặc bậc hai ) của xung hình sin mẫu. Số liệu thống kê của trường hợp này hơi khác nhau và được để lại như một bài tập cho người đọc quan tâm.$p_Q(t)$

• Điều trị trên giả định rằng xung được nhận theo ở cùng mức công suất với mẫu , gần như chắc chắn là không đúng sự thật. Có hai cách để giải quyết vấn đề phức tạp này: sử dụng một số quy trình kiểm soát mức tăng tự động (AGC) để điều chỉnh mức công suất nhận được theo những gì bạn mong đợi hoặc bạn có thể đặt một ngưỡng thích ứng tự điều chỉnh so với tín hiệu quan sát (ví dụ: bạn có thể thử ước tính phương sai tạp âm nền và sau đó đặt một cách thích hợp).$x(t)$$p(t)$$T$$\sigma^2$$T$

Để có được bộ lọc "tốt nhất", bạn cần trải qua một vài bước

1. Xác định phổ của tín hiệu của bạn: phổ của xung hình sin cửa sổ về cơ bản được đưa ra bởi chức năng cửa sổ được kết hợp với sóng mang. Vì sóng mang là một sóng hình sin, tích chập chỉ đơn giản là dịch chuyển phổ cửa sổ. Tuy nhiên, hình dạng của cửa sổ rất quan trọng: nó được nâng lên cosin, hanning, hamming, kaiser, v.v ... Điều này xác định độ rộng của băng thông và nếu có các thùy bên mạnh cần được duy trì.
2. Xác định phổ của nhiễu: điều đó được thực hiện dễ dàng nhất bằng cách nhìn vào phổ tại các khu vực trong tín hiệu chỉ có nhiễu
3. Nhìn vào tín hiệu và phổ nhiễu. Các tần số hữu ích là những tần số mà năng lượng tín hiệu lớn hơn nhiễu. Tần số "xấu" là những tần số có tiếng ồn lớn hơn.
4. Tạo một đặc tả bộ lọc vượt qua các tần số "hữu ích" và "loại bỏ" các tần số xấu. Lượng từ chối có thể được tối ưu hóa bằng cách sử dụng phương pháp gọi là "Bộ lọc Wiener" http://en.wikipedia.org/wiki/Wiener_filter . Trong một nhúm, một bandpass cũng sẽ làm như vậy.
5. Thông số bộ lọc phải có ít nhất tần số trung tâm, băng thông và độ dốc. Nhiều hệ số bộ lọc thường làm cho dải thông phẳng hơn và cuộn xuống dốc hơn. Một lần nữa nhìn vào tín hiệu cho biểu đồ nhiễu thường sẽ cho bạn biết những gì cuộn lại có ý nghĩa

Độ dài bộ lọc FIR sẽ xác định độ chính xác của bộ lọc FIR. Bộ lọc FIR là một xấp xỉ của đáp ứng bộ lọc tối ưu (do bạn quyết định) và không nên gắn với thời lượng "xung". Bộ lọc FIR càng dài, bạn càng có nhiều hệ số, đáp ứng cường độ của bộ lọc sẽ càng phù hợp với thông số kỹ thuật của bạn. Có hai vấn đề khác cần xem xét. Bạn phải xem xét đáp ứng pha vì điều đó có thể làm biến dạng hình dạng của xung được giải điều chế. Bạn có thể đã làm điều này, nhưng tôi nghĩ rằng bạn có thể muốn bộ lọc FIR của bạn có pha tuyến tính. Ngoài ra, khi bạn tăng độ dài của bộ lọc FIR, bạn sẽ thêm độ trễ từ đầu vào đến đầu ra, vì vậy bạn không muốn chỉ chụp mặt trăng theo chiều dài của bộ lọc. Vì vậy, về chiều dài tối ưu,