Bắt nguồn biến đổi Fourier rời rạc 2 chiều

Tôi có một vấn đề trong DFT. Đó là một trong những câu hỏi trong bài kiểm tra năm ngoái của tôi.

Câu hỏi:

Đặt là biến đổi Fourier 2-D của hàm liên tục 2- . Xuất phát từ biến đổi Fourier 2-D của từng hàm sau$F(u,v)$$f(x,y)$$F(:,:)$

1)$f(x,-2y)$

2)$f(x+2y,y)$

Tôi biết cách thực hiện các phép biến đổi Fourier 1-D nhưng không phải là 2-D. Tôi không chắc làm thế nào để bắt đầu với nó và cần một số hướng dẫn.

Đối với phần thứ hai, đây là cách tiếp cận của tôi. Xin vui lòng cho tôi biết nếu nó đúng hoặc sửa cho tôi nếu nó sai.

Đặt do đó và \ {align} \ mathfrak {F} \ {f (x + 2y, y) \} & = ∬ f (τ, y) e ^ { −j2π (u (τ-2y) + vy)} dx \ dv \\ \ mathfrak {F} \ {f (x + 2y, y) \} & = ∬ f (τ, y) e ^ {- j2π ( uτ + (- 2u + v) y)} dx \ dτ \\ \ mathfrak {F} \ {f (x + 2y, y) \} & = F (u, -2u + v) \ end {align} $τ= x + 2y$$x = τ-2y$$dx = dτ$

Đây là cái đầu tiên:

Theo định nghĩa,

$\mathfrak{F}\{ f(x,-2y)\} = \iint_{- \infty}^{\infty} f(x,-2y)e^{-j2\pi (ux+vy)}dxdy$

hãy để và ngược lại$\tau = -2y$$y=\frac{-\tau}{2}$

$\mathfrak{F}\{ f(x,-2y)\} = \iint_{- \infty}^{\infty} f(x,\tau)e^{-j2\pi (ux-\frac{v\tau}{2})}dxd(-\frac{\tau}{2})$

$\mathfrak{F}\{ f(x,-2y)\} = -\frac{1}{2}\iint_{- \infty}^{\infty} f(x,\tau)e^{-j2\pi (ux-\frac{v\tau}{2})}dxd\tau$

$\mathfrak{F}\{ f(x,-2y)\} = -\frac{1}{2} F(u,-\frac{v}{2})$

Một cái khác sẽ khó hơn, nhưng tôi sẽ để nó cho bạn.