Làm thế nào để 'làm trắng' tín hiệu miền thời gian?

Tôi đang cố gắng hiểu chính xác làm thế nào để thực hiện cái được gọi là bộ lọc 'làm trắng trước' hay đơn giản là bộ lọc 'làm trắng'.

Tôi hiểu rằng mục đích là làm cho nó có một delta như chức năng tự tương quan của nó, nhưng tôi không chắc làm thế nào để làm điều này chính xác.

Bối cảnh ở đây là như sau: Một tín hiệu được nhận tại hai máy thu khác nhau và mối tương quan chéo của chúng được tính toán. Mối tương quan chéo có thể trông giống như một hình tam giác, hoặc một số hình dạng khác. Do đó, khó có thể tìm thấy đỉnh của tín hiệu tương quan chéo. Trong trường hợp này, tôi nghe về việc phải 'làm trắng' các tín hiệu trước khi một mối tương quan chéo được thực hiện trên chúng, sao cho mối tương quan chéo giờ giống như delta hơn.

Làm thế nào được thực hiện?

Cảm ơn!

Giả sử bạn có tín hiệu và có hàm tương quan chéo không phải là thứ bạn thích; bạn muốn giống như xung. Lưu ý rằng trong miền tần số, Vì vậy, bạn lọc các tín hiệu thông qua các bộ lọc tuyến tính và tương ứng để có được , và , và bây giờ hàm tương quan chéo của chúng là có biến đổi Fourier là y ( t ) R x , y ( t ) R x , y F [ R x , y ] = S x , y ( f ) = X ( f ) Y ∗ ( f ) . g h x ( t ) = x * g X ( f $x(t)$$y(t)$$R_{x,y}(t)$$R_{x,y}$

$$\mathcal{F}[R_{x,y}] = S_{x,y}(f) = X(f)Y^*(f).$$ $g$$h$$\hat{x}(t) = x*g$y = y * h Y ( f ) = Y ( f ) H ( f ) R x , y F [ R x , y ] = S x , y ( f $\hat{X}(f) = X(f)G(f)$$\hat{y} = y*h$$\hat{Y}(f) = Y(f)H(f)$$R_{\hat{x},\hat{y}}$ $$\begin{align*} \mathcal{F}[R_{\hat{x},\hat{y}}] = S_{\hat{x},\hat{y}}(f) &= [X(f)G(f)][Y(f)H(f)]^*\\ &= [X(f)Y^*(f)][G(f)H^*(f)]\\ &= [X(f)Y^*(f)][G^*(f)H(f)]^*, \end{align*}$$ nghĩa là, là mối tương quan chéo của với . Quan trọng hơn, bạn muốn chọn và sao cho mật độ phổ chéo của và là nghịch đảo nhân của mật độ phổ chéo của và$R_{\hat{x},\hat{y}}$$R_{x,y}$$R_{h,g}$$g$$h$ $G(f)H^*(f)$$g$$h$ $X(f)Y^*(f)$$x$$y$hoặc một cái gì đó gần với nó. Nếu bạn chỉ có một tín hiệu và một bộ lọc, thì bạn sẽ nhận được kết quả do Hilmar đưa ra (với sửa đổi như được đưa ra bởi nhận xét của tôi ở đó). Trong cả hai trường hợp, vấn đề bù cho null null, hay nói chung, các dải tần trong đó tín hiệu có ít năng lượng vẫn còn.

Làm trắng trước có thể được thực hiện bằng cách lọc với chức năng truyền gần như là nghịch đảo của phổ công suất của tín hiệu. Giả sử bạn có tín hiệu âm thanh có màu hồng. Để làm trắng điều đó, bạn sẽ áp dụng bộ lọc màu hồng nghịch (đáp ứng tần số tăng 3 dB mỗi quãng tám).

Tuy nhiên, tôi không chắc liệu điều này có giúp ích cho vấn đề của bạn không. Làm trắng trước có xu hướng khuếch đại các phần năng lượng thấp trong tín hiệu, có thể gây nhiễu và do đó làm tăng tiếng ồn tổng thể trong hệ thống của bạn. Nếu bạn đang cố gắng xác định xem hai tín hiệu có được căn chỉnh thời gian hay không (hoặc căn chỉnh thời gian là gì) thì có một số độ mờ cố hữu trong vấn đề liên quan đến băng thông của tín hiệu. Điều đó được thể hiện chính xác trong hình dạng miền thời gian của hàm tự tương quan. 

$\bf x$$\bf x$$\bf x$

$\bf x$$C_{ij} = \frac{1}{N}\sum_{{\bf x}\in Data}x_i x_j$$N$$i,j$$\bf x$

Khi bạn có ma trận hiệp phương sai này, bạn có thể tính toán một biến đổi làm trắng dưới dạng ma trận để nhân dữ liệu để có được phiên bản trắng. Hiệp phương sai của dữ liệu trắng mới này là ma trận danh tính.

${\bf y} = C^{-1/2}{\bf x}$

$C^{-1/2}$$C=LL^T$${\bf y}=L^{-1}{\bf x}$$L$

Nếu đó chỉ là về cách lọc các phần năng lượng thấp trong tín hiệu, bạn có thể sử dụng bộ lọc thông thấp không? Có một số thực hiện về điều này.

Nếu điều này hữu ích: Bài viết này từ Karjalaien et. al là về bộ lọc làm trắng và phương pháp dự đoán tuyến tính bị vênh, được sử dụng bởi bộ lọc.