Tôi nên sử dụng dữ liệu nào để kiểm tra triển khai FFT và độ chính xác nào tôi mong đợi?

Tôi tham gia với nỗ lực triển khai thuật toán FFT và tò mò không biết lời khuyên được đề xuất cho dữ liệu thử nghiệm đầu vào sẽ sử dụng - và tại sao! - và độ chính xác để mong đợi.

Trong các bài kiểm tra đầu vào, tôi đã tìm thấy một hướng dẫn nhỏ trong các bài đăng cũ của Usenet mà tôi sẽ đăng dưới dạng câu trả lời, nhưng đó chỉ là đề xuất của một người mà không có nhiều lời biện minh - Tôi không tìm thấy bất cứ điều gì giống như một câu trả lời chắc chắn.

Về độ chính xác, Wikipedia nói rằng lỗi phải là O (e log N), nhưng kỳ vọng hợp lý về mặt tuyệt đối là gì?

Chỉnh sửa để thêm: Các thử nghiệm thực tế ở dạng tôi đã lưu trữ các mảng dữ liệu đầu vào và dữ liệu đầu ra "tham chiếu" được tính toán trước để so sánh, vì vậy tôi không nhất thiết cần một cái gì đó với giải pháp dạng đóng.

Nếu bạn muốn xác minh tính chính xác của thuật toán FFT , theo nghĩa là nó thực hiện chức năng mong muốn có các thuộc tính đã biết của biến đổi Fourier rời rạc , thì bạn có thể sử dụng phương pháp được đề xuất trong:

Ergün, Funda. (1995, tháng 6). Kiểm tra các hàm tuyến tính đa biến: Khắc phục nút cổ chai máy phát. Trong Proc. Ngày thứ hai mươi bảy. Biểu tượng ACM. Lý thuyết tính toán . (tr. 407444).

Bài viết trên được các nhà sản xuất FFTW tham khảo là phương pháp lựa chọn của họ để xác minh rằng việc triển khai FFT cụ thể thực hiện những gì cần làm. Kỹ thuật đề xuất chắt lọc chức năng thành ba thành phần chính được xác minh bằng các thử nghiệm riêng biệt:

• Độ tuyến tính: Các DFT (cùng với biến đổi anh em họ khác của nó trong gia đình Fourier) là một toán tử tuyến tính , vì vậy cho tất cả các giá trị của , phương trình sau phải giữ:$a_1, a_2, x_1[n], x_2[n]$

• DFT của xung đơn vị: Tín hiệu miền thời gian bằng hàm delta Kronecker được áp dụng cho đầu vào của thuật toán FFT và đầu ra được kiểm tra theo DFT đã biết của hàm xung đơn vị (nó biến đổi thành giá trị không đổi trong tất cả đầu ra thùng). Nếu thuật toán FFT cung cấp IFFT, nó có thể được kiểm tra ngược lại để cho thấy rằng nó mang lại hàm xung đơn vị một lần nữa.

• Thời gian thay đổi: Hai bộ dữ liệu được áp dụng cho đầu vào của thuật toán FFT; sự khác biệt duy nhất giữa hai trong miền thời gian là sự thay đổi thời gian không đổi. Dựa trên các đặc tính đã biết của DFT, điều này sẽ ảnh hưởng đến sự dịch pha tuyến tính đã biết giữa các biểu diễn miền tần số của hai tín hiệu, trong đó độ dốc của sự dịch pha tỷ lệ thuận với sự dịch chuyển thời gian.

Các tác giả của bài báo khẳng định rằng các thử nghiệm này là đủ để xác nhận tính đúng đắn của việc thực hiện FFT. Tôi đã không sử dụng kỹ thuật này trong quá khứ, nhưng nó có vẻ hợp lý và tôi sẽ tin tưởng các tác giả của FFTW (người đã sản xuất một phần mềm miễn phí tuyệt vời) như các cơ quan đáng tin cậy về cách tiếp cận tốt đối với vấn đề xác nhận.

Như đã đề cập trong câu hỏi, tôi đã tìm thấy một tập hợp các đề xuất trong các bài đăng comp.dsp Usenet được lưu trữ ( http://www.dsprelated.com/showmessage/71595/1.php , đăng bởi "tdillon"):

A.Single FFT tests - N inputs and N outputs
 1.Input random data
 2.Inputs are all zeros
 3.Inputs are all ones (or some other nonzero value)
 4.Inputs alternate between +1 and -1.
 5.Input is e^(8*j*2*pi*i/N) for i = 0,1,2, ...,N-1. (j = sqrt(-1))
 6.Input is cos(8*2*pi*i/N) for i = 0,1,2, ...,N-1.
 7.Input is e^((43/7)*j*2*pi*i/N) for i = 0,1,2, ...,N-1. (j = sqrt(-1))
 8.Input is cos((43/7)*2*pi*i/N) for i = 0,1,2, ...,N-1.

B.Multi FFT tests - run continuous sets of random data
 1.Data sets start at times 0, N, 2N, 3N, 4N, ....
 2.Data sets start at times 0, N+1, 2N+2, 3N+3, 4N+4, ....

Các chủ đề cũng đề nghị thực hiện hai sin, một với biên độ lớn và một với biên độ nhỏ.

Như tôi nói trong câu hỏi chính, tôi không chắc đây có phải là một bộ câu trả lời đặc biệt hay không, hoặc nếu nó rất đầy đủ, nhưng tôi đang đặt ở đây để mọi người có thể bỏ phiếu và nhận xét về nó.