Giải thích trực quan, sáng suốt nhất cho các FT khác nhau

30

Ngay cả sau khi đã nghiên cứu những điều này khá lâu, tôi có xu hướng quên [nếu tôi không liên lạc trong một thời gian] làm thế nào chúng có liên quan với nhau và mỗi từ tượng trưng cho [vì chúng có tên giống nhau như vậy]. Tôi hy vọng bạn sẽ đưa ra một lời giải thích rất trực quan và đẹp về mặt toán học đến mức chúng sẽ được đưa vào bộ nhớ của tôi mãi mãi và chủ đề này sẽ phục vụ như một sự bồi dưỡng siêu nhanh bất cứ khi nào tôi [hoặc bất kỳ ai khác] cần nó.

fourier-transform

— Vighnesh
nguồn

2

Có lẽ nên bắt đầu với loạt Fourier

— endolith

Bạn có quen thuộc với nhị nguyên Pontryagin?

— Lorem Ipsum

@yoda - Không. Bạn có thể vui lòng giải thích hoặc chỉ cho tôi một số tài liệu tham khảo tốt không? [Tất nhiên tôi sẽ google nó ra.]

— Vighnesh

1

"Steve về xử lý hình ảnh": Fourier biến đổi địa chỉ chính xác câu hỏi này.

— tộc

Tôi không biết khi nào nên viết lại câu trả lời ở đây (trừ khi được yêu cầu). Tuy nhiên, một câu trả lời có thể được đưa ra trong Tôi có thể nghiên cứu Fourier Transform liên tục và coi phần còn lại là những trường hợp đặc biệt sau ca khúc đối ngẫu Pontryagin được đề xuất bởi @LoremIpsum

— Laurent Duval

24

Tôi đã viết bản tin này như một sự bổ sung cho Oppenheim và Willsky . Vui lòng xem Bảng 4.1 trên trang 14, được sao chép dưới đây. (Bấm vào để xem hình ảnh lớn hơn.) Tôi đã viết bảng đó để trả lời các câu hỏi như của bạn.

Lưu ý những điểm tương đồng và khác biệt giữa bốn thao tác:

"Sê-ri": định kỳ theo thời gian, tần số rời rạc
"Biến đổi": định kỳ theo thời gian, tần suất liên tục
"Thời gian liên tục": liên tục về thời gian, tần suất định kỳ
"Thời gian rời rạc": thời gian rời rạc, tần suất định kỳ

Tôi hy vọng bạn tìm thấy những lưu ý hữu ích! Xin vui lòng phân phối như bạn muốn.

— Steve Tjoa
nguồn

1

Tóm tắt tốt. Lưu ý rằng "Chuỗi Fourier thời gian rời rạc" được tham chiếu trong bảng trên thường được gọi là biến đổi Fourier rời rạc (DFT).

— Jason R

Nói một chút, câu trả lời này thực sự là một bản tóm tắt hay như Jason R nói, và một cái gì đó đáng để có vĩnh viễn trên dsp.SE để mọi người có thể liên kết với nó để tham khảo trong tương lai, nhưng nó không thực sự đáp ứng với câu hỏi được hỏi cho một lời giải thích trực quan về những vấn đề này (có lẽ là một phần thưởng bổ sung và không hoàn toàn được yêu cầu vì nó được đề cập trong tiêu đề nhưng không có trong văn bản của câu hỏi).

— Dilip Sarwate

2

Một phản hồi tuyệt vời Steve - Tôi tin rằng đây là những gì OP đang tìm kiếm. Ngắn, ngọt ngào, và cho điểm.

— Spacey

Đây có phải là một sai lầm ở dưới cùng khác nhau của trang 2 của tài liệu của bạn? Nó được nêu:

. Nó không có nghĩa là

?

x (t) b (t - t_{0}) = x (t_{0}) b (t - t_{0})

$x(t)b(t-t_0)=x(t_0)b(t-t_0)$

\int_{- \infty}^{\infty} x (t) b (t - t_{0}) d t = x (t_{0})

$\int_{-\infty}^{\infty}x(t)b(t-t_0)dt = x(t_0)$

— mbaitoff

1

Không phải là một sai lầm. Cả hai câu của bạn đều đúng, nhưng tôi dự định viết câu đầu tiên vì phần đó của hướng dẫn mô tả các định nghĩa cơ bản, tiên đề của xung đơn vị. Những tuyên bố thứ hai sau đó được bắt nguồn từ những định nghĩa:

.

\int_{\infty}^{\infty} x (t) δ (t - t_{0}) d t = \int_{\infty}^{\infty} x (t_{0}) δ (t - t_{0}) d t = x (t_{0}) \int_{\infty}^{\infty} δ (t - t_{0}) d t = x (t_{0})

$\int_{\infty}^{\infty} x(t)\delta(t-t_0) dt = \int_{\infty}^{\infty} x(t_0)\delta(t-t_0) dt = x(t_0) \int_{\infty}^{\infty} \delta(t-t_0) dt = x(t_0)$

— Steve Tjoa

9

Để giải thích chính xác và đúng đắn về các khái niệm này, bạn sẽ phải xem qua một số sách giáo khoa tiêu chuẩn (Oppenheim-Schafer, Proakis-Manolakis hoặc "Tìm hiểu về xử lý tín hiệu số" của Richard Lyons, đây là một cuốn sách rất hay nhưng tương đối ít phổ biến) . Nhưng giả sử một cuộc thảo luận bàn cà phê, tôi sẽ đưa ra một số tuyên bố cực kỳ lỏng lẻo trong những gì tiếp theo. :)

Đối với tín hiệu thời gian liên tục chung, bạn sẽ không mong đợi bất kỳ tần số cụ thể nào vắng mặt, do đó Biến đổi Fourier của nó (hoặc Biến đổi Fourier liên tục) sẽ là một đường cong liên tục với sự hỗ trợ có thể -inf thành + inf.

Đối với tín hiệu liên tục định kỳ (chu kỳ T), Fourier biểu thị tín hiệu dưới dạng kết hợp giữa sin và cosin có cùng chu kỳ (T, T / 2, T / 3, T / 4, ...). Thực tế, phổ của tín hiệu này là một loạt các xung tại các vị trí 1 / T, 2 / T, 3 / T, 4 / T, ... Đây được gọi là đại diện của Fourier Series. Có một định lý nói rằng biểu diễn chuỗi Fourier của bất kỳ tín hiệu thời gian liên tục định kỳ nào hội tụ đến tín hiệu khi bạn bao gồm ngày càng nhiều sin và cosin (hoặc hàm mũ phức tạp) theo nghĩa bình phương trung bình.

Đạo đức cho đến nay: tính tuần hoàn trong thời gian => quang phổ nhọn

Vào thời gian riêng biệt ... Điều gì xảy ra nếu bạn lấy mẫu tín hiệu thời gian liên tục? Cần phải rõ ràng rằng đối với tín hiệu đủ cao, bạn sẽ không thể tái tạo tín hiệu. Nếu bạn không đưa ra giả định về tần số trong tín hiệu, sau đó đưa ra tín hiệu được lấy mẫu, không có cách nào bạn có thể nói tín hiệu thực sự là gì. Nói cách khác, các tần số khác nhau được biểu diễn tương đương trong tín hiệu thời gian rời rạc. Đi qua một số phép toán cho bạn biết rằng bạn có thể thu được phổ của tín hiệu được lấy mẫu từ tín hiệu liên tục ban đầu. Làm sao? Bạn thay đổi phổ của tín hiệu thời gian liên tục theo số lượng + -1 / T, + -2 / T, ... và thêm tất cả các bản sao được dịch chuyển (với một số tỷ lệ). Điều này cung cấp cho bạn một phổ liên tục theo định kỳ với chu kỳ 1 / T. (lưu ý: phổ là định kỳ do lấy mẫu theo thời gian, tín hiệu thời gian không ' t phải là định kỳ) Vì phổ là liên tục, bạn cũng có thể biểu diễn nó chỉ với một trong các chu kỳ của nó. Đây là DTFT (Biến đổi Fourier "Thời gian rời rạc"). Trong trường hợp tín hiệu thời gian liên tục ban đầu của bạn có tần số không cao hơn + -1 / 2T, các bản sao thay đổi của phổ không trùng nhau và do đó, bạn có thể khôi phục tín hiệu thời gian liên tục ban đầu bằng cách chọn một khoảng thời gian của phổ ( định lý lấy mẫu Nyquist).

Một cách khác để nhớ: tín hiệu thời gian tăng vọt => tính tuần hoàn trong phổ

Điều gì xảy ra nếu bạn lấy mẫu tín hiệu định kỳ liên tục với thời gian lấy mẫu T / k cho một số k? Chà, phổ của tín hiệu thời gian liên tục rất khó chịu và được lấy mẫu bằng một số ước của T có nghĩa là các xung trong các bản sao bị dịch chuyển rơi chính xác trên bội số của 1 / T, vì vậy phổ kết quả là phổ tuần hoàn nhọn . Tín hiệu thời gian định kỳ có gai <=> Phổ định kỳ có gai (giả sử rằng chu kỳ và tần suất lấy mẫu là "có liên quan độc đáo" như trên.) Đây là cái được gọi là DFT (Biến đổi Fourier rời rạc). FFT (Fast Fourier Transform) là một lớp các thuật toán để tính toán DFT hiệu quả.

Cách DFT được gọi như sau: Giả sử bạn muốn phân tích một chuỗi các mẫu N kịp thời. Bạn có thể lấy DTFT và xử lý một trong các chu kỳ của nó, nhưng nếu bạn cho rằng tín hiệu của bạn là định kỳ với chu kỳ N, thì DTFT giảm xuống DFT và bạn chỉ có N mẫu của một giai đoạn DTFT đặc trưng hoàn toàn cho tín hiệu. Bạn có thể không đệm tín hiệu kịp thời để lấy mẫu quang phổ tốt hơn và (nhiều tính chất như vậy).

Tất cả những điều trên chỉ hữu ích nếu đi kèm với một nghiên cứu về DSP. Trên đây chỉ là một số hướng dẫn rất thô.

— rk2
nguồn

7

$x(t)$ $T$ $t$ $x(t+T) = x(t)$ $\cos(2\pi t/T)$ $a_n\cos(2\pi nt/T)$ $a_n$

\int_{0}^{T} (x (t) - a_{n} \cos (2 π n t / T))^{2} d t,

$\int_0^T (x(t) - a_n\cos(2\pi nt/T))^2\,\mathrm dt,$

squared error = \int_{0}^{T} x^{2} (t) d t - 2 a_{n} \int_{0}^{T} x (t) \cos (2 π n t / T) d t + (a_{n})^{2} \int_{0}^{T} \cos^{2} (2 π n t / T) d t .

$\text{squared error} = \int_0^T x^2(t)\,\mathrm dt - 2a_n \int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt +(a_n)^2\int_0^T \cos^2(2\pi nt/T)\,\mathrm dt.$

E

$E$

x (t)

$x(t)$

T / 2

$T/2$

squared error = E - 2 a_{n} \int_{0}^{T} x (t) \cos (2 π n t / T) d t + (a_{n})^{2} \frac{T}{2} .

$\text{squared error} = E - 2a_n \int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt +(a_n)^2\frac{T}{2}.$

a > 0

$a > 0$

a z^{2} + b z + c

$az^2 + bz + c$

z = - b / 2 a

$z = -b/2a$

(- b / 2 a) \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c} / 2 a

$(-b/2a) \pm \sqrt{b^2 - 4ac}/2a$

a_{n}

$a_n$

a_{n}

$a_n$

a_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} x (t) \cos (2 π n t / T) d t .

$a_n = \frac{2}{T}\int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt.$

b_{n}

$b_n$

b_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} x (t) \sin (2 π n t / T) d t

$b_n = \frac{2}{T}\int_0^T x(t)\sin(2\pi nt/T)\,\mathrm dt$

x (t)

$x(t)$

b_{n} \sin (2 π n t / T)

$b_n\sin(2\pi nt/T)$

x (t)

$x(t)$

— Dilip Sarwate
nguồn

4

Endolith đúng ở chỗ, nếu bạn thực sự bắt đầu với loạt Fourier và xem cách nó được mở rộng cho biến đổi Fourier, thì mọi thứ bắt đầu có ý nghĩa. Tôi đưa ra một lời giải thích ngắn gọn cho điều này trong nửa đầu của câu trả lời này .

Một cách tốt (có lẽ không đơn giản) để xem xét gia đình biến đổi Fourier (theo ý tôi là 4 bạn đã liệt kê ở trên), là thông qua kính bảo hộ đối ngẫu Pontryagin . Nó cung cấp cho bạn một cách hay để ghi nhớ các biến đổi khác nhau theo các miền gốc và biến đổi.

$\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$

$n$ $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ $n$ $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

$\mathbb{T}$ $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}$ $\mathbb{T}$

Câu trả lời này chưa hoàn chỉnh và có lẽ tôi sẽ dựa vào câu trả lời này để làm rõ một vài điểm khi tôi có thời gian, nhưng cho đến lúc đó, đây có thể là điều cần nhai cho đến khi bạn nhận được lời giải thích trực quan hơn từ người khác. Cũng thử đọc các biến thể của phân tích Fourier trên Wikipedia.

— Lorem
nguồn

3

Tôi nghĩ điều quan trọng nhất là phải hiểu một cách cơ bản tại sao chúng ta cần biến đổi phạm vi. Chúng là một trong nhiều biến đổi tín hiệu có thể, nhưng cũng là một trong những biến đổi hữu ích nhất. Một biến đổi về cơ bản biến đổi tín hiệu thành một miền khác có thể cung cấp cho chúng ta cái nhìn sâu sắc về tín hiệu trong miền đó hoặc có thể là miền đó dễ dàng hoạt động về mặt toán học. Khi chúng tôi hoàn thành công việc trong miền đó, chúng tôi có thể thực hiện chuyển đổi nghịch đảo để có được kết quả mong muốn dễ dàng hơn.

Khối xây dựng cơ bản nhất trong lý thuyết fourier là đơn điệu (sin và cosin). Chúng ta có thể phân tách tín hiệu thành các thành phần tần số (đơn âm) của nó bằng toán học fourier. Vì vậy, biến đổi fourier về cơ bản biến đổi tín hiệu từ miền thời gian sang miền thường xuyên. Hệ số của từng đơn âm trong chuỗi vây cho chúng ta biết về cường độ của thành phần tần số đó trong tín hiệu. Các biến đổi Fourier (CFT, DFT) rõ ràng cung cấp cho chúng ta chế độ xem miền tần số của tín hiệu. Trong tự nhiên, sin và cosin là dạng sóng nổi bật. Các tín hiệu tổng hợp như sóng vuông hoặc tín hiệu có dao động mạnh ít có khả năng xảy ra tự nhiên và không đáng ngạc nhiên bao gồm dải tần số vô hạn như được giải thích rất rõ ràng bằng các biến đổi Fourier. Mọi người đã nghi ngờ liệu có bất kỳ tín hiệu nào có thể được ghi lại dưới dạng tổng của sin / cosin hay không. Fourier cho thấy dạng sóng vuông (nằm cách xa sin / cosin) thực sự có thể. Tiếng ồn trắng chứa tất cả các tần số có cường độ bằng nhau.

Ngoài ra, nếu bạn đang làm việc với chuỗi fourier, thì các hệ số cùng với thuật ngữ pha có thể được xem như là yêu cầu để áp dụng đúng các dạng sóng sinosoidal cấu thành sao cho sự chồng chất thực sự là tín hiệu cần thiết mà bạn đang thực hiện biến đổi. Khi làm việc với các biến đổi fourier, các số phức hoàn toàn có các số hạng pha và độ lớn cần thiết của mỗi đơn điệu. (tích hợp gần giống như tổng kết. liên tục => tích hợp, rời rạc => tổng hợp)

Tôi nghĩ rằng một khi bạn có sự hiểu biết về chủ đề của một khái niệm, phần còn lại chỉ là những chi tiết mà bản thân bạn sẽ phải hiểu bằng cách đọc sách. Đọc về việc áp dụng biến đổi fourier vào các lĩnh vực khác nhau sẽ giúp bạn nhận thức tốt hơn.

— abhishek
nguồn

2

DFT là một phép biến đổi của một vectơ các cặp số từ không gian trực giao này sang không gian trực giao khác. Rất thường được thực hiện như một tính toán số. Vì một số lý do, khi lấy một bó số từ thế giới thực, bó số thứ 2 thường trở nên đủ gần với một thứ khá hữu ích.

Tôi nhớ về Hiệu quả bất hợp lý của Toán học trong Khoa học tự nhiên , đặc biệt là việc áp dụng DFT cho nhiều hệ thống dường như được xấp xỉ bởi các loại phương trình vi phân bậc 2, thậm chí cả âm thanh của thìa cà phê tôi vừa bỏ.

3 XYZ-FT khác đưa ra các giả định về sự tồn tại của một số thực thể vô hạn trong thần thoại để giúp các giải pháp tượng trưng phù hợp với bảng trắng trước khi cà phê quá lạnh. Chúng là những "con bò hình cầu" của xử lý tín hiệu. Sê-ri DTFT và Fourier giả vờ rằng một vectơ có thể được mở rộng vô hạn với chi phí mật độ vô hạn của thực thể khác. Sê-ri Fourier giả vờ rằng cả hai thực thể có thể là các hàm liên tục vô hạn.

Tham gia đủ các khóa học toán và người ta thậm chí có thể xác định tất cả các định nghĩa và giả định cần thiết để làm cho các thực thể hư cấu này chính xác và hoàn thành các đối ngẫu theo một nghĩa nào đó.

— hotpaw2
nguồn

"Không gian trực giao" có nghĩa là gì trong câu đầu tiên của bạn? Không gian trực giao với không gian hoặc thuộc tính đặc biệt nào mà không gian có mà bạn đang phân biệt nó với các không gian chạy khác bằng cách cho nó tính từ "trực giao"?

— Dilip Sarwate

Có lẽ "trực giao" thuật ngữ chính xác hơn cho các không gian vectơ?

— hotpaw2

x

$\mathbf x$

y

$\mathbf y$

⟨ x, y ⟩ = 0

$\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle=0$

A

$A$

A A^{T}

$AA^T$

A A^{T}

$AA^T$ các vectơ trong không gian là trực giao với nhau hay là trực giao và có độ dài đơn vị quá? Nếu vậy, bạn có thể đưa ra một ví dụ về một không gian như vậy?

— Dilip Sarwate

Sản phẩm chấm giữa tất cả các sin hoặc cosin chính xác theo chu kỳ trong độ dài khẩu độ DFT bằng 0, ngoại trừ các hàm tần số giống hệt nhau. Ngay cả khi N lớn hơn số hạt cà phê trong túi. Làm cho chúng biên độ đơn vị cho trực giao.

— hotpaw2

N

$N$

N

$N$

N

$N$

N

$N$

N

$N$

Giải thích trực quan, sáng suốt nhất cho các FT khác nhau - CFT, DFT, DTFT và Fourier Series là gì?