Lấy mẫu phức tạp có thể phá vỡ Nyquist?

Tôi đã nghe giai thoại rằng việc lấy mẫu các tín hiệu phức tạp không cần phải tuân theo tỷ lệ lấy mẫu Nyquist nhưng thực sự có thể bị loại bỏ với một nửa tỷ lệ lấy mẫu Nyquist. Tôi tự hỏi nếu có bất kỳ sự thật cho điều này?

Từ Nyquist, chúng ta biết rằng để lấy mẫu một tín hiệu rõ ràng, chúng ta cần lấy mẫu ít nhất cao hơn gấp đôi băng thông của tín hiệu đó. (Tôi đang xác định băng thông ở đây khi chúng thực hiện trong liên kết wiki , hay còn gọi là chiếm tần số dương). Nói cách khác, nếu tín hiệu của tôi tồn tại từ -B đến B, tôi cần lấy mẫu ít nhất> 2 * B để đáp ứng nyquist. Nếu tôi trộn tín hiệu này lên đến fc và muốn lấy mẫu băng thông, tôi sẽ cần lấy mẫu ít nhất> 4 * B.

Đây là tất cả tuyệt vời cho các tín hiệu thực sự.

Câu hỏi của tôi là, có bất kỳ sự thật nào với tuyên bố rằng tín hiệu băng cơ sở phức tạp (hay còn gọi là tín hiệu chỉ tồn tại ở một phía của phổ tần số) không cần phải được lấy mẫu ở tốc độ ít nhất> 2 * B, nhưng thực tế có thể được lấy mẫu đầy đủ với tỷ lệ ít nhất> B?

(Tôi có xu hướng nghĩ rằng nếu đây là trường hợp đơn giản là vì ngữ nghĩa, bởi vì bạn vẫn phải lấy hai mẫu (một thực và một tưởng tượng) cho mỗi lần lấy mẫu để thể hiện hoàn toàn phasor xoay, do đó vẫn hoàn toàn tuân theo Nyquist .. .)

Quan điểm của bạn là gì?

Sự am hiểu của bạn đa đung đăn. Nếu bạn lấy mẫu ở tốc độ , thì chỉ với các mẫu thực, bạn có thể biểu thị rõ ràng nội dung tần số trong vùng (mặc dù cảnh báo cho phép lấy mẫu băng thông vẫn được áp dụng). Không có thông tin bổ sung nào có thể được giữ trong nửa phổ còn lại khi các mẫu là thực, bởi vì các tín hiệu thực thể hiện sự đối xứng liên hợp trong miền tần số; nếu tín hiệu của bạn là có thật và bạn biết phổ của nó từ đến , thì bạn có thể kết luận một cách tầm thường nửa kia của phổ là gì. [ 0 , f $f_s$0f$[0, \frac{f_s}{2})$$0$$\frac{f_s}{2}$

Không có hạn chế nào đối với các tín hiệu phức tạp, do đó, một tín hiệu phức tạp được lấy mẫu ở tốc độ có thể chứa rõ ràng nội dung từ đến (cho tổng băng thông ). Tuy nhiên, như bạn đã lưu ý, không có cải tiến hiệu quả vốn có được thực hiện ở đây, vì mỗi mẫu phức tạp chứa hai thành phần (thực và ảo), do đó, trong khi bạn yêu cầu một nửa số mẫu, mỗi mẫu yêu cầu lưu trữ dữ liệu gấp đôi, hủy bỏ ra bất kỳ lợi ích ngay lập tức. Các tín hiệu phức tạp thường được sử dụng trong xử lý tín hiệu, tuy nhiên, trong đó bạn có vấn đề ánh xạ tốt đến cấu trúc đó (chẳng hạn như trong các hệ thống truyền thông cầu phương).$f_s$ f$-\frac{f_s}{2}$ f$\frac{f_s}{2}$$f_s$

Ngoài ra còn có một cách tiếp cận đơn giản để giải thích điều này: Nếu tín hiệu dải cơ sở thực của bạn có phổ từ -B đến + B, bạn lấy mẫu với 2B, vì vậy bạn đảm bảo rằng sự lặp lại phổ của phổ không trùng nhau. Sự chồng lấp sẽ có nghĩa là bạn có được răng cưa và không thể tái tạo lại phổ gốc.

Bây giờ với tín hiệu phức tạp, các dải phổ, như Jason đã đề cập, từ 0 đến B. (Về mặt lý thuyết nó cũng có thể có phổ ở tần số âm, nhưng đối với hầu hết các trường hợp thực tế, nó sẽ nằm trong khoảng từ 0 đến B.) Nếu bạn lấy mẫu với tỷ lệ B, vì không có phần nào ở tần số âm trong phổ gốc, nên việc lặp lại phổ sẽ không chồng lấp -> tái tạo rõ ràng là có thể!

Tôi muốn nói rằng đó là 'Không' đủ điều kiện, theo nghĩa là số lượng mẫu thực riêng lẻ chưa được làm rõ, cùng với mục đích chọn tốc độ số hóa tín hiệu.

Đầu tiên, tất cả các tín hiệu trong thế giới thực là Real, thay vì phức tạp. Đó là, bất cứ khi nào chúng ta phải đối mặt với một đại diện phức tạp, chúng ta thực sự có hai điểm dữ liệu (thực), cần được đưa vào giới hạn 'Nyquist'.

Vấn đề thứ hai là "tần số âm", theo cảm nhận từ băng cơ sở. Hầu như tất cả các bài giảng lấy mẫu là từ góc độ băng cơ sở, vì vậy tần số có xu hướng là 0..B, sau đó được lấy mẫu tại fs. Các tần số âm là loại bỏ qua (sử dụng danh tính liên hợp phức tạp).

Có thể nghĩ tín hiệu băng cơ sở như thể nó được điều chế ở tần số 0, tuy nhiên, bắt đầu điều chế sóng mang tại điểm fs / 2 danh nghĩa có thể được chiếu sáng, khi đó chúng ta thấy hai dải biên và thuật ngữ phức (toán học) từ người vận chuyển. Tần số âm trước đó đã thay đổi. Và chúng ta có thể không còn có bản sắc liên hợp phức tạp.

Nếu danh tính liên hợp phức tạp đã bị loại bỏ, chúng ta không còn có tần số gấp và chúng ta có một cách đơn giản xung quanh răng cưa.

Vì vậy, nếu chúng ta có một tín hiệu thực HF được lấy mẫu để cung cấp giải điều chế biểu diễn phức tạp, mà không bị gập lại, theo một nghĩa nào đó, chúng ta kết thúc với băng thông fs / 4 (+/- B). Với mỗi 4 mẫu dữ liệu (0, 90, 180, 270 độ), chúng tôi đưa ra hai giá trị đại diện cho các thành phần cùng pha (0 - 180) và cầu phương (90 - 270) của mẫu phức tạp tổng thể.

Trong một thế giới hoàn toàn phức tạp, nếu tín hiệu phức tạp, tần số lấy mẫu phức tạp, dẫn đến hai lần các điều khoản. Nó phụ thuộc vào các tính năng toán học mà bạn cần từ tín hiệu được lấy mẫu.