Tại sao biến đổi Fourier lại quan trọng như vậy?

129

Mọi người thảo luận về biến đổi Fourier khi thảo luận về xử lý tín hiệu. Tại sao nó rất quan trọng để xử lý tín hiệu và nó cho chúng ta biết gì về tín hiệu?

Nó chỉ áp dụng cho xử lý tín hiệu số hay nó cũng áp dụng cho các tín hiệu tương tự?

fourier-transform

— jcolebrand
nguồn

10

Gần đây, một cuộc thảo luận về các biến đổi Fourier đã được hồi sinh trên math.SE và tôi nghĩ rằng mọi người trên trang web này có thể thấy một số giá trị của nó và thậm chí có thể muốn tham gia.

— Dilip Sarwate

1

xem câu trả lời này cho một số nền lịch sử tuyệt vời. Sê-ri Fourier có niên đại ít nhất là từ thiên văn học tuần hoàn của Ptolemy . Thêm nhiều phép lập dị và ngoại luân, giống như thêm nhiều thuật ngữ vào chuỗi Fourier, người ta có thể tính đến mọi chuyển động liên tục của một vật thể trên bầu trời.

— Geremia

144

Đây là một câu hỏi khá rộng và thực sự khá khó để xác định tại sao chính xác các biến đổi Fourier lại quan trọng trong xử lý tín hiệu. Câu trả lời vẫy tay đơn giản nhất có thể cung cấp là nó là một công cụ toán học cực kỳ mạnh mẽ cho phép bạn xem các tín hiệu của mình trong một miền khác, trong đó một số vấn đề khó trở nên rất đơn giản để phân tích.

Sự phổ biến của nó trong gần như mọi lĩnh vực khoa học kỹ thuật và vật lý, tất cả vì những lý do khác nhau, khiến cho việc thu hẹp một lý do trở nên khó khăn hơn. Tôi hy vọng rằng việc xem xét một số tính chất của nó dẫn đến việc áp dụng rộng rãi cùng với một số ví dụ thực tế và một chút lịch sử có thể giúp người ta hiểu được tầm quan trọng của nó.

Lịch sử:

Để hiểu được tầm quan trọng của biến đổi Fourier, điều quan trọng là lùi lại một chút và đánh giá cao sức mạnh của loạt Fourier do Joseph Fourier đưa ra. Trong một vỏ hạt, bất kỳ hàm tuần hoàn có thể tích hợp trên miền đều có thể được viết dưới dạng tổng vô hạn của sin và cosin như $g(x)$ $\mathcal{D}=[-\pi,\pi]$

g (x) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} τ_{k} e^{ȷ k x}

$g(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\tau_k e^{\jmath k x}$

τ_{k} = \frac{1}{2 π} \int_{D} g (x) e^{- ȷ k x} d x

$\tau_k=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathcal{D}}g(x)e^{-\jmath k x}\ dx$

nơi . Ý tưởng này cho rằng một hàm có thể được chia thành các tần số cấu thành của nó (nghĩa là thành các sin và cosin của tất cả các tần số) là một hàm mạnh mẽ và tạo thành xương sống của biến đổi Fourier. $e^{\imath\theta}=\cos(\theta)+\jmath\sin(\theta)$

Biến đổi Fourier:

Biến đổi Fourier có thể được xem như là một phần mở rộng của chuỗi Fourier ở trên thành các hàm không định kỳ. Để đầy đủ và rõ ràng, tôi sẽ định nghĩa biến đổi Fourier ở đây. Nếu là tín hiệu liên tục, có thể tích hợp, thì biến đổi Fourier của nó, được đưa ra bởi $x(t)$ $X(f)$

X (f) = \int_{R} x (t) e^{- ȷ 2 π f t} d t, \forall f \in R

$X(f)=\int_{\mathbb{R}}x(t)e^{-\jmath 2\pi f t}\ dt,\quad \forall f\in\mathbb{R}$

và biến đổi nghịch đảo được đưa ra bởi

x (t) = \int_{R} X (f) e^{ȷ 2 π f t} d f, \forall t \in R

$x(t)=\int_{\mathbb{R}}X(f)e^{\jmath 2\pi f t}\ df,\quad \forall t\in\mathbb{R}$

Tầm quan trọng trong xử lý tín hiệu:

Đầu tiên và quan trọng nhất, một biến đổi Fourier của tín hiệu cho bạn biết tần số nào có trong tín hiệu của bạn và theo tỷ lệ nào .

Ví dụ: Bạn có bao giờ nhận thấy rằng mỗi nút số điện thoại của bạn phát ra âm thanh khác nhau khi bạn nhấn trong khi gọi và âm thanh đó giống nhau cho mọi kiểu điện thoại? Đó là bởi vì chúng bao gồm hai hình sin khác nhau có thể được sử dụng để nhận dạng duy nhất nút. Khi bạn sử dụng điện thoại của mình để kết hợp để điều hướng menu, cách bên kia biết bạn đã nhấn phím nào bằng cách thực hiện chuyển đổi Fourier của đầu vào và xem tần số hiện tại.

Ngoài một số tính chất cơ bản rất hữu ích làm cho toán học trở nên đơn giản, một số lý do khác khiến nó có tầm quan trọng rộng rãi như vậy trong xử lý tín hiệu là:

$\vert X(f)\vert^2$ $x(t)$ $f$
$\int_{R} | x (t) |^{2} d t = \int_{R} | X (f) |^{2} d f$ $\int_\mathbb{R}\vert x(t)\vert^2\ dt = \int_\mathbb{R}\vert X(f)\vert^2\ df$
$x(t)$ $y(t)$

$z (t) = x (t) ⋆ y (t)$ $z(t)=x(t)\star y(t)$ $\star$ $z(t)$
$Z (f) = X (f) \cdot Y (f)$ $Z(f)=X(f)\cdot Y(f)$
Đối với các tín hiệu riêng biệt, với sự phát triển của các thuật toán FFT hiệu quả, hầu như luôn luôn, việc thực hiện thao tác tích chập trong miền tần số nhanh hơn so với miền thời gian.
$Z(f)=X(f)^*Y(f)$ $^*$
Bằng cách có thể phân chia tín hiệu thành các tần số cấu thành của chúng, người ta có thể dễ dàng chặn một số tần số nhất định bằng cách vô hiệu hóa các đóng góp của chúng.

Ví dụ: Nếu bạn là một người hâm mộ bóng đá (bóng đá), bạn có thể cảm thấy khó chịu với những chiếc vuvuzelas liên tục bị nhấn chìm tất cả các bình luận trong World Cup 2010 ở Nam Phi. Tuy nhiên, vuvuzela có cường độ không đổi ~ 235Hz, giúp các đài truyền hình dễ dàng thực hiện bộ lọc notch để loại bỏ tiếng ồn vi phạm. ^[1]
Tín hiệu thay đổi (trễ) trong miền thời gian biểu hiện dưới dạng thay đổi pha trong miền tần số. Trong khi điều này thuộc danh mục tài sản cơ bản, đây là một tài sản được sử dụng rộng rãi trong thực tế, đặc biệt là trong các ứng dụng chụp ảnh và chụp cắt lớp,

Ví dụ: Khi sóng truyền qua môi trường không đồng nhất, nó chậm lại và tăng tốc theo sự thay đổi tốc độ lan truyền sóng trong môi trường. Vì vậy, bằng cách quan sát sự thay đổi pha từ những gì được mong đợi và những gì được đo, người ta có thể suy ra độ trễ thời gian vượt quá, từ đó cho bạn biết tốc độ sóng đã thay đổi trong môi trường như thế nào. Tất nhiên, đây là một lời giải thích giáo dân rất đơn giản, nhưng tạo thành cơ sở cho chụp cắt lớp.
Các đạo hàm của tín hiệu ( đạo hàm ^thứ n cũng vậy) có thể được tính toán dễ dàng (xem 106) bằng cách sử dụng các biến đổi Fourier.

Xử lý tín hiệu số (DSP) so với xử lý tín hiệu Analog (ASP)

Lý thuyết về biến đổi Fourier được áp dụng bất kể tín hiệu là liên tục hay rời rạc, miễn là nó "đẹp" và hoàn toàn có thể tích hợp được. Vì vậy, có, ASP sử dụng các biến đổi Fourier miễn là các tín hiệu thỏa mãn tiêu chí này. Tuy nhiên, có lẽ phổ biến hơn khi nói về các biến đổi Laplace, một biến đổi Fourier tổng quát, trong ASP. Biến đổi Laplace được định nghĩa là

X (s) = \int_{0}^{\infty} x (t) e^{- s t} d t, \forall s \in C

$X(s)=\int_{0}^{\infty}x(t)e^{-st}\ dt,\quad \forall s\in\mathbb{C}$

Ưu điểm là người ta không nhất thiết bị giới hạn trong "tín hiệu tốt" như trong biến đổi Fourier, nhưng biến đổi chỉ có giá trị trong một vùng hội tụ nhất định. Nó được sử dụng rộng rãi trong nghiên cứu / phân tích / thiết kế mạch LC / RC / LCR, lần lượt được sử dụng trong radio / guitar điện, bàn đạp wah-wah, v.v.

Đây là khá nhiều tất cả những gì tôi có thể nghĩ ra ngay bây giờ, nhưng xin lưu ý rằng không có số lượng văn bản / giải thích nào có thể nắm bắt đầy đủ tầm quan trọng thực sự của các biến đổi Fourier trong xử lý tín hiệu và trong khoa học / kỹ thuật

— Lorem
nguồn

2

Câu trả lời hay trong việc đưa ra một số ứng dụng trong thế giới thực bằng FT và các thuộc tính của nó. +1.

— Goldenmean

3

\sin (α x)

$\sin(\alpha x)$

0

$0$

α x - α^{3} x^{3} / 3! + α^{5} x^{5} / 5! \dots

$\alpha x-\alpha^3x^3/3!+\alpha^5x^5/5!\ldots$

\sin (α x)

$\sin(\alpha x)$

[δ (ω - α) - δ (ω + α)] / (2 ȷ)

$\left[\delta(\omega-\alpha)-\delta(\omega+\alpha)\right]/(2\jmath)$

6

Khi tôi bắt đầu đọc phản hồi này, bằng cách nào đó tôi biết @yoda đã viết nó trước khi tôi cuộn xuống để xem đó thực sự là ai =)

— Phonon

2

Để giải thích chi tiết về # 3: Chuyển đổi là những gì bạn làm khi áp dụng bộ lọc cho hình ảnh, chẳng hạn như bộ lọc trung bình hoặc bộ lọc Gaussian (mặc dù bạn không thể chuyển đổi bộ lọc phi tuyến tính Fourier).

— Jonas

1

Quan điểm của Peter K thực sự quan trọng. Tín hiệu có thể được đại diện cho nhiều cơ sở khác nhau. Sines và cosin là đặc biệt bởi vì chúng là các hàm riêng của hệ thống LTI.

— nibot

53

Câu trả lời tuyệt vời của Lorem Ipsum bỏ lỡ một điều: Biến đổi Fourier phân tách tín hiệu thành các hàm mũ phức tạp cấu thành:

e^{ȷ ω t}

$e^{\jmath \omega t}$

và số mũ phức tạp là các hàm riêng cho các hệ bất biến tuyến tính, thời gian .

$H$ $\phi$ $A$

y = H [e^{ȷ ω t}] = A e^{ȷ ϕ} e^{ȷ ω t}

$y = H[e^{\jmath \omega t}] = A e^{\jmath \phi} e^{\jmath \omega t}$

Vì vậy, biến đổi Fourier là một công cụ hữu ích để phân tích các hệ thống tuyến tính, bất biến theo thời gian.

— Peter K.
nguồn

@Peter K. Tôi nghĩ rằng theo triết lý lựa chọn về tính chính xác (hàn lâm) đối với "mức độ phổ biến" của câu trả lời, câu trả lời của bạn nên được tích hợp vào câu trả lời trên do Lorem Ipsum cung cấp, mặc dù được chọn là câu trả lời với 96 điểm của người dùng, thiếu quan điểm rất quan trọng này.

— Fat32

@Peter Xin lỗi đã làm phiền bạn với yêu cầu này, nhưng bạn là 1) người điều hành, 2) tên của bạn xuất hiện trong danh sách người dùng "hoạt động" với thẻ Beamforming của bạn. Bạn có thể đưa ra ý kiến nhanh về việc bài đăng này trong Math.SE sẽ được đón nhận ở đây không? Tôi không chắc chắn, liệu DSP.SE, Math.SE hay EE.SE có cơ hội tốt nhất để giúp người hỏi đó. Tôi đang xem xét việc di chuyển (mà tôi có thể làm với tư cách là người điều hành Math.SE).

— Jyrki Lahtonen

@Peter K., bạn có thể vui lòng mở lại câu hỏi tại: dsp.stackexchange.com/questions/37468 . Tôi sửa nó rồi. Cảm ơn bạn.

— Royi

@Royi nó đã mở chưa?

— Peter K.

Peter (Làm thế nào mà một số người có thể được tiếp cận bằng cách sử dụng @và một số người không thể? Đâu là lựa chọn cho điều đó?), Có vẻ như ai đó đã mở nó. Cảm ơn bạn.

— Royi

16

Lý do khác:

Nó nhanh (ví dụ hữu ích cho tích chập), do độ phức tạp thời gian tuyến tính của nó (cụ thể là của FFT ).
Tôi sẽ lập luận rằng, nếu không phải như vậy, có lẽ chúng ta sẽ làm được nhiều hơn trong miền thời gian và ít hơn rất nhiều trong miền Fourier.

Chỉnh sửa: Vì mọi người yêu cầu tôi viết tại sao FFT lại nhanh ...

Đó là bởi vì nó khéo léo tránh làm thêm.

$a_0 x^0 + a_1 x^1 + \ldots + a_nx^n$ $b_0 x^0 + b_1 x^1 + \ldots + b_nx^n$

$n^2$

Tuy nhiên, chúng ta có thể thực hiện một quan sát dường như trần tục: để nhân hai đa thức, chúng ta không cần phải CHỌN các hệ số . Thay vào đó, chúng ta có thể chỉ cần đánh giá các đa thức tại một số điểm (đủ), thực hiện phép nhân theo điểm của các giá trị được đánh giá và sau đó nội suy để lấy lại kết quả.

$n$ $2n$ $\approx n^2$

Nhưng nó làm, nếu chúng ta làm đúng! Đánh giá một đa thức đơn lẻ tại nhiều điểm cùng một lúc nhanh hơn so với việc đánh giá nó tại các điểm đó một cách riêng lẻ, nếu chúng ta đánh giá tại các điểm "đúng" . Các điểm "đúng" là gì?

$z$ $z^n = 1$

Chúng ta có thể thực hiện một quy trình rất giống nhau để nội suy qua các điểm để lấy lại các hệ số đa thức của kết quả, chỉ bằng cách sử dụng các gốc nghịch đảo của sự thống nhất.

$n \log n$ $n^2$

Do đó, khả năng sử dụng FFT để thực hiện một thao tác điển hình (như phép nhân đa thức) nhanh hơn nhiều là điều làm cho nó hữu ích, và đó cũng là lý do tại sao mọi người bây giờ rất hào hứng với khám phá mới về thuật toán FFT của MIT .

— Mehrdad
nguồn

Độ phức tạp thời gian tuyến tính là gì? Tôi sẽ không đánh giá thấp câu trả lời này nhưng tôi không nghĩ nó bổ sung bất cứ điều gì có giá trị cho cuộc thảo luận này về các biến đổi Fourier .

— Dilip Sarwate

1

@DilipSarwate Tôi nghi ngờ anh ấy sử dụng nó làm tốc ký cho O (n * log (n)).

— Jim Clay

@DilipSarwate: Jim nói đúng. Nó có mọi thứ để làm với các biến đổi Fourier (rời rạc). Nếu không có sự FFT, biến đổi Fourier của bạn sẽ mất thời gian tỉ lệ với bình phương của kích thước đầu vào, trong đó sẽ làm cho họ ít nhiều hữu ích. Nhưng với FFT, họ mất thời gian tỷ lệ kích thước của đầu vào (nhân với logarit của nó), điều này làm cho chúng hữu ích hơn nhiều và tăng tốc rất nhiều phép tính. Ngoài ra đây có thể là một đọc thú vị.

— Mehrdad

Bạn nên đề cập TẠI SAO nó nhanh. Nó nhanh ở đâu và tại sao chúng ta quan tâm rằng nó nhanh?

— CyberMen

1

Tôi nghĩ rằng câu trả lời này là hợp pháp. Nó nên được diễn giải - "Bên cạnh tất cả các đặc điểm tốt đẹp được giải thích trong câu trả lời của người khác, FFT cho phép nó trở thành một phương pháp khả thi trong các ứng dụng thời gian thực".

— Andrey Rubshtein

15

$e^{kx}$ $\frac{d^n}{dx^n}$ $k$ $k$

$e^{kx}$

EDIT: Thực tế, các toán tử vi phân (và tích phân) là các toán tử LSIV, xem tại đây .

— chaohuang
nguồn

8

Một số câu trả lời khác trong chủ đề này có các cuộc thảo luận toán học tuyệt vời về định nghĩa và tính chất của biến đổi Fourier; là một lập trình viên âm thanh, tôi chỉ muốn cung cấp trực giác cá nhân của riêng mình về lý do tại sao nó quan trọng đối với tôi.

Biến đổi Fourier cho phép tôi trả lời các câu hỏi về âm thanh khó hoặc không thể trả lời bằng các phương pháp khác. Nó làm cho vấn đề khó dễ dàng.

Một bản ghi âm chứa một bộ ba nốt nhạc. Các ghi chú là gì? Nếu bạn để bản ghi dưới dạng tập hợp biên độ theo thời gian, đây không phải là vấn đề dễ dàng. Nếu bạn chuyển đổi bản ghi thành một tập hợp tần số theo thời gian, điều đó thực sự dễ dàng.

Tôi muốn thay đổi cao độ của bản ghi mà không thay đổi thời lượng của bản ghi. Làm thế nào để tôi làm điều này? Điều đó có thể, nhưng không dễ thực hiện, chỉ bằng cách điều khiển biên độ của tín hiệu đầu vào. Nhưng thật dễ dàng nếu bạn biết tần số bao gồm tín hiệu.

Bản thu này có chứa lời nói hay nó có chứa âm nhạc không? Siêu khó để làm chỉ sử dụng các phương pháp dựa trên biên độ. Nhưng có những giải pháp tốt để đoán câu trả lời đúng gần như mọi lúc dựa trên biến đổi Fourier và gia đình của nó.

Hầu hết mọi câu hỏi bạn muốn hỏi về bản ghi âm kỹ thuật số được thực hiện dễ dàng hơn bằng cách chuyển đổi bản ghi bằng cách sử dụng phiên bản rời của biến đổi Fourier.

Trong thực tế, mọi thiết bị âm thanh kỹ thuật số hiện đại phụ thuộc rất nhiều vào các chức năng rất giống với biến đổi Fourier.

Một lần nữa, tha thứ cho các mô tả rất không chính thức; đây chỉ là trực giác cá nhân của tôi về lý do tại sao biến đổi Fourier lại quan trọng.

— johnwbyrd
nguồn

Này John, tôi có một câu hỏi ngớ ngẩn. Tôi muốn tính toán TWA ( osha.gov/pls/oshaweb/, ) từ âm thanh chúng tôi ghi được ở nơi làm việc, tôi tự hỏi liệu tôi có thể đo giá trị này chính xác hơn nếu tôi sử dụng Fourier Transform trong việc phân tích tệp âm thanh của mình.

— Hossein Sarshar

Không trừ khi micro và môi trường ghi âm được hiệu chỉnh, không.

— johnwbyrd

6

Những người khác đã đưa ra câu trả lời tuyệt vời, hữu ích. Chỉ cần nghĩ về một số tín hiệu: bạn chỉ quan tâm tần số nào trong đó (và pha của chúng), không phải về miền thời gian. Tôi không biết rằng đây là câu trả lời cuối cùng hoặc hoàn chỉnh, nhưng chỉ là một lý do khác tại sao biến đổi Fourier là hữu ích.

Khi bạn có một số tín hiệu, nó có thể bao gồm một số tần số vô hạn (hoặc gần), tùy thuộc vào tốc độ lấy mẫu của bạn. Nhưng, đó không phải là trường hợp: chúng tôi biết rằng hầu hết các tín hiệu có số tần số ít nhất có thể hoặc chúng tôi đang lấy mẫu ở tốc độ đủ cao.

Nếu chúng ta biết điều đó, tại sao chúng ta không thể sử dụng nó? Đó là những gì lĩnh vực cảm biến nén làm. Họ biết rằng tín hiệu có khả năng nhất là tín hiệu có ít lỗi nhất và có tần số ít nhất. Vì vậy, họ giảm thiểu sai số tổng thể liên quan đến các phép đo của chúng tôi cũng như cường độ của biến đổi Fourier.

Tín hiệu của một vài tần số thường có biến đổi Fourier tối thiểu, hoặc chủ yếu là các số không (hay còn gọi là "thưa thớt", như chúng nói trong cảm biến nén). Ví dụ, tín hiệu của một tần số có chức năng delta là biến đổi.

Chúng ta có thể sử dụng định nghĩa toán học chính thức quá.

$\bar{x} = \textrm{arg min } ||y-Ax|| + \lambda||F(x)||$

$||\cdot||$ $||\cdot||$

$\bar{x}$
$y$
$A$
$x$
$\lambda$
$F(x)$

Bạn có thể nhớ lại rằng Nyquist nói rằng bạn phải đo ở tần số cao gấp đôi để có được một đại diện tốt. Chà, đó là giả sử bạn có tần số vô hạn trong tín hiệu của mình. Chúng ta có thể vượt qua điều đó!

Trường cảm biến nén có thể tái tạo lại bất kỳ tín hiệu nào chủ yếu là số không (hoặc thưa thớt) trong một số miền. Chà, đó là trường hợp của biến đổi Fourier.

— Scott
nguồn

5

Tầm quan trọng chính của biến đổi Fourier nằm ở phân tích hệ thống. Thành phần chính của vũ trụ của chúng ta là chân không và chân không là vật mang trường cơ bản và bất biến theo thời gian: các trường khác nhau chồng chất bằng cách thêm vectơ tương ứng của chúng và bất kể khi nào bạn lặp lại ứng dụng của một số trường nhất định, kết quả sẽ giống nhau .

Kết quả là, rất nhiều hệ thống cũng liên quan đến vật chất là một xấp xỉ tốt hoạt động như các hệ thống tuyến tính, bất biến theo thời gian.

Các hệ thống LTI như vậy có thể được mô tả bằng "đáp ứng xung" của chúng và phản ứng với bất kỳ tín hiệu phân phối thời gian nào được mô tả bằng cách kết hợp tín hiệu với đáp ứng xung.

Convolution là một hoạt động giao hoán và kết hợp, nhưng nó cũng khá tốn kém về mặt tính toán và khái niệm. Tuy nhiên, tích chập các hàm được ánh xạ bởi phép biến đổi Fourier thành phép nhân piecewise.

Điều đó có nghĩa là các thuộc tính của hệ thống bất biến thời gian tuyến tính và sự kết hợp của chúng được mô tả và thao tác tốt hơn nhiều sau khi biến đổi Fourier.

Kết quả là, những thứ như "đáp ứng tần số" khá đặc trưng để mô tả hành vi của rất nhiều hệ thống và trở nên hữu ích để mô tả chúng.

Các biến đổi Fourier nhanh nằm trong lớp "gần như, nhưng không hoàn toàn, không giống như các biến đổi Fourier" vì kết quả của chúng không thực sự có thể hiểu được vì các biến đổi Fourier mặc dù đã được định hướng vững chắc trong lý thuyết của chúng. Chúng tương ứng với các biến đổi Fourier hoàn toàn chỉ khi nói về tín hiệu được lấy mẫu với tính chu kỳ của khoảng biến đổi. Cụ thể, tiêu chí "định kỳ" hầu như không được đáp ứng.

Có một số kỹ thuật để làm việc xung quanh đó, như việc sử dụng các chức năng cửa sổ chồng chéo.

Tuy nhiên, FFT có thể được sử dụng để thực hiện tích chập thời gian rời rạc khi thực hiện đúng và nó là một thuật toán hiệu quả, giúp nó hữu ích cho rất nhiều thứ.

Người ta cũng có thể sử dụng thuật toán FFT cơ bản cho các phép biến đổi lý thuyết số (hoạt động trong các trường số rời rạc thay vì "thực" phức tạp) để thực hiện phép tích chập nhanh, như khi nhân các số hoặc đa thức. Trong trường hợp này, "miền tần số" không thể phân biệt được với nhiễu trắng đối với bất kỳ đầu vào nào và không có giải thích hữu ích trước khi bạn thực hiện lại phép biến đổi nghịch đảo.

— David
nguồn

2

sự liên quan vật lý của biến đổi fourier là nó cho biết biên độ tương đối của tần số có trong tín hiệu. nó có thể được định nghĩa cho cả tín hiệu thời gian rời rạc và tín hiệu thời gian liên tục. Bất kỳ tín hiệu có thể được biểu diễn dưới dạng hỗn hợp của nhiều tần số hài. Biến đổi Fourier giúp trong các ứng dụng bộ lọc, trong đó chúng ta chỉ cần một dải tần số nhất định thì trước tiên chúng ta cần biết biên độ của tần số chứa trong tín hiệu là gì.

— vatsyaya
nguồn