Tại sao có những ngọn đồi giống như lược trong một biểu đồ?

Tôi đang chơi với periodogramMATLAB. Tôi đã tạo một tập lệnh đơn giản để quan sát cách nó hoạt động:

rng(1);  %# initialize the random number generator

Fs = 1000;  %# Sampling frequency
duration = 0.1; %# seconds

A = 1; %# Sinusoid amplitude
f = 150; %# Sinusoid frequency
eps = 0.01;

t = 0:1/Fs:duration;
x = A * sin(2*pi*f*t) + eps * randn(size(t));

periodogram(x,[],1024,Fs);

nhập mô tả hình ảnh ở đây

Tôi không có vấn đề gì với mã và có thể tự viết periodogramhàm bằng các thuật toán được đưa ra trong tài liệu nhưng tôi tự hỏi lý do lý thuyết đằng sau những ngọn đồi giống như lược không phải là 150 Hz. Làm gì để tôi có được những thứ đó thay vì nhận được một đột biến trên 150 Hz? Có điều gì đặc biệt trong khoảng cách của các đỉnh của những ngọn đồi này không?

frequency-response

— người nuôi dưỡng
nguồn

Câu trả lời:

Tôi không hoàn toàn hài lòng với câu trả lời của Itamar Katz, vì vậy đây là lời giải thích của tôi.

DFT của tín hiệu phức tạp có độ dài , là $N$ $x[n]=e^{\imath 2\pi f n/N}$

X [k] = F {x [n]} = \frac{e^{ı 2 π (f - k)} - 1}{e^{ı 2 π (f - k) / N} - 1}

$X[k]=\mathcal{F}\{x[n]\}=\frac{e^{\imath 2\pi (f-k)}-1}{e^{\imath 2\pi (f-k)/N}-1}$

Vì vậy, sức mạnh hoặc phản ứng bình phương cường độ được đưa ra bởi

{| X [k] |}^{2} = {(\frac{\sin (π (f - k))}{\sin (π (f - k) / N)})}^{2}

$\left\vert X[k]\right\vert^2 = \left(\frac{\sin\left(\pi(f-k)\right)}{\sin\left(\pi(f-k)/N\right)}\right)^2$

$f-k$ $N^2$

$log_{10}(0)$ $-\infty$

Đây là một minh họa ngắn trong Mathicala:

Clear@X
X[f_, n_] := (Sin[π (f - #)]/Sin[π (f - #)/n])^2 &
Plot[X[3, 10][k], {k, -5, 5}, PlotRange -> All]

nhập mô tả hình ảnh ở đây

$log_{10}$

nhập mô tả hình ảnh ở đây

$N$

nhập mô tả hình ảnh ở đây

— Lorem
nguồn

Một mũi nhọn (như bạn gọi nó) về mặt lý thuyết chỉ xuất hiện cho một hình sin dài vô hạn. Vì tín hiệu của bạn có chiều dài 100 mẫu, nó không phải là vô hạn. Bạn thực sự đã nhân tín hiệu vô hạn của mình với một cửa sổ có giá trị từ 1 đến 100 mẫu và 0 ở nơi khác. Do phép nhân trong miền thời gian tương đương với tích chập trong miền tần số, nên phổ của bạn là tích chập của một xung đơn và đáp ứng tần số của cửa sổ (btw được gọi là cửa sổ hình chữ nhật). Đây là chức năng bạn có.

Tôi đề nghị bạn đọc về cửa sổ: http://en.wikipedia.org/wiki/Window_feft

— Itamar Katz
nguồn

+1 Ồ, tôi biết về cửa sổ nhưng không thể tạo liên kết. Cảm ơn!

— petrichor

Một mũi nhọn xuất hiện bất kể cửa sổ được sử dụng, nếu tần số phù hợp chính xác với chiều dài cửa sổ. gist.github.com/236567

— endolith

Đó là không đúng. Đối với một cửa sổ hình chữ nhật thì điều này là đúng, vì bạn lấy mẫu hàm cửa sổ trong miền tần số chính xác bằng các số không của nó, do đó bạn bị 'mù' với các thùy bên. Tuy nhiên nó không đúng với chức năng cửa sổ chung.

— Itamar Katz

xem ví dụ git: //gist.github.com/1403819.git

— Itamar Katz

@ItamarKatz: Vâng bạn đúng. Tôi có nghĩa là "không có cửa sổ".

— endolith