Vấn đề với định nghĩa của tuyến tính

Từ các môn toán ở trường trung học, chúng ta biết rằng y = mx + c là một phương trình tuyến tính. Tuy nhiên, trong DSP, hệ thống tuyến tính phải đáp ứng các thuộc tính Độ nhạy mà y = mx + c không giữ được vì + c. Vì vậy, định nghĩa của tuyến tính có khác nhau trong DSP và Toán học không? nếu vậy tại sao? Cảm ơn.

linear-systems

— Zahid Hasan
nguồn

Vâng, trong một số ý nghĩa các định nghĩa là khác nhau. Tôi sẽ đưa ra cho bạn hai quan điểm, cái đầu tiên sẽ hỗ trợ cho sự quan sát nhạy bén của bạn, cái còn lại sẽ cung cấp bằng chứng ngược lại. Hai điều này không xung đột với nhau, đó là vấn đề ngữ nghĩa. Nếu cái thứ hai nhầm lẫn bạn gắn bó với cái thứ nhất. Mở đầu kết luận, ở đây đi.

Định nghĩa vấn đề 1 : $y = mx + c$ có nghĩa $f(x)=mx+c$

Ở đây chúng tôi có quan điểm thông thường trong đó $y$ được coi là đầu ra của một số thao tác trên $x$ . Chúng tôi gọi đó là một chức năng, và chúng tôi có thể viết ra cùng một biểu thức với một chút tao nhã toán học hơn: $f(x)=mx+c$ . Bây giờ rõ ràng rằng $f(x)$ trong một số ý nghĩa về đầu ra của một số thao tác toán học mà $x$ là đầu vào .

Hãy làm mới tiêu chí cho tuyến tính. Một chức năng $g(x)$ là tuyến tính là nó thỏa mãn cả hai điều kiện sau:

$g(a+b) = g(a)+g(b)$ cho tất cả $a$ và $b$
$g(cx) = cg(x)$ cho tất cả các hằng số $c$

Rõ ràng, chức năng yêu thích của chúng tôi $f(x)$ không thỏa mãn một trong hai tính chất này. Vì vậy, có, từ quan điểm này $f(x)$ không phải là một hàm tuyến tính. Điều gần nhất với "tuyến tính" chúng ta có thể gọi nó là " affine ".

QED

Bây giờ bạn có thể tự chuẩn bị cho phần 2 của câu trả lời.

Định nghĩa vấn đề 2 : $y = mx + c$ có nghĩa $L(x,y)=y-mx$

Chúng ta hãy thực hiện từng bước một. Giả sử bạn đang cố gắng giải một hệ hai phương trình tuyến tính. Bạn làm nó như thế nào? Một cách là viết ra các phương trình như sau:

\begin{aligned} y & = m_{1} x + c_{1} \\ y & = m_{2} x + c_{2} \end{aligned}

$\begin{align} y &= m_1x + c_1\\y &= m_2x + c_2 \end{align}$

Chắc chắn, đó là cách tất cả chúng ta đã làm nó từ năm lớp bảy. Bây giờ tất cả bạn phải làm là giải quyết nó bằng cách thay thế hoặc bất cứ cách nào bạn thích. Nhưng bạn sẽ làm gì khi bạn có một hệ phương trình gồm hai biến đó? Bạn sẽ viết nó ra như vậy?

\begin{aligned} y & = a_{1} x + c_{1} z + d_{1} \\ y & = a_{2} x + c_{2} z + d_{2} \\ y & = a_{3} x + c_{3} z + d_{3} \end{aligned}

$\begin{align} y &= a_1x + c_1z + d_1\\y &= a_2x + c_2z + d_2\\y &= a_3x + c_3z + d_3 \end{align}$

Điều đó không thực sự đúng. Và vì một lý do rất tốt. Có nhiều cách diễn giải các hàm của bất kỳ số lượng biến nào và đó không chỉ là ngữ nghĩa khác nhau. Để lạc đề một lúc, lấy phương trình $x^2+y^2=r^2$ . Hầu như bất cứ ai (truy cập diễn đàn này) sẽ ngay lập tức xác định nó là một phương trình của một vòng tròn. Nhưng nhớ lại định nghĩa của một chức năng !

Nếu chúng ta giải thích nó là $f(x) = \pm \sqrt{r^2-x^2}$ chúng ta có hai giải pháp: nửa trên của hình tròn và nửa dưới của hình tròn. Toàn bộ vòng tròn không thể là một giải pháp vì nó vi phạm thuộc tính trong các hàm, cho mỗi đầu vào có nhiều nhất một đầu ra duy nhất.

Nếu chúng ta mặt khác giải thích nó là $f(x,y)=r^2$ , chúng tôi lấy lại toàn bộ vòng tròn dưới dạng một giải pháp, bởi vì chúng tôi đang xem nó như là một hàm của hai biến bằng một hằng số. Nói cách khác, mặc dù chúng ta đã viết cùng một biểu thức $x^2+y^2=r^2$ , chúng ta phải xác định những gì chúng ta đang nói về. Nếu không, vấn đề này không được xác định rõ. Trong một giải thích nó là một chức năng $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , theo cách hiểu khác, nó là một chức năng $f:\mathbb{R^2} \rightarrow \mathbb{R}$ . Nhớ tất cả những lẩm bẩm về tên miền và phạm vi ở trường trung học? Vâng, đây chính xác là những gì nó được. Bây giờ, trở lại chủ đề lặp đi lặp lại của chúng ta về các hàm tuyến tính.

Hy vọng rằng, đến thời điểm này bạn đã có aha của mình ! chốc lát. Nếu không, đây là kết thúc của chúng tôi thẳng. Hãy nhớ rằng hệ thống của ba phương trình không hoàn toàn đúng? Trước hết lưu ý rằng nó trông affine, bởi vì ngoài các biến $x$ và $z$ có hằng số $d$ cũng. Bây giờ một cách tốt hơn để viết ra hệ phương trình này là như vậy:

\begin{aligned} - a_{1} x + y + - c_{1} z & = d_{1} \\ - a_{2} x + y + - c_{2} z & = d_{2} \\ - a_{3} x + y + - c_{3} z & = d_{3} \end{aligned}

$\begin{align} -a_1x + y + -c_1z &= d_1 \\ -a_2x + y + -c_2z &= d_2 \\ -a_3x + y + -c_3z &= d_3\end{align}$

Bây giờ chúng tôi đang nhận được ở đâu đó. Như bạn có thể thấy, chúng ta có thể viết nó ra dưới dạng ma trận như sau:

[\begin{matrix} - a_{1} & 1 & - c_{1} \\ - a_{2} & 1 & - c_{2} \\ - a_{3} & 1 & - c_{3} \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] = [\begin{matrix} d_{1} \\ d_{2} \\ d_{3} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} -a_1 &1 &-c_1 \\-a_2 &1 &-c_2 \\-a_3 &1 &-c_3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{bmatrix}$

Rõ ràng, đây là một hệ phương trình tuyến tính . Bắt ở đâu? Chà, thoạt nhìn nó giống như một hệ thống gồm ba chức năng của mẫu $f:\mathbb{R^2} \rightarrow \mathbb{R}$ và bây giờ chúng tôi đại diện cho nó như là một chức năng duy nhất của biểu mẫu $f:\mathbb{R^3} \rightarrow \mathbb{R^3}$ .

Để làm rõ, đây là một hàm duy nhất có một vectơ trong $\mathbb{R}^3$ và trả về một vectơ khác trong $\mathbb{R}^3$ . Hãy gọi chức năng này $L(x,y,z)$ , chính xác $L:\mathbb{R^3} \rightarrow \mathbb{R^3}$ . Tôi sẽ cho bạn kiểm tra xem chức năng này là tuyến tính . Cụ thể, nếu $\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\a_{21} &a_{22} &a_{23} \\a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{bmatrix}$ và $\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\a_{21} &a_{22} &a_{23} \\a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \delta_1 \\ \delta_2 \\ \delta_3 \end{bmatrix}$ , sau đó

$\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\a_{21} &a_{22} &a_{23} \\a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x+\alpha \\ y+\beta \\ z+\gamma \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} d_1 + \delta_1 \\ d_2 + \delta_2 \\ d_3 + \delta_3 \end{bmatrix}$ và
$\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\a_{21} &a_{22} &a_{23} \\a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} kx \\ ky \\ kz \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} kd_1 \\ kd_2 \\ kd_3 \end{bmatrix}$

Nói cách khác (và vâng, đây là lý do thực sự khiến các nhà toán học liên tục đưa ra ký hiệu ngắn gọn mới!), Hãy để $\vec{u},\vec{v} \in \mathbb{R}^3$ ( $\vec{u}$ và $\vec{v}$ và vectơ 3 chiều của số thực). Sau đó

$L(\vec{u}+\vec{v}) = L(\vec{u})+L(\vec{v})$
$L(k\vec{u}) = kL(\vec{u})$

Tuyến tính! QED

Để kết luận, chúng tôi đã khám phá sự tinh tế bí ẩn của toán học các hàm và đặc biệt là tầm quan trọng của việc xác định tốt các vấn đề. Chức năng $f(x) = mx + c$ rõ ràng là phi tuyến tính (hay chính xác hơn là affine) và hàm $g(x,y) = y - mx$ là tuyến tính.

Hãy trở lại để có nhiều thứ thú vị hơn. Chúng tôi thích đưa ra câu trả lời xoắn cho các câu hỏi đơn giản.

— Phonon
nguồn

Một lý do đơn giản hơn để gọi

y = m x + c

$y=mx+c$ một hàm tuyến tính là đồ thị của nó là một đường thẳng không nhất thiết phải thông qua nguồn gốc và ít nhất là trong hình học phân tích cơ bản mà hầu hết các độc giả sẽ gặp ở trường trung học và lần đầu tiên nghe tên, nó quá phức tạp để có các tên khác nhau cho các đường thẳng đi qua gốc và những đường không.

— Dilip Sarwate

Wikipedia nói đây là đa thức tuyến tính ... Tôi tự hỏi tại sao sách DSP không bao gồm thông tin này!

— Zahid Hasan

@Phonon - Trình bày xuất sắc. Đây là câu trả lời trao đổi ngăn xếp thứ hai tôi muốn giữ trong kho lưu trữ của mình để tham khảo trong tương lai.

— dùng2718

@BruceZenone Về toán học. Họ, họ duy trì một câu hỏi Danh sách khái quát hóa các câu hỏi thường gặp trên trang meta của họ có một bộ câu trả lời hay nhất được lưu để tham khảo trong tương lai. Có lẽ một điều tương tự có thể được thêm vào dsp.SE (Gợi ý, gợi ý, người điều hành Phonon!) Và sẽ giúp trả lời các câu hỏi như Điều gì tạo thành một câu hỏi thường gặp trên trang web meta dsp.

— Dilip Sarwate