Làm thế nào một bộ lọc có độ trễ nhóm bằng không?

10

Nếu bạn đặt gói sóng qua băng thông của bộ lọc thông thấp thứ nhất, nó sẽ bị trễ bởi độ trễ nhóm của bộ lọc và vẫn giữ nguyên biên độ, phải không?

Nếu bạn đặt cùng một gói sóng thông qua bộ lọc đường cao tốc thứ nhất bổ sung có cùng tần số cắt, đường cong trễ của nhóm là như nhau, do đó độ trễ của gói sẽ giống nhau, nhưng mức tăng thấp hơn nhiều, vì vậy nó sẽ bị trì hoãn và suy giảm đến mức không đủ điều kiện.

Vì đầu ra của bộ lọc đường cao rất nhỏ, nếu bạn tính tổng đầu ra của hai bộ lọc này (như trong giao thoa âm thanh), tôi sẽ hy vọng nó khác biệt không đáng kể so với đầu ra của bộ lọc thông thấp: Tín hiệu trễ lớn + rất nhỏ tín hiệu trễ = tín hiệu trễ lớn.

Tuy nhiên, nếu bạn tổng hợp các phản hồi của bộ lọc, biên độ là 0 dB ở mọi nơi và pha là 0 ở mọi nơi và do đó độ trễ của nhóm trở thành 0, điều đó có nghĩa là gói sóng xuất hiện không có độ trễ và không thay đổi. Tôi không hiểu làm thế nào điều này có thể có thể. Không lọc luôn phát sinh sự chậm trễ? Làm cách nào một bộ lọc (cũng có độ trễ nhóm dương) hoàn tác độ trễ do kênh khác gây ra, đặc biệt là khi điều này xảy ra trong băng chặn?

Phần nào tôi hiểu lầm ở đây?

Các loại crossover được biết đến nhiều nhất với pha tuyến tính là các crossover không đảo ngược bậc một, ... Crossover thứ nhất là pha tối thiểu khi các đầu ra của nó được tóm tắt bình thường; nó có một đồ thị pha phẳng ở 0 °. - Thiết kế của Crossover hoạt động

và

Ở đây, kết quả của việc kết hợp các đầu ra với nhau tạo ra sự dịch pha 0 °, nghĩa là biên độ tổng và độ dịch pha của giao thoa bậc 1 tương đương với một đoạn dây. - Crosswitz-Riley Crossovers: A Primer: Mạng chéo chéo thứ nhất

Đáp ứng tần số chéo thứ nhất

Thử nghiệm trên xung chương trình thực tế như thế nào lowpass (màu xanh) làm trì hoãn xung, như mong đợi, và làm thế nào HighPass (màu xanh) có thể kết hợp với nó để tạo ra bản gốc (màu đỏ) xung, nhưng làm thế nào được xung HighPass xảy ra trước khi bản gốc nếu bộ lọc đường cao là nguyên nhân và có độ trễ nhóm tích cực? Trực giác đang làm tôi thất bại.

nhập mô tả hình ảnh ở đây

Điều đó cho thấy rằng đầu ra đường cao tốc không đáng kể như tôi tưởng tượng và độ trễ là không đáng kể so với tôi tưởng tượng và khi bạn di chuyển tần số sóng mang xung quanh, hai thuộc tính này thay đổi theo tỷ lệ (độ trễ nhỏ hơn yêu cầu đầu ra đường cao tốc độ biên độ thấp hơn để sửa nó). Nhưng tôi vẫn không thực sự hiểu nó.

filters phase group-delay

— nội tâm
nguồn

Vì vậy, bạn đang ngụ ý rằng hai bộ lọc được khớp với nhau sao cho các hàm truyền của chúng tổng hợp thành đơn vị (tức là

)? Điều đó cũng có nghĩa là tổng các phản hồi xung của họ chỉ là một xung ở

, điều này sẽ đồng ý với quan sát của bạn về độ trễ nhóm 0. Tôi nghĩ rằng giả định của bạn rằng pha của hai bộ lọc tổng bằng 0 có thể bị lỗi.

H_{l p} (z) + H_{h p} (z) = 1

$H_{lp}(z) + H_{hp}(z) = 1$

n = 0

$n=0$

— Jason R

@JasonR: Có, bộ lọc bậc 1, đường cao tốc và đường thông thấp, với cùng một fc. vi.wikipedia.org/wiki/Audio_crossover#First_order

— endolith

3

@Jason: endolith thực sự chính xác. Thứ tự đầu tiên hi / lo pass tái tạo hoàn hảo song song. Có những trường hợp khác cũng làm điều này

— Hilmar

Xin lỗi các bạn; Tôi chỉ nghĩ về loạt thác. Xem thường.

— Jason R

6

Có một vài khía cạnh thú vị của "tái cấu trúc để thống nhất". Đầu tiên, có hai cách kết hợp hai bộ lọc: song song và nối tiếp. Đối với cấu trúc liên kết song song, LUÔN LUÔN có thể tìm thấy bộ lọc miễn phí để các cặp thêm vào sự thống nhất. Thật dễ dàng, thực sự. Đơn giản chỉ cần làm $\tilde{H}(\omega) = 1-H(\omega)$ . Trong miền thời gian có nghĩa là đáp ứng xung của bộ lọc miễn phí chỉ đơn giản là âm của phản hồi xung ban đầu với 1 được thêm vào mẫu đầu tiên. Vì vậy, tất cả các công cụ "ringy" hủy bỏ. Bây giờ hình dạng của bộ lọc miễn phí này không phải lúc nào cũng như người ta mong đợi. Đối với đường chuyền thấp thứ nhất, nó thực sự là đường chuyền cao thứ tự đầu tiên nhưng đối với các bộ lọc bậc cao hơn, nó có xu hướng có sự thay đổi trên / dưới trong vùng cắt. Tuy nhiên, nó luôn tồn tại như một bộ lọc nhân quả ổn định.

Sê-ri (hoặc xếp tầng) "tái cấu trúc để thống nhất" phức tạp hơn một chút. Rõ ràng các bộ lọc sẽ phải là nghịch đảo của nhau, tức là $\tilde{H}(\omega) = \frac{1}{H(\omega)}$

Vì vậy, điều này cho chúng ta câu hỏi làm thế nào để giải thích sự chậm trễ của nhóm trong những trường hợp này. Các trường hợp thác thực sự là thú vị hơn. Vì các bộ lọc là nghịch đảo của nhau, pha và do đó độ trễ của nhóm là của âm là khác. Vì vậy, tại các tần số là một bộ lọc có độ trễ nhóm dương, bộ lọc kia có độ trễ nhóm âm. Một ví dụ dễ dàng là kệ thấp với mức tăng + 6dB và giá thấp với mức cắt 6dB. Vì vậy, sự chậm trễ nhóm tiêu cực là rất thực tế và chắc chắn không vi phạm nhân quả. Trong thực tế, chúng xuất hiện ở các khu vực của bộ lọc khá "không phẳng" nên cách giải thích truyền thống về "độ trễ của đường bao" không được áp dụng vì cũng có một độ méo biên độ khá lớn.

Nếu bạn Google "trì hoãn nhóm tiêu cực", bạn có thể tìm thấy một vài bài viết của IEEE đã giải quyết vấn đề này.

— Hilmar
nguồn

Ok, nhưng điều khó hiểu là cả hai bộ lọc đều có độ trễ nhóm dương , nhưng vẫn kết hợp để tạo ra đầu ra với độ trễ nhóm bằng không.

— endolith

3

Hãy nhớ rằng độ trễ nhóm là đạo hàm (âm) của pha. Đối với một tầng song song, các pha của hai hệ thống không thêm vào, như trong một kết nối loạt. Do đó, chúng ta không nên hy vọng rằng độ trễ nhóm của hai hệ thống sẽ thêm vào.

— Jason R

2

Đây là một cách khác để suy nghĩ. Độ trễ nhóm là như nhau, nhưng các phần trễ bị lệch pha nên chúng triệt tiêu lẫn nhau.

— Hilmar

1

Không có việc áp dụng sai sự chậm trễ của nhóm cũng như vi phạm vật lý hoặc nguyên nhân trong vấn đề này. Định nghĩa độ trễ nhóm là đạo hàm âm của pha đối với tần số vẫn được giữ, trong đó mỗi bộ lọc riêng có độ trễ thời gian dương không phải là hằng số theo tần số. Các chi tiết được tiết lộ trong những gì xảy ra khi các bộ lọc được kết nối song song hoặc nối tiếp.

$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2}\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$

$A_1 e^{j\phi_1}$ $A_1(\omega)e^{j\phi_1(\omega)}$

Hãy xem xét trường hợp đầu tiên trong câu hỏi của OP. Tại giao điểm trên mỗi bộ lọc có cường độ và pha được cho là:

$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2}$

$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$

$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2} + \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$

$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2}\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$

Và ở tần số cao nhất, mỗi bộ lọc có cường độ và pha được cho là:

$\rightarrow \infty$ $1e^{j0}$

$\rightarrow \infty$ $0e^{-j\pi}$

$-\pi$ $\infty$

Điều gì xảy ra ở giữa đòi hỏi một mối quan hệ toán học đặc biệt giữa hai bộ lọc để kết hợp song song tổng hợp thành pha 0 (và do đó độ trễ nhóm bằng 0, về cơ bản làm cho kết hợp song song cũng trong suốt). Hãy xem xét ví dụ của OP nơi chúng ta có thể thấy rõ có mối quan hệ bậc hai trong pha của hai bộ lọc. Vì vậy, chúng tôi có:

A_{1} e^{j ϕ_{1}} + A_{2} e^{j ϕ_{2}}

$A_1e^{j\phi_1} + A_2e^{j\phi_2}$

= A_{1} e^{j ϕ_{1}} + A_{2} e^{j (ϕ_{1} - π / 2})

$=A_1e^{j\phi_1} + A_2e^{j(\phi_1 - \pi/2})$

= A_{1} e^{j ϕ_{1}} + A_{2} e^{- j π / 2} e^{j ϕ_{1}}

$=A_1e^{j\phi_1} + A_2e^{-j\pi/2}e^{j\phi_1}$

= A_{1} e^{j ϕ_{1}} - A_{2} j e^{j ϕ_{1}}

$=A_1e^{j\phi_1} - A_2je^{j\phi_1}$

= e^{j ϕ_{1}} (A_{1} - j A_{2})

$=e^{j\phi_1}(A_1-jA_2)$

Để kết quả này luôn có pha không cho tất cả các tần số, đẳng thức sau phải được giữ:

A_{1} - j A_{2} = e^{- j ϕ_{1}}

$A_1-jA_2 = e^{-j\phi_1}$

Hoặc được mô tả khác là:

A_{1} + j A_{2} = e^{j ϕ_{1}}

$A_1+jA_2 = e^{j\phi_1}$

$\phi_1$ $A_1 = cos(\phi_1)$ $A_2 = sin(\phi_1)$ $\phi_1$

Đối với một trực giác có thể có với âm mưu cuối cùng mà OP thể hiện và câu hỏi của anh ta, hãy xem xét rằng đạo hàm là một hàm vượt qua cao - nếu bạn lấy đạo hàm của xung đỏ, bạn sẽ nhận được xung xanh. Bạn không thể bắt đầu nhận được kết quả này cho đến khi có xung đỏ, do đó không có vi phạm nhân quả.

— Dan Boschen
nguồn

0

Tôi nghĩ rằng đây là một câu hỏi khá thú vị vì vậy tôi sẽ cố gắng trả lời nó, mặc dù muộn 5 năm.

Tôi nghĩ rằng bạn đã phát hiện ra một cách để áp dụng sai một trong những cách để đo lường độ trễ của nhóm, nghĩa là tính toán nó như là đạo hàm âm của pha. Trong tình huống này, phương pháp này là không phù hợp.

Trong tình huống này, một cách thích hợp hơn để đo độ trễ nhóm là sử dụng đầu vào sóng hình sin và đo độ trễ giữa đầu vào và đầu ra tổng. Tất nhiên, để có được một bức ảnh hoàn chỉnh, bạn sẽ cần phải thực hiện quét tần số, đây là một rắc rối, nhưng chính xác.

Nếu bạn làm điều này, tôi nghĩ rằng tất cả chúng ta có thể đồng ý rằng bạn sẽ đo lường độ trễ của nhóm khác không.

— người dùng5108_Dan
nguồn

2

Xin lỗi, điều đó không đúng. Độ trễ nhóm được định nghĩa là đạo hàm âm của pha so với tần số. Đó là định nghĩa và như vậy không thể "áp dụng sai". Những gì bạn mô tả sẽ thực sự đo độ trễ pha, không phải độ trễ nhóm. Trong trường hợp bộ lọc tầng thấp và bộ lọc đường cao thứ tự xếp tầng, kết quả sẽ giống nhau. Cả độ trễ nhóm và độ trễ pha đều bằng không ở tất cả các tần số.

— Hilmar

2 π / f

$2\pi / f$

3

f / ω

$f/\omega$

\partial f / \partial ω

$\partial f/ \partial \omega$

f / ω

$f/\omega$

1 / (2 π)

$1/(2\pi)$

ω = 2 \cdot π \cdot f

$\omega = 2 \cdot \pi \cdot f$

0

Độ trễ nhóm có liên quan đến nhóm tức là tín hiệu điều chế, do đó việc đo độ trễ nhóm phải được thực hiện bằng cách sử dụng nhóm (tín hiệu điều chế). Nhóm vào bộ lọc phải giống với hình dạng của nó ở đầu ra của bộ lọc. Hình dạng có nghĩa là ví dụ phổ của nhóm. Các phép đo được thực hiện ở một tần số duy nhất không có thông tin về độ trễ của nhóm.

— zbyszek
nguồn

1

Tôi không nghĩ rằng điều này là chính xác. Độ trễ nhóm là số đo độ dốc của đáp ứng pha ở bất kỳ tần số nào. Chúng tôi tính toán độ trễ nhóm ở mỗi tần số và qua băng thông, chúng tôi sử dụng "biến thể độ trễ nhóm" để chỉ định mức độ trễ của nhóm sẽ thay đổi theo băng thông quan tâm. Tất nhiên chúng ta cần một dải tần số để tính đạo hàm của pha, nhưng sự hiểu biết của tôi là độ trễ tính toán dựa trên việc lấy đạo hàm của pha đối với tần số thực sự là độ trễ thời gian mà bạn sẽ đo được cho các sóng hình sin đơn tại mỗi tần số đó.

— Dan Boschen

1

Độ trễ nhóm được xác định là đạo hàm âm của pha so với tần số. Miễn là bạn đo lường điều đó, không quan trọng bạn đo chính xác như thế nào và kết quả sẽ giống nhau. Độ trễ nhóm có thể được GIẢI THÍCH là độ trễ đường bao của tín hiệu điều chế băng hẹp, nhưng tính hợp lệ của giải thích phụ thuộc rất nhiều vào các trường hợp chính xác.

— Hilmar