Tại sao số phức được biểu thị dưới dạng + ib và không thể là (a, b)?

Tôi bối rối vì tại sao chúng ta cần biểu diễn các số phức với trục y tưởng tượng nếu chúng ta có thể chỉ đơn giản biểu diễn chúng dưới dạng (x, y)?

Tôi đã đọc phép nhân đó theo i là một vòng quay ngược chiều kim đồng hồ của một phần tư trên trục y.

Nhân 1 với i cho tôi. Nhân i , với i một lần nữa, thực hiện một vòng tròn khác và cho -1. Vì vậy, nhân với -1 có nghĩa là một vòng tròn của một nửa vòng tròn. Đó là ý nghĩa của i * i = -1.

Vậy điều đó có nghĩa là gì?

Giả sử, tôi đang giải một phương trình và tôi đã kết thúc bằng một câu trả lời như 3i, điều đó có nghĩa là tôi đã chuyển từ trục x sang trục y bằng đồng hồ đếm ngược nửa vòng tròn? Tôi không thể hình dung điều này đúng

Có, trong xử lý tín hiệu, các số phức thường được hiển thị trên mặt phẳng phức, như bạn đã nói.

Lý do là nếu bạn đặt chúng lên một mặt phẳng, thì bạn có thể đo được hai đại lượng quan trọng:

1) Độ lớn , đó là$\sqrt{x^2 + y^2}$

2) Góc pha giữa điểm của bạn và gốc tọa độ, được cho bởi$\tan^{-1} \frac{y}{x}$.

Nếu bạn chỉ đơn giản là để lại chúng như một điểm, ($x$,$y$), bạn sẽ không thể cụ thể hóa và có một khung làm việc cho các đại lượng đó.

Bạn có thể hỏi, tại sao những số lượng đó, lần lượt, quan trọng? Trong xử lý tín hiệu, tất nhiên chúng ta xử lý tín hiệu và về mặt vật lý, chúng ta đang xử lý tín hiệu 'thực'. Tuy nhiên, mặc dù là một mẹo hay, một dao động liên tục của một đại lượng trong cuộc sống 'thực', (giống như sóng cosin), tương đương với hai pha, quay xung quanh theo hướng ngược nhau trên mặt phẳng phức và cộng lại với nhau. Với khung này, chúng ta có thể thấy rằng các góc pha 'triệt tiêu' lẫn nhau và cường độ của kết quả của chúng cho chúng ta độ lớn của tín hiệu 'thực' của chúng ta.

Trong thực tế, đây là những gì một trong những công thức của euler nắm bắt. Đó là:

Bạn có thể thấy ở đây làm thế nào chúng ta có thể dễ dàng liên kết một khái niệm thế giới 'thực', giống như một làn sóng cosin dao động, với thế giới của các pha 'phức tạp', khi chúng tồn tại và xoay quanh trong mặt phẳng phức.

Đây là một trong những hòn đá tảng của DSP.

Đối với một định nghĩa về số phức, ký hiệu "a + ib" và "(a, b)" là các biểu diễn tương đương miễn là các phép toán trên các ký hiệu đó hoàn toàn tuân theo bộ quy tắc cho số học phức tạp (bao gồm cả phép nhân có nghĩa là xoay vòng).

Ý nghĩa là số học phức tạp sử dụng các quy tắc số học như vậy thực sự đơn giản hóa một loạt các định lý và tính toán (bao gồm các giải pháp của gốc đa thức, hội tụ chuỗi vô hạn, v.v.). Hành vi của các cặp số lượng thực trong thế giới thực đôi khi có thể được xấp xỉ gần đúng bởi các mô hình sử dụng số học theo các quy tắc đó, và sau đó bằng cách gọi một trong các đại lượng "tưởng tượng" để khớp với ký hiệu tính toán được sử dụng trong mô hình.

Hãy coi đó là một "mẹo" toán học quá hữu ích để không sử dụng. ví dụ, Cardano và các nhà toán học người Ý thời Phục hưng khác đã cố gắng giải các phương trình bậc ba mà không sử dụng các số phức hoặc ảo, và các giải pháp của họ trở nên dài dòng hơn vì điều đó.

Một cách để nghĩ về số phức là xem $i$ như một "vectơ đơn vị" theo hướng của trục ảo.

Trên thực tế, việc sử dụng các số phức làm vectơ đơn vị sau này trở thành cơ sở cho các đại lượng , được sử dụng để biểu diễn các đại lượng vectơ trước khi phát triển phân tích vectơ hiện đại của Gibbs / Heaviside .