Giải thích PSD (Mật độ phổ công suất)

Tôi đang cố gắng hiểu cách tính PSD. Tôi đã xem một vài cuốn sách giáo khoa Kỹ thuật truyền thông nhưng không có kết quả. Tôi cũng đã xem trực tuyến. Wikipedia dường như có lời giải thích tốt nhất; tuy nhiên, tôi bị lạc ở phần mà họ quyết định tạo CDF (Chức năng phân phối tích lũy) và sau đó vì một số lý do quyết định liên quan đến chức năng tự tương quan.

Tôi đoán những gì tôi không hiểu là, làm thế nào tự động tương quan có liên quan đến việc tính toán PSD? Tôi đã nghĩ rằng PSD đơn giản là Biến đổi Fourier của (trong đó là sức mạnh của tín hiệu liên quan đến thời gian). $P(t)$ $P(t)$

power-spectral-density psd

— người dùng968243
nguồn

Làm thế nào để bạn xác định ?

P (t)

$P(t)$

— Phonon

Tôi không thực sự định nghĩa nó là bất cứ điều gì. Đó chỉ là một số tín hiệu năng lượng. Tôi đoán nếu tôi phải xác định nó, nó sẽ là ... Tôi đoán vấn đề là PSD không phải là và nó có liên quan đến tự động tương quan và tôi không nhận được gì ...

P (t) = v (t) \cdot i (t)

$P(t) = v(t) \cdot i(t)$

F {P (t)}

$\mathcal{F}\{P(t)\}$

— user968243

Bạn thực sự không thể định nghĩa sức mạnh như thế cho các tín hiệu tùy ý. Không có khái niệm điện áp và hiện tại. Công suất trong trường hợp này được định nghĩa là công suất của sóng (điện từ nếu bạn muốn). Vì vậy, đó là và đó là một số duy nhất, không phải là số lượng thay đổi theo thời gian.

\frac{1}{T} \int_{0}^{T} x^{2} (t) d t

$\frac{1}{T} \int_0^Tx^2(t)dt$

— Phonon

Đọc về Định lý Wiener-Khinchin . Bạn đang từ chối hiểu những gì Phonon đang chỉ ra cho bạn rằng giới hạn mà bạn đang tính là một hằng số và vì vậy biến đổi Fourier của nó chỉ là một xung ở trong miền tần số. Nếu điều đó nổi thuyền của bạn, hãy đi cho nó nhưng nó không phải là mật độ phổ công suất như mọi người khác hiểu nó.

f = 0

$f=0$

— Dilip Sarwate

Tôi đã đọc về định lý đó ... Và tôi hiểu làm thế nào nó liên quan đến biến đổi Fourier thành tự tương quan. Và tôi không từ chối hiểu những gì Phonon nói ... Tôi hiểu chính xác những gì @Phonon nói. Điều tôi không hiểu là tại sao công thức tự tương quan được sử dụng và tôi cũng không hiểu tại sao cách biến đổi phạm vi được sử dụng (để có được PSD, bạn có thể thực hiện biến đổi phạm vi, lấy độ lớn của nó, bình phương, v.v.) ... Tôi không biết tại sao làm điều đó sẽ mang lại một PSD và tôi đã không thể tìm được một dẫn xuất tốt.

— dùng968243

Câu trả lời:

Bạn đã đúng, PSD phải làm với việc tính toán Biến đổi Fourier về sức mạnh của tín hiệu và đoán xem ..... nó làm gì. Nhưng trước tiên hãy xem xét mối quan hệ toán học giữa PSD và hàm tự tương quan.

Ký hiệu:
- Biến đổi Fourier: $F [x (t)] = X (ω) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j ω t} d t$ $\mathcal{F}[ x(t)] = X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t}dt$
- (Thời gian) Chức năng tự động tương quan: $R (τ) = x (τ) * x (- τ) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) x (t + τ) d t$ $R(\tau) = x(\tau) * x(-\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t + \tau)dt$
Hãy chứng minh rằng Biến đổi Fourier của chức năng Tự động Tương quan thực sự bằng với mật độ Phổ năng lượng của tín hiệu tín hiệu ngẫu nhiên của chúng tôi . $x(t)$

F [R (τ)] = \int_{- \infty}^{\infty} R (τ) e^{- j ω τ} d τ

$\mathcal{F}[ R(\tau)]= \int_{-\infty}^{\infty} R(\tau)e^{-j\omega \tau}d\tau$

= \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} x (t) x (t + τ) e^{- j ω τ} d t d τ

$= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t + \tau) e^{-j\omega \tau} dtd\tau$

= \int_{- \infty}^{\infty} x (t) \underset{F [x (t + τ)] = X (ω) e^{j ω t}}{\underset{⏟}{\int_{- \infty}^{\infty} x (t + τ) e^{- j ω τ} d τ}} d t

$= \int_{-\infty}^{\infty}x(t) \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} x(t + \tau) e^{-j\omega \tau} d\tau}_{\mathcal{F}[x(t + \tau) ] = X(\omega)e^{j\omega t}} dt$

= X (ω) \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{j ω t} d t

$= X(\omega) {\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{j\omega t} dt}$

= X (ω) X^{*} (ω) = | X (ω) |^{2}

$= X(\omega)X^*(\omega)= |X(\omega)|^2$

Tất cả nó có nghĩa gì? Lưu ý: Giải thích này là một chút "hacky". Nhưng ở đây nó đi

Biến đổi Fourier cho chúng ta biết các thành phần phổ của tín hiệu. Trong trường hợp của chúng tôi, tín hiệu là Stochastic; Vì vậy, cố gắng tính toán các thành phần phổ của tín hiệu sẽ là vô nghĩa bởi vì, mỗi lần thực hiện quy trình ngẫu nhiên, bạn sẽ có các biểu thức khác nhau cho . $\mathcal{F}[x(t)]$

Nếu bạn lấy Giá trị kỳ vọng của biến đổi Fourier thì sao? Điều này sẽ không làm việc. Ví dụ, hãy lấy một tín hiệu trung bình bằng không.

E {F [x (t)]} = F [E {x (t)}] = 0

$\mathbb{E}\{ \mathcal{F}[x(t)] \} = \mathcal{F}[\mathbb{E}\{ x(t) \}] = 0$

Thay vào đó, điều gì sẽ xảy ra nếu bạn lấy biến đổi Fourier của bình phương của tín hiệu.

E {F [x^{2} (t)]} = F [\underset{Av. Power of the Signal}{\underset{⏟}{E {x^{2} (t)}}}]

$\mathbb{E}\{ \mathcal{F}[x^2(t)] \} = \mathcal{F}[\underbrace{\mathbb{E}\{ x^2(t) \}}_{\text{Av. Power of the Signal}}]$

Hàm autocorrelation về cơ bản là mà bạn đã ám chỉ. $P(t)$

Người giới thiệu:

[1] Truyền thông 1, PL. Dragotti, Đại học Hoàng gia Luân Đôn

[2] Tiếng ồn và ước tính trắng, F. Tobar [Báo cáo chưa được công bố]

— ssk08
nguồn

Giải thích tuyệt vời! Một câu hỏi tính toán nhỏ - là bạn có thể trao đổi các và bên trong tích phân kép, chỉ vì giới hạn của họ là cả hai từ - đến + ?

d t

$dt$

d τ

$d\tau$

\infty

$\infty$

\infty

$\infty$

— Spacey

Vâng đúng vậy.

— ssk08

Được rồi, tôi nghĩ rằng tôi loại được nó. Tôi có thể thấy làm thế nào biến đổi fourier có liên quan đến autocorrelation. Tuy nhiên, tôi thực sự không hiểu vấn đề gì khi thực hiện biến đổi phạm vi của hoặc . Tôi thực sự không thấy lý do tại sao giá trị mong đợi cần phải được thực hiện (tôi biết nó trung bình nó, nhưng tôi không biết tại sao điều đó là cần thiết) và tôi không thực sự hiểu ý của bạn là gì khi 'nhận ra ngẫu nhiên quá trình, bạn sẽ có các biểu thức khác nhau cho '. Nếu bạn có thể giải thích một chút, điều đó thật tuyệt! Cảm ơn bạn đã dành thời gian!

x (t)

$x(t)$

x^{2} (t)

$x^2(t)$

— dùng968243

@ user968243 Theo như phần "cho mọi thực hiện", hãy nghĩ về nó theo cách này: Tín hiệu ban đầu của bạn, giả sử độ dài , mà bạn muốn tìm PSD, là một vectơ ngẫu nhiên. Vì vậy, nó là một vector với thành phần. Bây giờ, vì đây là một vectơ ngẫu nhiên, mỗi khi bạn 'lắc xí ngầu', bạn sẽ nhận được các giá trị khác nhau cho các thành phần của nó. Một khả năng có thể là [3 4 1 9 ...]. Một khả năng khác có thể là [2.9 4.2 1.1 9.02 ...]. Đây là những gì anh ấy muốn nói khi nói: "Với mỗi lần thực hiện một quá trình ngẫu nhiên, (vectơ của bạn), bạn sẽ nhận được các biểu thức khác nhau cho" (biến đổi phạm vi. Có ý nghĩa không?

N

$N$

N

$N$

— Spacey

@Mohammad tóm tắt nó một cách hoàn hảo.

— ssk08

Xuất phát tốt đẹp nhưng tôi nghĩ bạn có thể làm điều này thậm chí còn dễ dàng hơn

Tự động tương quan , đó là sự kết hợp của tín hiệu với thời gian tự lật. $r(t) = x(t)*x(-t)$

Convolution trong miền thời gian là phép nhân trong miền tần số.

Thời gian lật trong miền thời gian là "liên hợp phức tạp" trong miền tần số.

Do đó, chúng tôi nhận được

R (ω) = F {r (t)} = F {x (t)} F {x (- t)} = X (ω) X^{*} (ω) = | X (ω) |^{2} = P S D

$R(\omega) = \mathcal{F}\{r(t)\} = \mathcal{F}\{x(t)\}\mathcal{F}\{x(-t)\} = X(\omega) X^*(\omega) = |X(\omega)|^2 = PSD$

— Hilmar
nguồn

Không phải là tương quan tự động sự tích chập của tín hiệu với liên hợp phức tạp, tự lật thời gian sao?

— Jim Clay

Tôi nghĩ rằng anh ta đang cho rằng tín hiệu là có thật.

— ssk08

@Jim & ssk08: tất cả bạn đều đúng. Cảm ơn đã làm sạch các phương trình.

— Hilmar

Giải thích PSD (Mật độ phổ công suất)

Hàm autocorrelation về cơ bản là mà bạn đã ám chỉ.P( t )P(t)P(t)

Hàm autocorrelation về cơ bản là mà bạn đã ám chỉ. $P(t)$