Bộ lọc IIR để làm mịn (Bộ lọc thông thấp)

Tôi đang sử dụng bộ lọc IIR để làm mịn

$$y[n] = ax[n]+(1-a)y[n-1]$$

Câu hỏi của tôi là, nếu tôi thêm một bộ lọc IIR khác, nó sẽ là thứ tự thứ hai của bộ lọc IIR? Nếu không, nó có thể được gọi là gì?

Bộ lọc thứ hai của tôi là

$$y_2[n] = ay[n] + (1-a)y_2[n-1]$$

Nếu bạn áp dụng hai bộ lọc trong một chuỗi theo tầng, thì hành vi của tầng có thể được thể hiện theo hai cách khác nhau. Trong miền thời gian, đáp ứng xung của toàn bộ hệ thống có thể được tính bằng cách kết hợp các đáp ứng xung của$y[n]$ và $y_2[n]$cùng với nhau. Đối với các bộ lọc IIR, điều này có thể hơi cồng kềnh.

Trong miền tần số, toàn bộ hệ thống $z$Hàm truyền tên miền có thể được tính bằng cách nhân các hàm truyền $H_y(z)$ và $H_{y_2}(z)$cùng với nhau. Đây thường là một tuyến dễ dàng hơn nhiều cho các bộ lọc có phản hồi.

Trong trường hợp của bạn, hai bộ lọc thực sự có cùng mối quan hệ đầu vào / đầu ra (giả sử rằng $y[n]$ là đầu vào $y_2[n]$. Sử dụng$z$-transform , thật dễ dàng để tìm thấy rằng:

$$H_y(z) = H_{y_2}(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{a}{1 - (1-a)z^{-1}}$$

Sử dụng mối quan hệ tôi đã đề cập ở trên, bạn có thể tính toán chức năng chuyển của hai bộ lọc theo tầng bằng cách sử dụng:

$$H(z) = H_y(z) H_{y_2}(z) = \left(\frac{a}{1 - (1-a)z^{-1}}\right)^2$$

$$H(z) = \frac{a^2}{1 - 2(1-a)z^{-1} + (1-a)^2z^{-2}}$$

Chúng ta có thể dễ dàng sử dụng nghịch đảo $z$-transform để quay trở lại phương trình khác biệt cho hai bộ lọc xếp tầng:

$$y_c[n] = a^2x[n] - 2(1-a)y[n-1]+(1-a)^2y[n-2]$$

Bằng cách kiểm tra, chúng tôi có thể nói rằng đây là bộ lọc thứ hai (được cung cấp $a \not= 1\ $), như bạn nghi ngờ.

Có, sự kết hợp của hai bộ lọc IIR bậc 1 sẽ được gọi là bộ lọc IIR bậc 2. Quá trình kết hợp hai bộ lọc thứ tự đầu tiên để tạo thành bộ lọc thứ tự thứ hai được gọi là xếp tầng.