Phương sai của nhiễu trắng Gaussian

Nó có vẻ là một câu hỏi dễ dàng và không có nghi ngờ gì, nhưng tôi đang cố gắng tính toán phương sai của nhiễu Gaussian trắng mà không có kết quả.

Mật độ phổ công suất (PSD) của nhiễu Gaussian trắng cộng (AWGN) là trong khi tự động tương quan là $\frac{N_0}{2}$ , vậy phương sai là vô hạn? $\frac{N_0}{2}\delta(\tau)$

noise power-spectral-density random-process

— Mazzy
nguồn

Không phải công suất nhiễu là phương sai của điện áp nhiễu sao? Người ta cũng có thể hỏi về phương sai (hoặc độ lệch chuẩn) của công suất được đo trong một khoảng thời gian cụ thể. Tôi nghĩ rằng định lý giới hạn trung tâm sẽ mô tả mối quan hệ giữa thời lượng đo thời gian và phương sai của kết quả.

Câu trả lời:

Tiếng ồn Gaussian trắng trong trường hợp thời gian liên tục không phải là quá trình được gọi là quá trình bậc hai (có nghĩa là là hữu hạn) và do đó, vâng, phương sai là vô hạn. May mắn thay, chúng ta không bao giờ có thể quan sát quá trình nhiễu trắng (dù là Gaussian hay không) trong tự nhiên; nó chỉ có thể quan sát được thông qua một số loại thiết bị, ví dụ bộ lọc tuyến tính (ổn định BIBO) có chức năng truyền trong trường hợp bạn nhận được là một quá trình Gaussian đứng yên với mật độ phổ công suất $E[X^2(t)]$ $H(f)$ và phương sai hữu hạn $\frac{N_0}{2}|H(f)|^2$

σ^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{N_{0}}{2} | H (f) |^{2} d f .

$\sigma^2 = \int_{-\infty}^\infty \frac{N_0}{2}|H(f)|^2\,\mathrm df.$

Nhiều hơn những gì bạn có thể muốn biết về tiếng ồn Gaussian trắng có thể được tìm thấy trong Phụ lục của bài giảng này của tôi.

— Dilip Sarwate
nguồn

σ^{2}

$\sigma^2$

x (t)

$x(t)$

E [x^{2} (t)]

$E[x^2(t)]$

σ^{2}

$\sigma^2$

Y [n]

$Y[n]$

Y [n] = \int_{(n - 1) T}^{n T} X (t) d t

$Y[n]=\int_{(n-1)T}^{nT}X(t)\,\mathrm dt$

X (t)

$X(t)$

σ_{Y [n]}^{2} = \frac{N_{0}}{2} T

$\sigma_{Y[n]}^2=\frac{N_0}{2}T$

\frac{N_{0}}{2}

$\frac{N_0}{2}$

T = 1

$T=1$

@DilipSarwate Tôi đọc phần phụ lục thú vị của bạn. Nhưng bạn nói "Tuy nhiên, người ta không nên suy luận rằng các biến ngẫu nhiên trong quy trình WGN chính là các biến ngẫu nhiên Gaussian". Tôi đã không hoàn toàn hiểu điều này. Nếu các biến ngẫu nhiên không phải là Gaussian (và điều này có vẻ hợp lý với tôi vì chúng có phương sai vô hạn), tại sao quá trình lại có tên là Gaussian?

— Surfer vào mùa thu

f_{X (t)} (x)

$f_{X(t)}(x)$

{X (t) : - \infty < t < \infty}

$\{X(t)\colon -\infty < t < \infty\}$

0

$0$

x

$x$

X (t)

$X(t)$

{X (t) : - \infty < t < \infty}

$\{X(t)\colon -\infty < t < \infty\}$

σ \to \infty

$\sigma \to \infty$

σ \to 0

$\sigma \to 0$

$x[t]$ $\sigma^2$ $x$

\begin{matrix} R_{x x} [τ] & = & E [x [t] x [t + τ]] \\ = & {\begin{matrix} E [x [t]^{2}], i f τ = 0 \\ 0, o t h e r w i s e \end{matrix} \\ = & σ^{2} δ [τ] \end{matrix}

$\begin{array} RR_{xx}[\tau] &=& E\left[ x[t] x[t+\tau] \right]\\ &=& \left \{ \begin{array} EE \left[ x[t]^2 \right], {\rm if\ }\tau=0 \\ 0, {\rm otherwise} \end{array} \right. \\ &=& \sigma^2 \delta[\tau] \end{array}$

δ [τ]

$\delta[\tau]$

$\sigma^2 = \frac{N_0}{2}$

— Peter K.
nguồn

Đúng vậy: trừ khi bạn tính đến việc sức mạnh vô hạn khó có thể đạt được trong những lần đăng bài lớn này. Trên thực tế tất cả các quá trình nhiễu trắng kết thúc trong một triển khai vật lý có điện dung và do đó giới hạn băng thông hiệu quả. Xem xét các lý lẽ (hợp lý) dẫn đến tiếng ồn Johnson R: chúng sẽ tạo ra năng lượng vô hạn; ngoại trừ luôn có giới hạn băng thông trong việc thực hiện. Một tình huống tương tự được áp dụng ở đầu đối diện: nhiễu 1 / F. Có một số quy trình phù hợp với tiếng ồn 1 / f rất tốt trong một thời gian dài; Tôi đã đo chúng. Nhưng cuối cùng bạn bị ràng buộc bởi các quy luật vật lý.

— người kiêu ngạo
nguồn