Tại sao việc thêm một phiên bản trễ thời gian của tín hiệu vào chính nó tạo ra tín hiệu được lọc?

9

Tôi đã được hỏi câu hỏi này và không thể đưa ra câu trả lời tại chỗ không liên quan đến miền tần số (về cơ bản là các hệ số của chuỗi trễ là đáp ứng xung của bộ lọc FIR).

Có ai có cái nhìn sâu sắc nào làm cho quá trình này trở nên 'rõ ràng' không?

filters

— Tom Kealy
nguồn

9

Khi bạn trì hoãn một tín hiệu bằng giây và thêm nó vào các tín hiệu riêng của mình, bạn đang làm mất đi hoặc nulling thành phần tín hiệu ở tần số Hz vì đó thành phần tín hiệu sẽ thay đổi giai đoạn bằng cách chính xác : $T$ $\frac{1}{2T}$ $\pi$

\begin{aligned} \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) + \sin (2 π \frac{1}{2 T} (t - T) + θ) & = \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) + \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ - π) \\ = \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) + \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) \cos (π) \\ - \cos (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) \sin (π) \\ = \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) - \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) - 0 \\ = 0. \end{aligned}

$\begin{align} \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) + \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}(t-T) + \theta\right) &= \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) + \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta - \pi\right)\\ &= \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) +\sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right)\cos(\pi)\\ &\ \hspace{0.2in}-\cos\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right)\sin(\pi)\\ &= \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) -\sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right)-0\\ &= 0. \end{align}$ Một điều tương tự cũng xảy ra ở bội số lẻ của Hz. Đối với các tần số lân cận, việc hủy không hoàn thành và tất nhiên, tại các bội số của Hz, thành phần tín hiệu được nhân đôi giá trị thay vì bị hủy. Tương tự, nếu tín hiệu trễ bị giảm biên độ, việc hủy bỏ không hoàn thành tại Hz, v.v.

\frac{1}{2 T}

$\frac{1}{2T}$

\frac{1}{2 T}

$\frac{1}{2T}$

\frac{1}{2 T}

$\frac{1}{2T}$

Tóm lại, tín hiệu đang được lọc vì các tần số khác nhau đang được truyền qua với mức tăng khác nhau.

Nếu bạn muốn giải thích miền tần số, hàm truyền của hệ thống là biến đổi Fourier của câu trả lời của Matt đưa ra dưới dạng đáp ứng xung, viz. là một hàm không quan trọng của (trên thực tế, thay đổi hình sin từ tối đa đến tối thiểu như đã thảo luận ở trên) và do đó không phải là bội số vô hướng của . Lọc! $H(f)$

F [δ (t) + δ (t - T)] = 1 + \exp (- j 2 π f T)

$\mathcal F\left[\delta(t) + \delta(t-T)\right] = 1+\exp(-j2\pi fT)$

f

$f$

| H (f) |

$|H(f)|$

2

$2$

0

$0$

Y (f) = H (f) X (f)

$Y(f)=H(f)X(f)$

X (f)

$X(f)$

— Dilip Sarwate
nguồn

Xin lỗi vì sự chậm trễ - làm thế nào tôi đi từ đây (bộ lọc đó là nhiễu) đến sự cần thiết rằng bộ lọc là tích chập của hai tín hiệu? Tôi có thể thấy nó (đại số) từ tổng của hai công thức cosin, nhưng tôi không thể hiểu được lý do tại sao.

— Tom Kealy

Vui lòng giải thích ý của bạn bằng cách "lọc là nhiễu". Tôi hoàn toàn không hiểu khái niệm này

— Dilip Sarwate

Chà, chúng ta vừa mới thành lập (hoặc có chúng ta?) Rằng việc thêm hai tín hiệu cùng với các pha khác nhau tương đương với việc lọc với độ trễ thời gian vì sóng cản trở. Làm thế nào tôi sẽ đi (trong miền thời gian) từ đó để tích chập?

— Tom Kealy

Tôi vẫn không hiểu câu hỏi. là đầu ra của bộ lọc có đáp ứng xung có đầu vào xảy ra là , vì đã được chỉ ra trong câu trả lời của Matt. Nếu bạn muốn viết đầu ra dưới dạng tích chập, bạn có thể viết đâu, khi nào bạn đánh giá tích sử dụng chọn lọc tài sản của xung, bạn sẽ có được mà bạn đã biết

x (t) + x (t - T) = y (t)

$x(t)+x(t-T) = y(t)$

h (t) = δ (t) + δ (t - T)

$h(t) = \delta(t)+\delta(t-T)$

x (t)

$x(t)$

y (t) = x ⋆ h = \int_{- \infty}^{\infty} x (t - u) h (u) d u = \int_{- \infty}^{\infty} x (t - u) [δ (u) + δ (u - T)] d u

$y(t) = x\star h = \int_{-\infty}^\infty x(t-u)h(u)\,du = \int_{-\infty}^\infty x(t-u)[\delta(u)+\delta(u-T)]\,du$

x (t) + x (t - T)

$x(t)+x(t-T)$

— Dilip Sarwate

6

Nếu bạn xác định lọc (bất biến thời gian tuyến tính) là tích chập, thì câu trả lời là hiển nhiên: tổng của tín hiệu và phiên bản trễ của nó có thể được viết dưới dạng tích chập với đáp ứng xung : trong đó là độ trễ giữa hai phiên bản tín hiệu. $h(t)$

h (t) = δ (t) + δ (t - T)

$h(t) = \delta(t) + \delta(t-T)$

T

$T$

— Matt L
nguồn

4

Nếu độ trễ thời gian của phiên bản được thêm vào trễ của tín hiệu chính xác là một chu kỳ của bất kỳ nội dung định kỳ nào, thì đầu ra sẽ được tăng thêm. Nếu độ trễ chính xác bằng một nửa thời gian của bất kỳ thành phần hình sin nào, thì thành phần đó sẽ can thiệp triệt để, và do đó sẽ bị loại ra khỏi đầu ra. Nếu độ trễ bằng 0, thì tín hiệu sẽ được nhân đôi. Đối với các kết hợp tần số / pha nằm giữa giao thoa triệt tiêu hoàn toàn hoặc cộng hoàn toàn, kết quả cộng gộp cũng sẽ nằm ở giữa.

Tăng và giảm đầu ra tùy thuộc vào nội dung tần số của đầu vào là lọc thông thường.

— hotpaw2
nguồn