Điều kiện cho ma trận tiền mã hóa để duy trì tính đối xứng liên hợp phức tạp trên vectơ DFT

Giả sử có một vectơ DFT có độ dài N, biểu thị sự đối xứng liên hợp phức tạp quanh điểm giữa của nó, tức là , và cứ thế. và lần lượt là tần số DC và Nyquist, do đó là các số thực. Các yếu tố còn lại là phức tạp. X ( 1 ) = X ( N - 1 ) ∗ X ( 2 ) = X ( N - 2 ) ∗ X ( 0 ) X ( N / 2 $\mathbf{X}$$X(1) = X(N-1)^*$$X(2) = X(N - 2)^*$$X(0)$$X(N/2)$

Bây giờ, giả sử có một ma trận , với kích thước , nhân với vectơ X. N × $\mathbf{T}$$N \times N$

$$\begin{align} \mathbf{Y} = \mathbf{T}\mathbf{X} \end{align}$$

Câu hỏi là:

Trong điều kiện nào, đối với ma trận , đối xứng liên hợp phức tạp xung quanh điểm giữa của vectơ kết quả được bảo toàn?$\mathbf{T}$$\mathbf{Y}$

Động lực cho câu hỏi này là cố gắng đưa ra một ma trận tiền mã hóa dẫn đến một biểu tượng tiền mã hóa (tiền cân bằng) có IFFT là có thật.$\mathbf{T}$$\mathbf{Y}$

BIÊN TẬP:

Cảm ơn @MattL. và @niaren. Khó khăn về câu hỏi này là tìm các điều kiện cần thiết. Câu trả lời của Matt thực sự là đủ. Nó cũng là đủ để thực hiện các sửa đổi sau đây:

Hàng đầu tiên và cột đầu tiên không cần bằng không. Thay vào đó, chúng có thể khác không, miễn là các giá trị của nó thể hiện sự đối xứng liên hợp phức tạp quanh điểm giữa, giá trị đầu tiên của nó là có thực và giá trị nó là có thực, giống như ký hiệu. Điều tương tự cũng có thể được ghi cho cột -thứ, các hàng -thứ, và đường chéo chính.( N / 2 + 1 ) ( N / 2 + 1 $(N/2+1)$$(N/2+1)$$(N/2+1)$

Thứ hai, có thể tạo ra sự tương ứng tương tự giữa ma trận ở góc trên bên trái và góc dưới bên phải giữa góc trên bên phải và góc dưới bên trái, nghĩa là chọn một ma trận bắt đầu từ đến , lật từ trái sang phải, lật ngược và lấy liên hợp, sau đó đặt ở góc dưới bên trái. Trên MATLAB, đó sẽ là:t 2 , N / 2 + 2 t N / 2 , $(N/2 -1)\times(N/2-1)$$t_{2,N/2 + 2}$$t_{N/2,N}$

T(N/2+2:N,2:N/2) = conj(fliplr(flipud(Tisi(2:(N/2),N/2+2:N))))

Cấu trúc này tương tự như cấu trúc của ma trận DFT. Đó sẽ là một điều kiện cần thiết?

EDIT (2):

Đoạn mã sau thực hiện một toán tử hợp lệ như vậy cho bất kỳ ma trận có giá trị thực :$N \times N$$\mathbf{A}$

N = 8;  
A = rand(N,N); %must be real-valued  
w = exp(-1j*2*pi/N); % twiddle factor  
W = w.^(repmat(0:N-1,N,1).*repmat(0:N-1,N,1).'); % DFT matrix  
T = W*A*W'

EDIT (3):

Cũng rất thú vị khi lưu ý trình bày điều kiện đủ. Điều này xuất phát từ thực tế rằng:$\mathbf{T}^{-1}$

$$\begin{align} \mathbf{T}^{-1} &= \mathbf{\left(W A W^{H}\right)}^{-1}\\ &= \mathbf{\left(W^{H}\right)}^{-1} \mathbf{A}^{-1} \mathbf{W}^{-1} \end{align}$$ trong đó là ma trận DFT.$\mathbf{W}$

Vì . Phương trình này trở thành:$\mathbf{W^{H}} = N\mathbf{W}^{-1}$

$$\begin{align} \mathbf{T}^{-1} &= \left(N\mathbf{W}^{-1}\right)^{-1} \mathbf{A}^{-1} \frac{1}{N}\mathbf{W^{H}}\\ &= \mathbf{W} \mathbf{A}^{-1} \mathbf{W^{H}} \end{align}$$

Cuối cùng, vì là có giá trị thực, với điều kiện là thứ hạng đầy đủ, là đủ.$\mathbf{A}^{-1}$$\mathbf{A}$$\mathbf{T}^{-1}$

Tôi nghĩ rằng các mục trong ma trận của bạn phải tuân theo . Điều này nói rằng các mục trong hàng giống như các hệ số trong hàng n nhưng trong đó các hệ số được liên hợp và đảo ngược. Mẫu trong cho là$\bf{T}$$a_{N-n+1,N-m+1} = a^*_{n,m}$$N-n+1$$\bf{T}$$N=4$

$T_4 = \left[ \begin{smallmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24} \\ a^*_{24}&a^*_{23}&a^*_{22}&a^*_{21} \\ a^*_{14}&a^*_{13}&a^*_{12}&a^*_{11}\end{smallmatrix} \right]$

Tôi chắc chắn ai đó sẽ đưa ra một câu trả lời tốt hơn và chính xác hơn.

Nếu tôi không nhầm giải pháp duy nhất cho độc lập với vectơ là ma trận đường chéo (phức), trong đó đường chéo thỏa mãn đối xứng liên hợp phức tạp.$\mathbf{T}$$\mathbf{X}$

EDIT: OK, tôi đã nhầm. Đường chéo là tốt, nhưng nó không cần thiết. Ma trận phải có cấu trúc chung sau: các phần tử và phải có giá trị thực (chúng tương ứng với DC và Nyquist). Ngoài , hàng và cột đầu tiên chỉ chứa các số không. Đối với các phần tử đến đã chọn một trọng tàit 11 t N / 2 + 1 , N / 2 + 1 t 11 t 22 t N / 2 , N / 2 ( N / 2 - 1 ) × ( N / 2 - 1 ) T $\mathbf{T}$$t_{11}$$t_{N/2+1,N/2+1}$$t_{11}$$t_{22}$$t_{N/2,N/2}$$(N/2-1)\times (N/2-1)$ma trận. Sau đó, sử dụng ma trận trọng tài này để tạo thành một ma trận mới bằng cách hoán đổi tất cả các hàng (hàng đầu tiên trở thành hàng cuối cùng, hàng thứ hai trở thành hàng cuối cùng thứ hai, v.v.), bằng cách lật các hàng từ trái sang phải và bằng cách liên hợp. Sau đó đặt hàm con này ở góc dưới bên phải của tổng ma trận . Tất cả các yếu tố khác của phải bằng không. Tôi biết rằng điều này hơi khó hiểu nếu không có trực quan, vì vậy tôi sẽ thêm một lần sau khi tôi có nhiều thời gian hơn.$\mathbf{T}$$\mathbf{T}$