Hiện vật trong FFT

Gần đây tôi nhận ra rằng FFT không hoàn hảo. Có nghĩa là nếu tôi lấy tín hiệu và sau đó lấy FFT, rồi thực hiện FFT ngược, đầu ra kết quả không chính xác như đầu vào. Đây là một hình ảnh để cho bạn thấy những gì tôi có nghĩa là:

Tôi nghĩ rằng hình ảnh là khá tự giải thích. Tín hiệu IFFT chỉ là một biến đổi nghịch đảo của "phổ FFT" và âm mưu "Khác biệt" là sự khác biệt giữa tín hiệu IFFT và tín hiệu gốc ( ).$\text{IFFT - Original}$

Rõ ràng có một số đồ tạo tác, mặc dù chúng thực sự nhỏ. Tôi muốn biết lý do tại sao chúng xảy ra ở nơi đầu tiên. Đây có phải là do cửa sổ hữu hạn của biến đổi fourier? Hay vì một cái gì đó trong thuật toán FFT?

Lưu ý: Biểu đồ này có 32 điểm, nhưng tôi đã kiểm tra với 100, 1000, 1024, 256 và 64 điểm và luôn có phần dư này trong sự khác biệt về cường độ tương tự ( hoặc ).$10^{-16}$$10^{-15}$

Sự khác biệt bạn thấy là do lỗi số ở định dạng dấu phẩy động. Tất cả các thao tác cần thiết để thực hiện FFT và FFT nghịch đảo chỉ có thể được thực hiện với độ chính xác hữu hạn và bạn đã cho thấy kết quả của độ chính xác hữu hạn này trong âm mưu bên phải thấp hơn của bạn.

Nói chung, một số không thể được trình bày chính xác ở dạng kỹ thuật số. Một lỗi được giới thiệu. Nếu bạn ở Matlab, bạn có thể viết eps theo lệnh, nó sẽ cung cấp cho bạn một số.

EPS, không có đối số, là khoảng cách từ 1.0 đến số chính xác kép lớn hơn tiếp theo, đó là EPS = 2 ^ (- 52).

Lỗi bạn thấy trong cốt truyện của mình nằm trong phạm vi được trả về bởi eps (đó là 2 ^ (- 52)).

Mặc dù bạn mong đợi các giá trị thực trong đầu ra của mình từ IFFT, bạn có thể thấy rằng phần ảo của mình không chính xác bằng không. Điều tương tự.