Lấy mẫu hàm Dirac

9

Tôi muốn hỏi một câu hỏi lý thuyết liên quan đến chức năng Dirac. Biến đổi Fourier của hàm Dirac là giá trị 1 (DC) cho mọi tần số. Nếu chúng ta xem xét Định lý lấy mẫu, chúng ta phải tìm tần số tối đa trong tín hiệu , để chúng ta có thể lấy mẫu với . Nhưng như chúng ta có thể thấy từ Biến đổi Fourier của nó, hàm Dirac chứa mọi tần số, vì vậy chúng ta không thể tìm thấy một thích hợp . Câu hỏi của tôi là, từ quan điểm lý thuyết, chức năng Dirac có thể được lấy mẫu không? $\ f_{max}$ $\ f_s \ge \ 2f_{max}$ $f_s$

Chỉnh sửa: Cảm ơn bạn đã trả lời hữu ích của bạn kẻ!

sampling

— George Tseres
nguồn

1

Trong vùng đất kỹ thuật số, chuỗi x [n] = (1, n = 0) (0, nếu không) thực hiện hầu hết các công việc mà phân phối dirac thực hiện trong thế giới tương tự. Đây là chức năng cơ bản để tích chập, có đáp ứng tần số phẳng và là đáp ứng xung của "dây". Đó thực sự là một điều dễ dàng hơn trong kỹ thuật số

— Hilmar

cá nhân tôi, tôi nghĩ rằng một câu trả lời ngắn gọn hơn là "Không, một xung Dirac, , không thể được lấy mẫu tại vì không có giá trị mà các chức năng (hoặc phân phối) mất ít ." $\delta(t)$ $t=0$ $t=0$ có không hàm delta Dirac trong thế giới vật chất, chỉ xấp xỉ với nó. vì vậy không có gì để lấy mẫu

— robert bristow-johnson

7

Bất kỳ tín hiệu nào cũng có thể được lấy mẫu, độc lập với việc định lý lấy mẫu có giữ hay không. Định lý lấy mẫu cho bạn biết rằng, nếu tốc độ lấy mẫu là đủ, thì các mẫu đại diện cho tín hiệu gốc hoàn chỉnh.

Các tín hiệu có sự không liên tục hoặc, thậm chí tệ hơn, các phân phối như , không bị giới hạn băng tần, do đó, giả thuyết của định lý lấy mẫu sẽ không bao giờ giữ được. $\delta(t)$

Cũng lưu ý rằng việc chứng minh thông thường của định lý lấy mẫu liên quan đến việc nhân tín hiệu bằng một chuỗi xung. Tôi tin rằng quy tắc này đưa ra các tín hiệu được phân phối hoàn toàn, bởi vì các sản phẩm của phân phối không được xác định rõ .

Trên thực tế, tưởng tượng lấy mẫu tại . Mẫu này có giá trị không xác định. $\delta(t)$ $t=0$

— Juancho
nguồn

"Bất kỳ tín hiệu nào cũng có thể được lấy mẫu" - tốt, thuật toán lấy mẫu có thể được áp dụng cho bất kỳ tín hiệu nào , vâng, nhưng thực sự gọi quá trình này là "lấy mẫu" có thể, tùy thuộc vào ngữ cảnh, đã khẳng định rằng bạn có thể tái tạo tín hiệu từ kết quả là các điều kiện tiên quyết cho định lý lấy mẫu được đáp ứng.

— leftaroundabout

8

$t$

\int_{- \infty}^{\infty} δ (t) d t = = 1

$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt = 1$

\int_{- \infty}^{\infty} δ (t - t_{0}) f (t) d t = = f (t_{0})

$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-t_0)f(t)dt = f(t_0)$

$\delta^2(t)$

\underset{n}{Σ} δ (t - n T) δ (t) = = δ^{2} (t)

$\sum_n\delta(t-nT)\delta(t)=\delta^2(t)$

Các xung Dirac là một công cụ thuận tiện để phân tích các hệ thống bất biến thời gian tuyến tính nhưng chúng cần được xử lý cẩn thận vì các loại xử lý phổ biến được thực hiện trên các tín hiệu thông thường (như lấy mẫu) có thể dẫn đến kết quả không xác định và vô nghĩa khi áp dụng cho các xung Dirac.

— Matt L
nguồn

2

Thông tin được mang theo bởi Dirac là vị trí và cường độ của nó. Vetterli và cộng sự. chỉ ra cách có thể lấy mẫu tín hiệu được cung cấp bởi tổng số N diracs:

$x(t)=\sum_{i=0}^{N-1}r_i\delta(t-t_i)$

Lấy mẫu trong bối cảnh này có nghĩa là phục hồi $x(t)$ $r_i$ $t_i$ $i=0,\ldots,N-1$ $x(t)$

Blu, Thierry, et al. "Lấy mẫu thưa của đổi mới tín hiệu." Tạp chí xử lý tín hiệu, IEEE 25.2 (2008): 31-40.

— Arrigo
nguồn