Bộ lọc FIR với pha tuyến tính, 4 loại

Tôi biết có 4 loại bộ lọc FIR có pha tuyến tính, nghĩa là độ trễ nhóm không đổi: (M = độ dài đáp ứng xung)

1. Phản ứng xung đối xứng, M = lẻ

2. Imp. tôn trọng. đối xứng, M = chẵn

3. Imp. tôn trọng. chống đối xứng, M = lẻ

4. Imp. tôn trọng. chống đối xứng, M = chẵn

mỗi người có đặc điểm của nó. Loại nào trong số này được sử dụng phổ biến nhất trong bộ lọc FIR với thiết kế pha tuyến tính và tại sao? :)

Khi chọn một trong 4 loại bộ lọc pha tuyến tính này, chủ yếu có 3 điều cần xem xét:

1. các ràng buộc về các số không của tại vàz = 1 z = - $H(z)$$z=1$$z=-1$

2. độ trễ nhóm số nguyên / không nguyên

3. dịch pha (ngoài pha tuyến tính)

Đối với các bộ lọc loại I (số lượng vòi lẻ, thậm chí đối xứng) không có ràng buộc nào đối với các số 0 tại và , độ dịch pha bằng 0 (ngoài pha tuyến tính) và độ trễ nhóm là một số nguyên giá trị.z = - $z=1$$z=-1$

Các bộ lọc loại II (số lượng vòi chẵn, thậm chí đối xứng) luôn có số 0 tại (nghĩa là một nửa tần số lấy mẫu), chúng có độ dịch pha bằng 0 và chúng có độ trễ nhóm không nguyên.$z=-1$

Bộ lọc loại III (số lượng vòi lẻ, đối xứng lẻ) luôn có các số 0 tại và (tức là tại và ), chúng có độ dịch pha 90 độ và một nhóm nguyên sự chậm trễ.z = - 1 f = 0 f = f s /$z=1$$z=-1$$f=0$$f=f_s/2$

Bộ lọc loại IV (số lượng vòi chẵn, đối xứng lẻ) luôn có số 0 tại , độ dịch pha 90 độ và độ trễ nhóm không nguyên.$z=1$

Điều này ngụ ý (trong số những thứ khác) như sau:

• Bộ lọc loại I khá phổ biến, nhưng chúng không thể được sử dụng bất cứ khi nào cần thay đổi pha 90 độ, ví dụ như cho các bộ phân biệt hoặc máy biến áp Hilbert.

• Các bộ lọc loại II thông thường sẽ không được sử dụng cho các bộ lọc thông cao hoặc dừng băng tần, do số 0 tại , tức là tại . Chúng cũng không thể được sử dụng cho các ứng dụng khi cần dịch chuyển pha 90 độ.f = f s /$z=-1$$f=f_s/2$

• Bộ lọc loại III không thể được sử dụng cho các bộ lọc chọn lọc tần số tiêu chuẩn vì trong những trường hợp này, sự thay đổi pha 90 độ thường là không mong muốn. Đối với máy biến áp Hilbert, bộ lọc loại III có xấp xỉ cường độ tương đối xấu ở tần số rất thấp và rất cao do các số không tại và . Mặt khác, máy biến áp Hilbert loại III có thể được thực hiện hiệu quả hơn máy biến áp Hilbert loại IV vì trong trường hợp này mọi vòi khác đều bằng không.z = - $z=1$$z=-1$

• Bộ lọc loại IV không thể được sử dụng cho các bộ lọc chọn lọc tần số tiêu chuẩn, vì các lý do tương tự như bộ lọc loại III. Chúng rất phù hợp cho các bộ biến đổi và máy biến áp Hilbert, và xấp xỉ cường độ của chúng thường tốt hơn bởi vì, không giống như các bộ lọc loại III, chúng không có số 0 tại .$z=-1$

• Trong một số ứng dụng, độ trễ nhóm số nguyên là mong muốn. Trong những trường hợp này, bộ lọc loại I hoặc loại III được ưu tiên.

Tất cả các bộ lọc có đáp ứng xung đối xứng đều có số 0 tại (tức là tần số 0). Vì vậy, nếu bạn cần triển khai bộ lọc thông cao hoặc bộ lọc giống như phái sinh (hoặc thậm chí là băng thông), thì bạn phải chọn loại 3 và 4.$z=1$

Tương tự, nếu bộ lọc của bạn là loại thông thấp, thì loại 1 và 2 sẽ được áp dụng.

Vì vậy, điều này phụ thuộc vào loại bộ lọc bạn cần thiết kế, và không phụ thuộc vào loại bộ lọc phổ biến hơn.

Sau đó, cũng có sự khác biệt giữa loại 1 và 3 so với 2 và 4 về phản ứng pha. Sẽ có thêm một giữa hai loại. Ngay cả khi bạn không quan tâm đến độ trễ thực tế được giới thiệu, sự khác biệt nửa mẫu này có thể quan trọng về mặt hội tụ trong một số trường hợp bộ lọc thông cao (pha thêm có thể làm cho đáp ứng tần số của bạn liên tục ở , do đó cung cấp sự hội tụ nhanh hơn nhiều và cần ít hệ số hơn). θ = $e^{j\theta/2}$$\theta = \pi$

Về mặt thực hiện, tất cả 4 loại có thể được thực hiện một cách hiệu quả mà không cần lặp lại cùng một hệ số hai lần.

Tất nhiên, bạn cần toàn bộ dòng trễ cỡ M. Nhưng thay vì nhân từng đầu ra của vòi với hệ số riêng, trước tiên bạn thêm (hoặc trừ) hai đầu ra tương ứng và sau đó nhân một lần với hệ số.

Ví dụ: nếu đáp ứng xung là (bộ lọc loại 1), thay vì triển khai , bạn làm cho nó .$h[n] = a \delta[n] + b \delta[n-1] + a \delta[n-2]$$y[n] = a x[n] + b x[n-1] + a x[n-2]$$y[n] = a (x[n] + x[n-2]) + b x[n-1]$

Vì đã có hai câu trả lời rất hay, tôi sẽ đưa ra một số ví dụ rất cơ bản mà từ đó các thuộc tính được đưa ra trong các câu trả lời khác có thể được kiểm tra lại. Không có vị trí và phản ứng pha có sẵn trực tiếp.

đối xứng, M = lẻ

$H(z) = 1\pm2z^{-1}+z^{-2} = (1\pm z^{-1})^2 \\ H(e^{j\omega}) = (1\pm e^{-j\omega})^2 = (e^{-j\omega/2}(e^{j\omega/2}\pm e^{-j\omega/2}))^2 = e^{-j\omega}(e^{j\omega/2}\pm e^{-j\omega/2})^2 = 4e^{-j\omega}\cos^2(\omega/2) \quad or \quad -4e^{-j\omega}\sin^2(\omega/2) = 4e^{-j(\omega-\pi)}\sin^2(\omega/2)$

$H(z) = 1+z^{-2} = (1 + jz^{-1})(1 - jz^{-1}) \\ H(e^{j\omega}) = (1 + e^{-j2\omega}) = e^{-j\omega}(e^{j\omega} + e^{-j\omega}) = 2e^{-j\omega}\cos(\omega)$

đối xứng, M = chẵn

$H(z) = 1 + z^{-1}\\ H(e^{j\omega}) = (1 + e^{-j\omega}) = e^{-j\omega/2}(e^{j\omega/2} + e^{-j\omega/2}) = 2e^{-j\omega/2}\cos(\omega/2)$

$H(z) = 1 + z^{-3} \\ H(e^{j\omega}) = (1 + e^{-j3\omega}) = e^{-j3\omega/2}(e^{j3\omega/2} + e^{-j3\omega/2}) = 2e^{-j3\omega/2}\cos(3\omega/2)$

$H(z) = 1 + 3z^{-1} + 3z^{-2} + z^{-3} = (1 + z^{-1})^3 = (1-e^{-2\pi/3}z^{-1})(1-e^{2\pi/3}z^{-1})(1+z^{-1})\\ H(e^{j\omega}) = (1 + e^{-j\omega})^3 = (e^{-j\omega/2}(e^{j\omega/2} + e^{-j\omega/2}))^3 = 8e^{-j3\omega/2}\cos(\omega/2)^3$

đối xứng, M = lẻ (theo [1], cho trường hợp này)$h[N/2] = 0$

$H(z) = 1 - z^{-2} = (1 + z^{-1})(1 - z^{-1}) \\ H(e^{j\omega}) = 1 - e^{-j2\omega} = e^{-j\omega}(e^{j\omega} - e^{-j\omega}) = 2je^{-j\omega}\sin(\omega)=2e^{-j(\omega-\pi/2)}\sin(\omega)$

đối xứng, M = chẵn

$H(z) = 1 - z^{-1} \\ H(e^{j\omega}) = (1 - e^{-j\omega}) = e^{-j\omega/2}(e^{j\omega/2} - e^{-j\omega/2}) = 2je^{-j\omega/2}\sin(\omega/2)$

[1] một tài liệu tham khảo tốt mitrappt