Làm thế nào cực có liên quan đến đáp ứng tần số

Gần đây tôi đã rơi vào sai lầm , xem xét cực s = 1 vì có đáp ứng vô hạn ở tần số 1. Tuy nhiên, phản hồi chỉ là 1. Bây giờ, bạn có thể rút ra được đáp ứng tần số, cho các cực không?

Thứ hai, lý thuyết nói rằng một hệ thống ổn định khi các cực nằm trong mặt phẳng trái và do đó, phân rã theo thời gian. Nhưng, đợi đã. Liệu "cực" có nghĩa là phản ứng vô hạn - sự tăng trưởng trong thời gian?

Cuối cùng, đó có phải là câu hỏi đúng trong DSP? IMO, D là viết tắt của kỹ thuật số trong khi s-domain là tương tự. Tôi không tìm thấy thẻ biến đổi mặt phẳng hoặc mặt phẳng để gắn nhãn bài đăng của mình.

cập nhật Cảm ơn câu trả lời. Dường như tôi đã có được nó ngoại trừ một điều nhỏ nhưng cơ bản - mối quan hệ của các cực (và số không) với tần số. Về cơ bản, tại sao giá trị riêng (hoặc, làm thế nào để bạn gọi $s$ nhà điều hành / biến) liên quan với tần số? Nó nên liên quan đến sự tăng trưởng theo cấp số nhân và biến đổi Laplace. Tôi khá hiểu rằng các cực xảy ra là giá trị riêng (đặc biệt đối với các đợt tái phát rời rạc). Nhưng, điều này có liên quan như thế nào với tần số?

Tôi nghĩ rằng thực sự có 3 câu hỏi trong câu hỏi của bạn:

Câu 1: Tôi có thể rút ra đáp ứng tần số cho các cực của hệ thống (bất biến thời gian tuyến tính) không?

Có, bạn có thể, lên đến một hằng số. Nếu $s_{\infty,i}$ , $i=1,\ldots,N,$ là các cực của hàm truyền, bạn có thể viết hàm truyền như

$$H(s)=\frac{k}{(s-s_{\infty,1})(s-s_{\infty,2})\ldots (s-s_{\infty,N})}\tag{1}$$

Lưu ý rằng $s$ là một biến phức tạp $s=\sigma+j\omega$ , và biến tần $\omega$ tương ứng với trục ảo của khu phức hợp $s$ -plane. Bây giờ chúng ta cần nhận được đáp ứng tần số từ chức năng chuyển. Đối với hệ thống ổn định này chỉ có thể được thực hiện bằng cách đánh giá hàm truyền $H(s)$ cho $s=j\omega$ . Vì vậy, bạn thay $s$ bằng $j\omega$ in (1) và bạn đã hoàn thành. Tuy nhiên, lưu ý rằng điều này chỉ đúng với các hệ thống ổn định (nghĩa là nếu vùng hội tụ của $H(s)$ Bao gồm các$j\omega$ trục).

Câu 2: Làm thế nào một hệ thống ổn định có thể có cực?

Như bạn đã biết, đối với hệ thống nhân quả và ổn định, tất cả các cột phải nằm ở bên trái nửa mặt phẳng của khu phức hợp $s$ -plane. Trên thực tế, giá trị của hàm truyền $H(s)$ sẽ đi đến vô cùng ở một cực $s=s_{\infty}$ , nhưng phản ứng tần số sẽ ổn, bởi vì nếu tất cả các cột đang trong trái nửa mặt phẳng, không có cực trên $j\omega$ trục (hoặc bên phải của nó). Nếu bạn nhìn vào nó trong miền thời gian, sau đó mỗi (đơn giản) cực có đóng góp của $e^{s_{\infty}t}$ để đáp ứng xung của hệ thống. Nếu cực nằm ở bên trái nửa máy bay, phương tiện này mà $s_{\infty}=\sigma_{\infty}+j\omega_{\infty}$ có một phần thực âm$\sigma_{\infty}<0$ . Vì thế

$$e^{s_{\infty}t}=e^{\sigma_{\infty}}e^{j\omega_{\infty}}$$

là một hàm được làm ẩm theo cấp số nhân và không phát triển mà phân rã, vì $\sigma_{\infty}<0$ .

Câu 3: Câu hỏi này có thuộc về nơi này không?

Các thành viên khác trong cộng đồng phải đánh giá xem câu hỏi này có thuộc về nơi này không. Tôi nghĩ rằng nó làm. Rõ ràng là không liên quan trực tiếp đến DSP thuần túy, nhưng các kỹ sư DSP rất thường xuyên phải xử lý các tín hiệu và hệ thống tương tự trước khi chuyển đổi AD, vì vậy họ cũng biết về lý thuyết hệ thống liên tục. Thứ hai, hầu hết tất cả những người DSP (ít nhất là những người được đào tạo truyền thống) đã tiếp xúc khá nhiều với các tín hiệu chung và lý thuyết hệ thống, bao gồm các hệ thống thời gian liên tục và thời gian rời rạc.

Nhân tiện, đối với các hệ thống thời gian rời rạc, bạn nhận được biểu mẫu $\mathcal{Z}$ thay vì biến đổi Laplace và biến phức của bạn bây giờ được gọi là $z$ thay vì $s$ . Biến $D$ mà bạn đã đề cập được định nghĩa là $D=z^{-1}$ và chủ yếu được sử dụng trong tài liệu mã hóa. Theo định nghĩa của nó, nó biểu thị một yếu tố trì hoãn, vì vậy $D$ là viết tắt của "delay" (không phải "kỹ thuật số").

Nếu bạn biết rằng trái nửa mặt phẳng của phức tạp $s$ bản đồ -plane đến khu vực bên trong vòng tròn đơn vị của phức $z$ -plane (tức $|z|<1$ ), và $j\omega$ trục bản đồ để vòng tròn đơn vị $|z|=1$ , sau đó hầu hết mọi thứ bạn biết về một trong hai tên miền sẽ dễ dàng chuyển sang tên miền khác.

Một điều thực sự giúp tôi hiểu các cực và số không là hình dung chúng như các bề mặt biên độ. Một vài trong số các lô này có thể được tìm thấy trong A Filter Primer . Một số lưu ý:

• Có thể dễ dàng hơn để tìm hiểu mặt phẳng S tương tự trước tiên và sau khi bạn hiểu nó, sau đó tìm hiểu cách hoạt động của mặt phẳng Z kỹ thuật số.
• Số 0 là điểm tại đó mức tăng của hàm truyền bằng không.
• Cực là một điểm tại đó mức tăng của hàm truyền là vô hạn.
• Thường có các số 0 hoặc các cực ở vô cực, không phải lúc nào cũng có trong các mô tả về hàm truyền, nhưng cần thiết để hiểu nó.
• Đáp ứng tần số trong mặt phẳng S chỉ xảy ra dọc theo trục jω.
  • Nguồn gốc là 0 Hz hoặc DC và tần số cắt của các bộ lọc tăng dần so với gốc. Đặt một cực tại bất kỳ điểm nào dọc theo một vòng tròn ở một khoảng cách nhất định từ điểm gốc sẽ tạo ra cùng tần số cắt.
  • Để tăng tần số cắt của bộ lọc, hãy di chuyển các cực ra bên ngoài.
  • Để tăng Q của bộ lọc biquad, hãy di chuyển các cực dọc theo vòng tròn về phía trục jω, giữ cho tần số cắt không đổi, nhưng làm tăng hiệu ứng của cực đối với đáp ứng tần số, làm cho nó trở nên "đỉnh" hơn.
  • 
• Nếu một số 0 xuất hiện trên trục jω, thì đáp ứng tần số sẽ giảm xuống 0 tại tần số đó; nếu bạn nhập sóng hình sin ở tần số đó, đầu ra sẽ là 0.
• Nếu một cực xuất hiện trên trục jω, thì đáp ứng xung là một bộ dao động; bất kỳ sự thúc đẩy nào sẽ khiến nó đổ chuông mãi mãi ở tần số đó. Các xung có năng lượng hữu hạn, nhưng phản ứng của bộ lọc có năng lượng vô hạn, vì vậy nó có mức tăng vô hạn.

Một ví dụ đơn giản là tích hợp H (s) = 1 / s:

• Hàm này bằng 0 khi s là vô hạn, vì vậy nó có số 0 ở vô cực.
• Hàm này bằng vô cùng khi s bằng 0, do đó nó có cực ở 0.

Nói cách khác, nó có mức tăng vô hạn tại DC (phản hồi bước của bộ tích phân là tăng mãi mãi) và mức tăng giảm khi tần số tăng:

Di chuyển cực ra khỏi điểm gốc, dọc theo trục tưởng tượng vào bên trái của mặt phẳng S, làm cho mức tăng ở 0 Hz trên trục jw trở lại hữu hạn và bây giờ bạn có bộ lọc thông thấp:

Tôi sẽ không nói ánh xạ đầy đủ từ các cực (1) / số 0 (0) đến đáp ứng tần số nhưng tôi nghĩ tôi có thể giải thích mối liên hệ giữa tần số và đáp ứng không / vô hạn, tại sao bạn có phản hồi vô hạn / không tại tức là những gì e - j w phải làm với z .$e^{-jw}=z_\text{zero/pole},$$e^{-jw}$$z$

Dạng tổng quát của hệ thống tuyến tính là mà có thể được giải theo z-from là Y ( z ) = ( b 0 + b 1 z +

$$y_n+a_1y_{n-1}+a_2y_{n-2}+\cdots = b_0 x_n + b_1x_{n-1}+b_2x_{n-2}+\cdots,$$ $$Y(z) = {(b_0 + b_1 z + b_2 z^2+\cdots)\over(1+a_1z+a_2z^2+\cdots)}X(z) = H(z)X(z) = {(1-z_0z)(1-z_1z)\cdots \over(1-p_0z)(1-p_1z)\cdots}X(z).$$

Cuối cùng, hàng loạt các sản phẩm nhị thức có thể được coi là một loạt các hệ thống, trong đó đầu ra đầu tiên, là đầu vào cho một hệ thống khác.$(1-z_0 z)\cdots{1\over 1-p_0 z}$

Tôi muốn phân tích ảnh hưởng của cực đơn và không. Hãy đơn ra số không đầu tiên, coi đó hàm truyền để phần còn lại của là tín hiệu đầu vào, Y ( z ) = ( 1 - z 0 z ) Χ ( z ) , mà tương ứng với một số y n = b 0 x n + b 1 x n - 1 . Hãy lấy b $H(z)X(z)$$Y(z)=(1-z_0z)Χ(z),$$y_n = b_0x_n + b_1x_{n-1}.$$b_0=b_1=1$$y_n = x_n + x_{n-1}$

$$x_n = e^{jwn}\overset{z}{\leftrightarrow} 1 + e^{jw}z + e^{2jw} z^2 + \cdots = 1/(1-e^{jw})= X(z).$$ The response is going to be $$y_n = x_n + x_{n-1}|_{x_n = e^{jwn}} = e^{jwn} + e^{jw(n-1)} = e^{jwn}(1+e^{-jw})$$ that is, $1+e^{-jw}$ is the transfer function or $Y(z) = {(1+z)\over (1-e^{jw}z)} =(1+z)X(z)$.

Please note that $1+z$ basically says that output is sum of input signal plus shifted signal, since single $z$ stands for single clock delay in time domain.

Now, as explained in, $H(jw) = 1 + e^{-jw} = e^{-jw/2}(e^{jw/2}+e^{-jw/2}) =e^{-jw/2}2\cos(w/2)$. Cosine makes it to behave like low-pass filter

$$\begin{cases} w=0 & \Rightarrow &H(j0) = 1\cdot 2 \cos (0) = 2\\ w=\pi & \Rightarrow & H(j\pi) = e^{j\pi/2}2\cos(\pi/2) = 0 \end{cases}$$

It is also a good lesson that you get $2 cos \alpha = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha}$ because you will supply the real signals rather than complex imaginary ones in real life.

LTI with impulse response = {1,-1} is $y_n=x_n -x_n|_{x_n=e^{jwn}} =e^{jwn}(1-e^{-jw})$ has transfer function of $H(jw) = (1-e^{-jw}) = e^{-jw/2}(e^{jw/2}-e^{-jw/2})=e^{-jw}2\sin(w/2)$, which has zero at $w=0$ since $sin(0)=0$ but it can be found from the frequency response

$$H(jw)=1-e^{-jw} = 0 \Rightarrow e^{-jw} = 1 = e^0 \Rightarrow w = 0.$$

After the textbooks, I can spot the surprising coincidence between transfer function $H(z) = 1\pm z$ and frequency response $H(jw)=1\pm e^{-jw}$. That is, z somehow corresponds to $e^{-jw}$, which is important for zero/pole analysis. I read it like

sine z-factor stands for a clock shift and $y_n = x_n \pm x_{n-1}=0$ means that next sample is $\pm$ previous one to get zero response, we need to have $1\pm z=0$ in front of X(z). But, the frequency domain basis functions $e^{jwn}$ evolve by multiplying current value $e^{jw(n-1)}$ with $e^{jw}$ every clock. Therefore, we have $e^{jwn}(1 \pm e^{-jw}) =0$ as condition for constant zero output. The latter $1\pm e^{-jw}$ matches perfectly with zero transfer function $1\pm z=0$.

In general, single-zero LTI is given by $y_n = b_0 x_n + b_1 x_{n-1}$ or

$$Y(z) = (b_0 + b_1 z)X(z) = (b_0+ b_1z)(1+x_1z+x_2z^2+\cdots) = b_0 + (b_0 x_1 + b_1 x_0)z + (b_0 x_2 + b_1 x_1)z^2 + \cdots.$$ When $b_0+b_1 z = 0$, i.e. when $z=-b_0/b_1,$ whereas frequency response is, $$y_n(x_n = e^{jwn}) = b_0 e^{jwn} + b_1 e^{jw(n-1)} = e^{jwn}(b_0+b_1 e^{-jw})= e^{jwn}b_0(1-z_0 e^{-jw}),$$

which goes to zero when $1-z_0 e^{-jw} = 0$ or $e^{-jw} = 1/z_0$, which matches the computation for $z$ if $z=e^{-jw}$. The only thing that bothers me is that fixed-amplitude complex exponential is not enough for the frequency (harmonic) basis. You cannot obtain arbitrary ratio $1/z_0= e^{-jw}$ by choosing appropriate frequency $w$, a decaying harmonic signal is needed for that. That is weird because I have heard that any signal can be represented as sum of (constant amplitude) sines and cosines. But, anyway, we see that system zero stands for relationship between adjacent samples of input signal. When they are right, the output is identically 0 and we can choose such such frequency $w$ so that zero $z = 1/z_0 = e^{-jw}.$

Now, what about the poles? Let's single out a single pole $a$. The system has a from of $y_n = a y_{n-1} + (x_n + x_{n-1} + \cdots)$, under assumption $y_0 = 0$, has z-transform of $Y(z) = X(z)/(1-az)$.

The feedback $a$ is equivalent to infinite impulse response ${1,a,a^2,\ldots} \overset{z}{\leftrightarrow} 1 + az + a^2z^2 + \cdots = 1/(1-az)$. It says that response is infinite when $z=1/a$. What does it mean if we apply the test signal

$$x_n=e^{jwn}\overset{z}{\leftrightarrow} X(z) = 1+e^{jw}z+e^{2jw}z^2+\cdots = 1/(1-e^{jw}z)$$ to our system? We'll get $Y(z)={1\over 1-az}{1\over 1-e^{jw}z},$ or $$y_n = e^{jwn} + ae^{jw(n-1)} +a^2e^{jw(n-2)} +\cdots = e^{jwn}(1+ae^{-jw} + a^2e^{-2jw} + \cdots) ={e^{jwn}\over 1-ae^{-jw}}.$$ That is, frequency response is $1/(1-ae^{-jw}),$ which goes to infinity when $e^{-jw}=1/a,$ the same as $z_{pole}$ above, $e^{-jw}=z_{pole}=1/a$. But again, you can not always arrive at the pole $1/a$ adjusting the frequency $w$ alone. The frequency basis functions must be decaying amplitude in general and look like $(ke^{jw})^n$.

That is, zeroes or poles of the transfer function $H(z)$ happen to match the zeroes and poles of frequency response $H(jw)$, which is really amazing. I noticed that this is related to the relation between adjacent samples, $e^{jwn}/e^{jw(n-1)} = e^{jw} = 1/z_{zero}$ in case of zeroes. The fact that $e^{jwn}$ scales exponentially over time, along with the system with feedback $a$, also seems to be the key for matching between $e^{jw}$ and $z_{poles}$. It also seems important that you cannot simply look for the appropriate frequency of $e^{jwn}$, the basis function must also have adjustable amplitude factor $k^n$.

I would be happy if anybody could explain the same more condensely or more crisply.