Những công cụ toán học tồn tại để hiểu tiếng ồn điều chế?

Giả sử chúng ta có một tín hiệu bao gồm nhiễu trắng Gaussian. Nếu chúng ta điều chỉnh tín hiệu này bằng cách nhân nó với , tín hiệu thu được vẫn có phổ công suất trắng, nhưng rõ ràng hiện tại nhiễu đã bị "bó". Đây là một ví dụ về một quá trình tuần hoàn . $n$ $\sin 2\omega t$

x (t) = n (t) \sin 2 ω t

$x(t) = n(t) \sin2\omega t$

Giả sử bây giờ chúng ta giải điều chế tín hiệu này ở tần số bằng cách trộn với các bộ dao động cục bộ sin và cos, tạo thành tín hiệu I và Q: $\omega$

I = x (t) \times \sin ω t

$I = x(t) \times \sin\omega t$

Q = x (t) \times \cos ω t

$Q = x(t) \times \cos\omega t$

Quan sát rõ ràng rằng phổ công suất của (được lấy trong khoảng thời gian lớn hơn ) là màu trắng, chúng ta sẽ mong đợi và đều chứa nhiễu Gaussian trắng có cùng biên độ. Tuy nhiên, điều thực sự xảy ra là phương trình lấy mẫu có chọn lọc các phần của thời gian với phương sai cao, trong khi , chín mươi độ lệch pha, lấy mẫu các phần phương sai thấp hơn: $x(t)$ $1/f$ $I$ $Q$ $I$ $x(t)$ $Q$

mô tả tiếng ồn điều chế

Kết quả là mật độ tiếng ồn quang phổ trong tôi là lần so với . $\sqrt{3}$ $Q$

Rõ ràng phải có một cái gì đó vượt ra ngoài phổ công suất hữu ích trong việc mô tả nhiễu điều chế. Tài liệu về lĩnh vực của tôi có một số tài liệu có thể truy cập mô tả quá trình trên, nhưng tôi muốn tìm hiểu cách nó được đối xử chung hơn bởi các cộng đồng xử lý tín hiệu / EE.

Một số công cụ toán học hữu ích để hiểu và thao tác tiếng ồn chu kỳ là gì? Bất kỳ tài liệu tham khảo cho văn học cũng sẽ được đánh giá cao.

Người giới thiệu:

Niebauer et al, "Tiếng ồn bắn không cố định và ảnh hưởng của nó đến độ nhạy của giao thoa kế". Vật lý. Rev. 43, 5022 505029 .

noise modulation cyclostationary-random-process

— ngòi nổ
nguồn

Để có được kết quả mà bạn hiển thị, bộ giải điều chế của bạn phải chuyển đổi ngược bởi các tần số sóng mang tương tự,

, không chỉ

2 ω

$2 \omega$

ω

$\omega\$

— Jason R

@ Jason R, Ah, tôi thấy tôi đã làm sai với bản gốc

điều chế. Đó là do một sai lầm trong việc thay đổi từ nhiễu Poisson sang nhiễu Gaussian.

2 ω

$2\omega$

— nibot

Tôi không chắc chắn cụ thể những gì bạn đang tìm kiếm ở đây. Nhiễu thường được mô tả thông qua mật độ phổ công suất hoặc tương đương với chức năng tự tương quan của nó; hàm tự tương quan của một quá trình ngẫu nhiên và PSD của nó là một cặp biến đổi Fourier. Tiếng ồn trắng, ví dụ, có một sự tự tương quan bốc đồng; điều này biến đổi thành phổ công suất phẳng trong miền Fourier.

Ví dụ của bạn (trong khi hơi không thực tế) là tương tự như một máy thu truyền rằng quan sát tiếng ồn trắng hãng-điều chế ở một tần số sóng mang của $2 \omega$ . Máy thu ví dụ khá may mắn, vì nó có bộ tạo dao động kết hợp với bộ phát; không có độ lệch pha giữa các sin được tạo ra ở bộ điều biến và bộ giải mã, cho phép khả năng chuyển đổi "hoàn hảo" sang băng cơ sở. Điều này không thực tế trên chính nó; có rất nhiều cấu trúc cho các máy thu truyền thông mạch lạc. Tuy nhiên, nhiễu thường được mô hình hóa như là một yếu tố phụ của kênh truyền thông không tương thích với tín hiệu điều chế mà máy thu tìm cách phục hồi; sẽ hiếm khi một máy phát thực sự truyền nhiễu như là một phần của tín hiệu đầu ra được điều chế của nó.

Tuy nhiên, với cách đó, một cái nhìn về toán học đằng sau ví dụ của bạn có thể giải thích sự quan sát của bạn. Để có được kết quả mà bạn mô tả (ít nhất là trong câu hỏi ban đầu), bộ điều biến và bộ giải mã có các bộ dao động hoạt động ở tần số và pha tham chiếu giống hệt nhau. Bộ điều biến xuất ra như sau:

\begin{aligned} n (t) & \sim N (0, σ^{2}) \\ x (t) & = n (t) \sin (2 ω t) \end{aligned}

$\begin{align} n(t) &\sim \mathcal{N}(0, \sigma^2) \\ x(t) & = n(t) \sin(2\omega t) \end{align}$

Máy thu tạo tín hiệu I và Q chuyển hướng xuống như sau:

\begin{aligned} I (t) & = x (t) \sin (2 ω t) = n (t) \sin^{2} (2 ω t) \\ Q (t) & = x (t) \cos (2 ω t) = n (t) \sin (2 ω t) \cos (2 ω t) \end{aligned}

$\begin{align} I(t) &= x(t) \sin(2 \omega t) = n(t) \sin^2(2 \omega t)\\ Q(t) &= x(t) \cos(2 \omega t) = n(t) \sin(2 \omega t) \cos(2 \omega t) \end{align}$

Một số nhận dạng lượng giác có thể giúp xác định thêm và : $I(t)$ $Q(t)$

\begin{aligned} \sin^{2} (2 ω t) & = \frac{1 - \cos (4 ω t)}{2} \\ \sin (2 ω t) \cos (2 ω t) & = \frac{\sin (4 ω t) + \sin (0)}{2} = \frac{1}{2} \sin (4 ω t) \end{aligned}

$\begin{align} \sin^2(2 \omega t) &= \frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\\ \sin(2 \omega t) \cos(2 \omega t) &= \frac{\sin(4 \omega t) + \sin(0)}{2} = \frac{1}{2} \sin(4 \omega t) \end{align}$

Bây giờ chúng ta có thể viết lại cặp tín hiệu chuyển hướng xuống dưới dạng:

\begin{aligned} I (t) & = n (t) \frac{1 - \cos (4 ω t)}{2} \\ Q (t) & = \frac{1}{2} n (t) \sin (4 ω t) \end{aligned}

$\begin{align} I(t) &= n(t) \frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\\ Q(t) &= \frac{1}{2} n(t) \sin(4 \omega t) \end{align}$

$I(t)$ $Q(t)$

\begin{aligned} σ_{I (t)}^{2} & = E (I^{2} (t)) = E (n^{2} (t) {[\frac{1 - \cos (4 ω t)}{2}]}^{2}) = E (n^{2} (t)) E ({[\frac{1 - \cos (4 ω t)}{2}]}^{2}) \\ σ_{Q (t)}^{2} & = E (Q^{2} (t)) = E (n^{2} (t) \sin^{2} (4 ω t)) = E (n^{2} (t)) E (\sin^{2} (4 ω t)) \end{aligned}

$\begin{align} \sigma^{2}_{I(t)} &= \mathbb{E}(I^2(t)) = \mathbb{E}\left(n^2(t) \left[\frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\right]^2\right) = \mathbb{E}\left(n^2(t)\right) \mathbb{E}\left(\left[\frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\right]^2\right) \\ \sigma^{2}_{Q(t)} &= \mathbb{E}(Q^2(t)) = \mathbb{E}\left(n^2(t) \sin^2(4 \omega t)\right) = \mathbb{E}\left(n^2(t)\right) \mathbb{E}\left(\sin^2(4 \omega t)\right) \end{align}$

$I(t)$ $Q(t)$

\frac{σ_{I (t)}^{2}}{σ_{Q (t)}^{2}} = \frac{E ({[\frac{1 - \cos (4 ω t)}{2}]}^{2})}{E (\sin^{2} (4 ω t))}

$\frac{\sigma^{2}_{I(t)}}{\sigma^{2}_{Q(t)}} = \frac{\mathbb{E}\left(\left[\frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\right]^2\right)}{\mathbb{E}\left(\sin^2(4 \omega t)\right)}$

$n(t)$ $t$ $\sqrt 3$

$4 \omega$

\frac{σ_{I (t)}^{2}}{σ_{Q (t)}^{2}} = \frac{E ((\frac{1}{2})^{2})}{E (0)} = \infty

$\frac{\sigma^{2}_{I(t)}}{\sigma^{2}_{Q(t)}} = \frac{\mathbb{E}\left((\frac{1}{2})^2\right)}{\mathbb{E}(0)} = \infty$

Đây là mục tiêu của máy thu điều chế bậc hai kết hợp: tín hiệu được đặt trong kênh (I) cùng pha được truyền vào tín hiệu I của máy thu mà không bị rò rỉ vào tín hiệu cầu phương (Q).

$\omega\$ $[\omega - \frac{B}{2}, \omega + \frac{B}{2}]$ $B$

$x(t)$ $R(t, \tau)$

R (t, τ) = E (x (t) x (t - τ))

$R(t, \tau) = \mathbb{E}(x(t)x(t - \tau))$

R (t, τ) = E (n (t) n (t - τ) \sin (2 ω t) \sin (2 ω (t - τ)))

$R(t, \tau) = \mathbb{E}(n(t)n(t - \tau) \sin(2 \omega t) \sin(2 \omega(t - \tau)))$

R (t, τ) = E (n (t) n (t - τ)) \sin (2 ω t) \sin (2 ω (t - τ))

$R(t, \tau) = \mathbb{E}(n(t)n(t - \tau)) \sin(2 \omega t) \sin(2 \omega(t - \tau))$

$n(t)$ $\tau$

R (t, τ) = σ^{2} δ (τ) \sin^{2} (2 ω t)

$R(t, \tau) = \sigma^2 \delta(\tau) \sin^2(2 \omega t)$

$x(t)$

— Jason R
nguồn

Re: "Đây là mục tiêu của máy thu điều chế bậc hai kết hợp ..." - điều này chỉ đúng nếu tín hiệu gốc bị giới hạn băng tần ở tần số nhỏ hơn tần số sóng mang, phải không?

— nibot

n (t) \cdot \sin ω t

$n(t)\cdot\sin\omega t$

δ (t)

$\delta(t)$

Tôi chỉnh sửa câu trả lời để nói về hai bình luận của bạn.

— Jason R

@Jason, bài tốt. Tuy nhiên, tôi đang cố gắng để hiểu, phần mà bạn nói về quá trình tuần hoàn. Tôi đang gặp khó khăn để hiểu tại sao 't' ở đây là chức năng của R ... - sau toán tử kỳ vọng, không còn biến 't' (thời gian) nữa ... chỉ có chức năng của tau.

— Spacey

@Jason nevermind, tôi chỉ nhận ra rằng 'phải' ở đó vì số liệu thống kê thay đổi theo thời gian, (mặc dù theo chu kỳ), và do đó, chức năng autocorr cũng sẽ là một chức năng của thời gian và trì hoãn ... nhưng những gì tôi không hiểu trường hợp này là cách bạn có delta * sin ^ 2 ... điều này có đảm bảo một câu hỏi thực sự cho tôi để đăng không?

— Spacey