Một ma trận Bernoulli không đối xứng có thỏa mãn RIP không?

Xác định ma trận cảm biến bằng với xác suất và với xác suất . Liệu thỏa mãn các hạn chế tài sản isometry ? $n\times N$ $A$ $A_{ij} = 0$ $p$ $A_{ij} = 1/\sqrt{n}$ $1-p$ $A$

Để tham khảo, trường hợp đối xứng được trả lời trong bài báo sau:

RG Baraniuk, MA Davenport, RA DeVore và MB Wakin, "Một bằng chứng đơn giản về tính chất hình học bị hạn chế cho các ma trận ngẫu nhiên," Xấp xỉ xây dựng, 28 (3) tr.255-263, tháng 12 năm 2008 ( pdf )

compressive-sensing

— câu đố
nguồn

Đây có thể là một con trỏ: ieeexplore.ieee.org/xpls/abs_all.jsp?arnumber=5512379 (thật không may, nó được trả tiền và tôi không tìm thấy bản sao OA của nó). Tôi không biết chi tiết về bài báo, nhưng những gì tôi có thể thấy từ một cái nhìn nhanh là họ không coi đó là một trường hợp chung như bạn yêu cầu; họ coi p = 1/2. Ngoài ra, tôi không biết mức độ kỹ lưỡng của chúng về RIP của các ma trận như vậy.

— Thomas Arildsen

Đây cũng có thể là một gợi ý: rauhut.ins.uni-bonn.de/RauhutSlidesLinz.pdf (trang 98). Thật không may, có vẻ như cái mà anh ta gọi là biến ngẫu nhiên Bernoulli là ngẫu nhiên +/- 1 - không phải 0/1 (tôi sẽ gọi chúng là Rademacher).

— Thomas Arildsen

Cho phép tôi lặp lại ý chính của một nhận xét tôi đã viết trên cùng một bài đăng (hiện đã bị xóa) trên số liệu thống kê. E : Nó sẽ giúp làm cho câu hỏi này chính xác hơn và cho biết chính xác những gì bạn quan tâm và những gì bạn đang đấu tranh để thích nghi. Nhận xét của @Thomas có liên quan; chúng tôi cũng không biết mức độ (nghĩa là thứ tự) của mức độ thưa thớt mà bạn quan tâm. Ngay cả khi chúng tôi xem xét các chức năng của Rademacher, câu trả lời rõ ràng là không có trong bất kỳ ý nghĩa thống nhất nào (về ), vì hãy để là (hoặc, đủ gần ) sao cho có (xác suất cao) một hàm con là tất cả. (tt)

p

$p$

p

$p$

1

$1$

— Đức hồng y

Bằng cách chọn một chuỗi làm hàm của , điều này sẽ được thực hiện đúng với một số cho bất kỳ ma trận kích thước nào. Mặt khác, đối với cố định , nếu, chúng tôi sửa đổi cấu trúc sao cho với xác suất và với xác suất , thì câu trả lời rõ ràng là có , vì điều này xuất phát từ lý thuyết tổng quát hơn nhiều liên quan đến ma trận ngẫu nhiên subgaussian không có nghĩa trung bình.

p_{n} \in (0, 1)

$p_n \in (0,1)$

n

$n$

p

$p$

p

$p$

A_{i j} = (1 - p) / \sqrt{n}

$A_{ij} = (1-p)/\sqrt{n}$

p

$p$

- p / \sqrt{n}

$-p/\sqrt{n}$

(1 - p)

$(1-p)$

— Đức hồng y

cảm ơn @cardinal, ma trận không có nghĩa là không, nhưng lý thuyết về ma trận ngẫu nhiên subgaussian trả lời câu hỏi này. Tôi đã tự hỏi làm thế nào có thể thỏa mãn RIP do nó không bảo toàn định mức, nhưng rõ ràng có một tỷ lệ thích hợp của mà

A

$A$

A

$A$

A

$A$

— olivia

Như những người khác đã nêu trong các ý kiến, câu trả lời là "Không". Giá trị trung bình khác không của ma trận chỉ ra rằng một vectơ trung bình khác (giả sử là tất cả các vectơ), sẽ có mức tăng cao hơn đáng kể so với một vectơ ngẫu nhiên có trung bình bằng 0 (giả sử ngẫu nhiên + 1, -1).

Xét định mức bình phương của A lần một vectơ y không đổi được dự kiến là n * (p * N) ^ 2. (lặp lại kỳ vọng)

Định mức bình phương của A lần một vectơ x được vẽ đồng đều từ (-1, + 1) được dự kiến là n * (p * N). (có thể tính bằng tổng phương sai của phân phối Binomial)

Các chỉ tiêu của x và y là như nhau, nhưng kỳ vọng về các chỉ tiêu được chuyển đổi khác nhau bởi một yếu tố của p * N - phân kỳ khi kích thước tăng lên.

Đây là mã MATLAB để giúp chứng minh.

n=2000;
N=1000;
p=.9;
A=double(rand(n,N)<p); 
x=sign(randn(N,1)); 
y=ones(N,1);
Ex_normSqAx = n*(N*p);  % E[ squared norm of A times random signs ]
Ex_normSqAy = n*(N*p)^2; % E[ squared norm of A times constant vector ]
normSqAx = norm(A*x)^2;
normSqAy = norm(A*y)^2;

— Đánh dấu
nguồn