Làm thế nào để tìm các ước tính trơn tru của đạo hàm và đạo hàm thứ hai của tín hiệu?

10

Tôi có một tín hiệu được lấy mẫu tại : trong đó . Tôi muốn tìm đạo hàm thứ nhất và thứ hai của tín hiệu: và . $\Delta t$ $f_i(t_i=i\Delta t)$ $i = 0,\ldots,n-1$ $f'(t)$ $f''(t)$

Suy nghĩ đầu tiên của tôi là ước tính các dẫn xuất bởi sự khác biệt trung tâm:

\begin{aligned} f^{'} (t_{i}) & = \frac{f (t_{i + 1}) - f (t_{i - 1})}{2 Δ t} \\ f^{″} (t_{i}) & = \frac{f (t_{i + 1}) - 2 f (t_{i}) + f (t_{i - 1})}{(Δ t)^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} f'(t_{i})&=\frac{f(t_{i+1})-f(t_{i-1})}{2\Delta t}\\ f''(t_{i})&=\frac{f(t_{i+1})-2f(t_{i})+f(t_{i-1})}{(\Delta t)^2} \end{align}$

Tuy nhiên, tín hiệu có thể có nhiều nhiễu tần số cao có thể gây ra dao động nhanh trong $f'$ và $f''$ .

Điều gì sẽ là cách tốt nhất để tìm các ước tính "được làm mịn" của $f'$ và $f''$ ?

filters smoothing

— Andy
nguồn

6

Nó có thể phụ thuộc nhiều hơn vào dữ liệu của bạn. Chỉ cần biết, vì sự khác biệt là một hoạt động tuyến tính, nếu bạn chọn bất kỳ bộ lọc tuyến tính nào để làm mịn f 'và f' ', thì nó tương đương với việc làm mịn f bằng cách sử dụng cùng một bộ lọc đó, sau đó lấy các dẫn xuất của nó.

Bạn có thể đăng một số hình ảnh hoặc thêm thông tin về tín hiệu bạn muốn phân biệt? Có lẽ những gì bạn đang tìm kiếm là một số loại bộ lọc thông thấp để làm mịn tín hiệu. Một vài tùy chọn thực sự đơn giản bao gồm bộ lọc đệ quy một cực như hoặc bộ lọc Hann, chỉ là một bộ lọc tín hiệu với một cửa sổ Hann. Tùy chọn bộ lọc Hann là tốt vì nó là pha tuyến tính. Nếu bạn biết dải tần số bạn quan tâm, bạn chỉ có thể thiết kế bộ lọc thông thấp phù hợp trong miền tần số. $y(n) = a \cdot x(n) + (1-a) \cdot y(n-1)$

— hầm cầu
nguồn

Cảm ơn schnarf! Vì vậy, làm mịn theo sau phân biệt bằng với phân biệt theo sau làm mịn; Tôi cũng có thể làm mịn tín hiệu gốc bằng cách kết hợp với cửa sổ Hann? Làm thế nào về cách tiếp cận đơn giản hơn bằng cách sử dụng một sự khác biệt hữu hạn trên một khoảng lớn hơn: f '(t) ~ = [f (t + 10 * Dt) -f (t-10 * Dt)] / (20 * Dt), điều này sẽ đưa ra một ước tính khá tốt của một dẫn xuất trơn?

— Andy

4

Bộ lọc Savitzky-Golay cung cấp các ước tính trơn tru về tín hiệu và một vài dẫn xuất đầu tiên.

Một triển khai MATLAB có thể được tìm thấy ở đây .

— eglaser
nguồn