Tính đạo hàm được làm mịn của tín hiệu bằng cách sử dụng chênh lệch với bước lớn hơn = tích chập với cửa sổ hình chữ nhật

Tôi có một tín hiệu được lấy mẫu tại trong đó i = 0..n - 1. Tôi muốn tìm đạo hàm đầu tiên của tín hiệu: f '(t).$\Delta t: fi(ti=i\Delta t)$

Suy nghĩ đầu tiên của tôi là ước tính điều này bằng một sự khác biệt trung tâm:

$f'(t_i) =\frac{f(t_{i+1})−f(t_{i−1})}{2\Delta t}$

Tuy nhiên, tín hiệu có thể có nhiều nhiễu tần số cao có thể gây ra dao động nhanh trong f '. Tôi đoán điều thích hợp có thể là làm mịn tín hiệu bằng cách kết hợp với chức năng cửa sổ, ví dụ, Hann và sau đó tìm đạo hàm từ sự khác biệt.

Một đồng nghiệp đã đề xuất một cách nhanh hơn để tìm một ước tính được làm mịn của đạo hàm: sử dụng sự khác biệt trung tâm so với 2n mẫu, trong đó n >> 1:

$f'(t_i) =\frac{f(t_{i+n})−f(t_{i−n})}{2n\Delta t}$

Điều này tất nhiên sẽ được tính toán nhanh hơn so với lần đầu tiên với chức năng cửa sổ nhưng nó có phải là một giải pháp tốt?

Nếu chúng ta tạo thành tổng:

$S=2\Delta t[f'(t_{i-n+1})+f'(t_{i-n+2})+..+f'(t_{i+n-1})]$

và mở rộng mỗi phái sinh bởi sự chênh lệch trung tâm với bước :$\Delta t$

$S=f(t_{i-n+2})-f(t_{i-n})+f(t_{i-n+3})-f(t_{i-n+2})+..+f(t_{i+n})-f(t_{i+n-2})$

tất cả các điều khoản ngoại trừ hai hủy bỏ:

$S=f(t_{i+n})-f(t_{i-n})=2n\Delta tf'(t_i)$

Vì thế:

$f'(t_i)=\frac{1}{n}[f'(t_{i-n+1})+f'(t_{i-n+2})+..+f'(t_{i+n-1})]$

Vì vậy, lấy sự khác biệt trung tâm so với các mẫu 2n là tương đương với phép chập đầu tiên bằng một cửa sổ hình chữ nhật có kích thước 2n - 2 và sau đó lấy chênh lệch trung tâm so với mẫu +/- 1.

Làm thế nào "xấu" là nó trơn tru với một cửa sổ hình chữ nhật?

Nếu chúng ta thực hiện FFT, điều này sẽ gây ra "đổ chuông", nhưng chúng ta không cần phải thực hiện FFT.

Cảm ơn trước cho bất kỳ câu trả lời!

Đây là một câu hỏi khó để xử lý nói chung. Làm mịn với một cửa sổ hình chữ nhật được sử dụng mọi lúc (thường được gọi là "trung bình di động"), vì vậy đó không nhất thiết là một vấn đề. Tôi không chắc bạn đang nhắc đến tiếng chuông nào, có lẽ là các tín hiệu của đáp ứng tần số của cửa sổ hình chữ nhật.

Sự khác biệt vốn dĩ là một hoạt động đường cao tốc; bộ phân biệt thời gian liên tục lý tưởng có chức năng chuyển:

Vì vậy, đáp ứng cường độ của nó là:

Độ lợi của bộ phân biệt do đó tăng đơn điệu theo tần số. Nếu tín hiệu của bạn chứa nhiễu tần số cao, thì nó có thể được khuếch đại bằng cách áp dụng bộ phân biệt. Để chống lại điều này, hai cách tiếp cận là rõ ràng:

• Thiết kế bộ lọc khác biệt tinh vi hơn có đáp ứng cường độ tuyến tính mong muốn trên phần băng tần bao phủ tín hiệu bạn quan tâm, sau đó giảm mạnh tần số cao hơn. Ví dụ, bạn có thể thiết kế bộ lọc như vậy bằng các phương pháp bình phương nhỏ nhất hoặc phương pháp lấy mẫu tần số.

• Sử dụng phương pháp xếp tầng trong đó trước tiên bạn loại bỏ tất cả nhiễu tần số cao mà bạn có thể sử dụng bộ lọc thông thấp, sau đó thực hiện theo bộ phân biệt. Vùng phủ sóng tần số của bộ phân biệt không cần phải chặt chẽ vì bộ lọc thông thấp sẽ loại bỏ nhiễu ngoài dải.

Các phương thức nên gần tương đương nếu bạn đang sử dụng các bộ lọc tuyến tính; bạn có thể nghĩ về cách tiếp cận bộ lọc đơn đầu tiên chỉ là một tầng của bộ phân biệt và bộ lọc thông thấp. Như bạn đã lưu ý, cách tiếp cận khác biệt trung tâm có thể được mô hình hóa theo cách này. Khó có ai có thể nói rằng nó "xấu" mà không có bất kỳ kiến ​​thức nào về ứng dụng của bạn. Suy nghĩ chính của tôi sẽ là "xấu" nếu hoạt động làm mịn giảm đáng kể tín hiệu quan tâm của bạn, do đó ước tính phái sinh không còn hữu ích. Tuy nhiên, nếu các tham số của tín hiệu sao cho bạn có thể làm giảm nhiễu mà không làm biến dạng tín hiệu một cách đáng chú ý (nghĩa là nếu tín hiệu được phủ sóng tốt), thì đó có thể là một chiến thắng.