Tần số cắt của bộ lọc trung bình di động là gì?

Tôi cần thiết kế bộ lọc trung bình di động có tần số cắt là 7,8 Hz. Tôi đã sử dụng các bộ lọc trung bình di chuyển trước đây, nhưng theo như tôi biết, tham số duy nhất có thể được cung cấp là số điểm được tính trung bình ... Làm thế nào điều này có thể liên quan đến tần số cắt?

Nghịch đảo của 7,8 Hz là ~ 130 ms và tôi đang làm việc với dữ liệu được lấy mẫu ở 1000 Hz. Có phải điều này ngụ ý rằng tôi nên sử dụng kích thước cửa sổ bộ lọc trung bình di động là 130 mẫu, hoặc có điều gì khác mà tôi đang thiếu ở đây không?

Bộ lọc trung bình di động (đôi khi được gọi thông thường là bộ lọc boxcar ) có đáp ứng xung hình chữ nhật:

$$h[n] = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \delta[n-k]$$

Hoặc, được nêu khác nhau:

$$h[n] = \begin{cases} \frac{1}{N}, && 0 \le n < N \\ 0, && \text{otherwise} \end{cases}$$

Hãy nhớ rằng đáp ứng tần số của hệ thống thời gian rời rạc bằng với biến đổi Fourier thời gian rời rạc của đáp ứng xung của nó, chúng ta có thể tính toán như sau:

$$\begin{align} H(\omega) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\omega n} \\ &= \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} e^{-j\omega n} \end{align}$$

Để đơn giản hóa điều này, chúng ta có thể sử dụng công thức đã biết cho tổng các thuật ngữ đầu tiên của một chuỗi hình học$N$ :

$$\sum_{n=0}^{N-1} e^{-j\omega n} = \frac{1-e^{-j \omega N}}{1 - e^{-j\omega}}$$

Điều chúng tôi quan tâm nhất cho trường hợp của bạn là phản ứng cường độ của bộ lọc, . Sử dụng một vài thao tác đơn giản, chúng ta có thể có được điều đó ở dạng dễ hiểu hơn:$|H(\omega)|$

$$\begin{align} H(\omega) &= \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} e^{-j\omega n} \\ &= \frac{1}{N} \frac{1-e^{-j \omega N}}{1 - e^{-j\omega}} \\ &= \frac{1}{N} \frac{e^{-j \omega N/2}}{e^{-j \omega/2}} \frac{e^{j\omega N/2} - e^{-j\omega N/2}}{e^{j\omega /2} - e^{-j\omega /2}} \end{align}$$

Điều này có thể trông không dễ hiểu hơn. Tuy nhiên, do danh tính của Euler , hãy nhớ lại rằng:

$$\sin(\omega) = \frac{e^{j\omega} - e^{-j\omega}}{j2}$$

Do đó, chúng ta có thể viết như trên:

$$\begin{align} H(\omega) &= \frac{1}{N} \frac{e^{-j \omega N/2}}{e^{-j \omega/2}} \frac{j2 \sin\left(\frac{\omega N}{2}\right)}{j2 \sin\left(\frac{\omega}{2}\right)} \\ &= \frac{1}{N} \frac{e^{-j \omega N/2}}{e^{-j \omega/2}} \frac{\sin\left(\frac{\omega N}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)} \end{align}$$

Như tôi đã nói trước đây, điều bạn thực sự quan tâm là mức độ đáp ứng tần số. Vì vậy, chúng ta có thể lấy cường độ của những điều trên để đơn giản hóa hơn nữa:

$$|H(\omega)| = \frac{1}{N} \left|\frac{\sin\left(\frac{\omega N}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)}\right|$$

Lưu ý: Chúng tôi có thể loại bỏ các thuật ngữ theo cấp số nhân vì chúng không ảnh hưởng đến cường độ của kết quả; cho tất cả các giá trị của ω . Kể từ | x y | = | x | | y | đối với bất kỳ hai số phức hữu hạn x và y , chúng ta có thể kết luận rằng sự hiện diện của các số mũ không ảnh hưởng đến đáp ứng cường độ tổng thể (thay vào đó, chúng ảnh hưởng đến phản ứng pha của hệ thống).$|e^{j\omega}| = 1$$\omega$$|xy| = |x||y|$$x$$y$

Hàm kết quả bên trong dấu ngoặc độ là một dạng của hạt nhân Dirichlet . Đôi khi nó được gọi là chức năng chân thực định kỳ , bởi vì nó giống với chức năng chân thành phần nào về ngoại hình, nhưng thay vào đó là định kỳ.

Dù sao, vì định nghĩa về tần số cắt có phần chưa được xác định rõ (điểm -3 dB? -6 dB? Sidelobe null đầu tiên?), Bạn có thể sử dụng phương trình trên để giải bất cứ điều gì bạn cần. Cụ thể, bạn có thể làm như sau:

1. Đặt đến giá trị tương ứng với đáp ứng bộ lọc mà bạn muốn ở tần số cắt.$|H(\omega)|$

2. $\omega$$\omega = 2\pi \frac{f}{f_s}$$f_s$

3. $N$

Nếu $N$ là độ dài của đường trung bình, sau đó tần số cắt gần đúng $F_{co}$ (có hiệu lực cho $N >= 2$) ở tần số chuẩn hóa $F=f/fs$ Là:

$F_{co} = \frac {0.442947} {\sqrt{N^2-1}}$

Nghịch đảo của điều này là

$N = \frac {\sqrt{0.196202 + F_{co}^2}}{F_{co}}$

Công thức này không chính xác đối với N lớn và có lỗi khoảng 2% cho N = 2 và dưới 0,5% cho N> = 4.

PS: Sau hai năm, cuối cùng thì đây cũng là cách tiếp cận. Kết quả dựa trên xấp xỉ phổ biên độ MA xung quanh$f=0$ như một parabola (Dòng thứ 2) theo

$MA(\Omega) = \frac {Sin(\Omega∗N/2)}{Sin(\Omega/2)}$

$MA(\Omega) \approx 1+(\frac{1}{24}-\frac{N^2}{24})\Omega^2$

which can be made more exact near the zero crossing of $MA(\Omega)-\frac{\sqrt2}{2}$ by multiplying $\Omega$ by a coefficient

$\alpha=0.95264$

obtaining $MA(\Omega) \approx 1+0.907523(\frac{1}{24}-\frac{N^2}{24})\Omega^2$

The solution of $MA(\Omega)-\frac{\sqrt2}{2}=0$ gives the results above, where $2\pi F_{co}=\Omega_{co}$.

All of the above relates to the -3dB cut off frequency, the subject of this post.

Sometimes though it is interesting to obtain an attenuation profile in stop-band which is comparable with that of a 1st order IIR Low Pass Filter (single pole LPF) with a given -3dB cut off frequency (such a LPF is also called leaky integrator, having a pole not exactly at DC but near to it).

In fact both the MA and the 1st order IIR LPF have -20dB/decade slope in the stop band (one needs a larger N than the one used in the figure, N=32, to see this), but whereas MA has spectral nulls at $F=k/N$ and a $1/f$ evelope, the IIR filter only has a $1/f$ profile.

$H_{IIR} = \frac{1-Exp(-\Omega_{co})}{1-Exp(-\Omega_{co})*Exp(j \Omega)}$

If one wants to obtain an MA filter with similar noise filtering capabilities as this IIR filter, and matches the 3dB cut off frequencies to be the same, upon comparing the two spectra, he would realize that the stop band ripple of the MA filter ends up ~3dB below that of the IIR filter.

In order to get the same stop-band ripple (i.e. same noise power attenuation) as the IIR filter the formulas can be modified as follows:

$F_{co,IIR} = \frac {0.32} {\sqrt{N^2-1}}$

$N = \frac {\sqrt{0.1024 + F_{co,IIR}^2}}{F_{co,IIR}}$