Một trong những điều mạnh mẽ mà trình biên dịch có thể thực hiện trong giai đoạn tối ưu hóa của chúng là trao đổi các biểu diễn không hiệu quả cho các trình tương đương. Ví dụ, trong Haskell, bạn có thể sử dụng danh sách lười biếng để tính tổng các số, nhưng trình biên dịch GHC Haskell sẽ nhận ra rằng điều này tương đương với việc sử dụng phép lặp với biến tạm thời. Bằng cách đó, bạn có thể lập trình chống lại sự trừu tượng đơn giản, dễ lý do, trong khi khả năng thực thi của bạn tận dụng lợi thế của một đại diện phù hợp hơn với nền tảng phần cứng (và điều đó khó xảy ra hơn ở quy mô).
Tuy nhiên, các tương đương được biết đến với trình biên dịch hầu hết bị giới hạn ở các cấu trúc dữ liệu được biết đến và nghiên cứu, chẳng hạn như hợp nhất luồng cho danh sách. Bạn có thể xác định các tương đương của riêng mình trong mã nguồn (sử dụng một cặp hàm chuyển đổi hợp thành nhận dạng theo một trong hai hướng), nhưng bạn phải áp dụng chúng theo cách thủ công và có thể gặp khó khăn khi chọn đúng loại để sử dụng ở mọi nơi để tránh chuyển đổi quá mức.
Bây giờ hãy tưởng tượng một thế giới nơi bạn có thể định nghĩa "các loại quy nạp cao hơn", giả sử một bản đồ tra cứu chính tắc. Loại này có một số hàm tạo cho các loại bản đồ khác nhau: tìm kiếm nhị phân, AVL, đỏ-đen, Trie, Patricia, v.v. chuyển đổi cung cấp các kích thước khác nhau của hiệu quả (nghĩa là thời gian so với bộ nhớ).
Điều gì sẽ xảy ra nếu trình biên dịch có thể sử dụng khái niệm này để viết lại các biểu diễn bản đồ một cách trong suốt, giống như cách mà nó có thể làm ngày nay với phản ứng tổng hợp danh sách? Trong khi đó, trong mã của bạn, bạn có thể làm việc với cấu trúc đơn giản nhất để lý do (và làm cho công việc chứng minh dễ dàng hơn, nếu bạn ở trong một môi trường như vậy). Điều này nghe có vẻ giống như một giao diện trừu tượng với nhiều triển khai, nhưng nó bao gồm quyền tự do lựa chọn bất kỳ triển khai nào và có trình biên dịch thay thế một cách trong suốt khi cần, mà không ảnh hưởng đến ý nghĩa của chương trình.
HoTT cung cấp cho chúng ta một nền tảng lý thuyết loại để biện minh cho cơ chế viết lại ưa thích này và các loại được xác định phong phú này, bởi vì nó thúc đẩy khái niệm tương đương là tương đương với bình đẳng. Vẫn còn phải xem điều này sẽ thực sự diễn ra như thế nào trong thực tế, nhưng nó cho chúng ta khung lý thuyết để dựa vào đó để làm việc trong tương lai.