Tài nguyên để cải thiện sự hiểu biết của bạn về đệ quy? [đóng cửa]

Tôi biết đệ quy là gì (khi một patten lặp lại trong chính nó, điển hình là một hàm tự gọi nó trên một trong các dòng của nó, sau một đột phá có điều kiện ... phải không?), Và tôi có thể hiểu các hàm đệ quy nếu tôi nghiên cứu kỹ chúng. Vấn đề của tôi là, khi tôi nhìn thấy những ví dụ mới, ban đầu tôi luôn bối rối. Nếu tôi thấy một vòng lặp, hoặc ánh xạ, nén, lồng, gọi đa hình, v.v., tôi biết những gì sẽ xảy ra chỉ bằng cách nhìn vào nó. Khi tôi thấy mã đệ quy, quá trình suy nghĩ của tôi thường là 'wtf là đây?' theo sau là 'oh nó đệ quy' theo sau 'Tôi đoán nó phải hoạt động, nếu họ nói nó hoạt động.'

Vì vậy, bạn có bất kỳ lời khuyên / kế hoạch / tài nguyên để xây dựng kỹ năng trong lĩnh vực này? Đệ quy là một khái niệm kỳ lạ, vì vậy tôi nghĩ cách giải quyết nó có thể kỳ lạ và khó hiểu.

Bắt đầu với một cái gì đó đơn giản và theo dõi nó bằng bút chì và giấy. Nghiêm túc. Một nơi tốt để bắt đầu là các thuật toán truyền qua cây, vì chúng dễ xử lý hơn bằng cách sử dụng đệ quy so với phép lặp thông thường. Nó không phải là một ví dụ phức tạp, nhưng một cái gì đó đơn giản và bạn có thể làm việc với.

Vâng, thật kỳ lạ và đôi khi phản trực giác, nhưng một khi nó nhấp, một khi bạn nói "Eureka!" bạn sẽ tự hỏi làm thế nào bạn không hiểu nó trước đây! ;) Tôi đã đề xuất cây vì chúng (IMO) là cấu trúc dễ hiểu nhất trong đệ quy và chúng rất dễ làm việc với việc sử dụng bút chì và giấy. ;)

Tôi thực sự khuyên bạn nên sử dụng Scheme, sử dụng cuốn sách The Little Lisper. Một khi bạn đã hoàn thành nó, bạn sẽ hiểu đệ quy, sâu bên dưới. Hầu như được đảm bảo.

Tôi chắc chắn đề nghị SICP. Ngoài ra, bạn nên xem video giới thiệu của các tác giả ở đây ; họ vô cùng cởi mở.

Một con đường khác, không liên quan chặt chẽ đến lập trình, là đọc cuốn sách của Godel, Escher, Bach: a Eternal Golden Braid của Hofstadter. Một khi bạn nhận được máng nó, đệ quy sẽ trông tự nhiên như mỹ phẩm. Ngoài ra, bạn sẽ bị thuyết phục rằng P = nP và bạn sẽ muốn xây dựng những cỗ máy biết suy nghĩ - nhưng đó là một tác dụng phụ quá nhỏ khi so sánh với lợi ích.

Về cơ bản, nó chỉ đi vào thực tiễn ... Hãy xử lý các vấn đề chung (sắp xếp, tìm kiếm, các vấn đề toán học, v.v.) và xem liệu bạn có thể thấy cách giải quyết những vấn đề đó nếu bạn áp dụng một chức năng nhiều lần.

Ví dụ, sắp xếp nhanh hoạt động ở chỗ nó di chuyển phần tử trong danh sách thành hai nửa và sau đó áp dụng lại cho mỗi nửa đó. Khi sắp xếp ban đầu xảy ra, nó không lo lắng về việc hai nửa được sắp xếp tại thời điểm đó. Thay vào đó, nó lấy phần tử trụ và đặt tất cả các phần tử nhỏ hơn phần tử đó ở một bên và tất cả các phần tử lớn hơn hoặc bằng với bên kia. Điều này có ý nghĩa làm thế nào nó có thể gọi đệ quy chính nó tại thời điểm đó để sắp xếp hai danh sách mới nhỏ hơn? Họ cũng liệt kê danh sách. Chỉ cần nhỏ hơn. Nhưng họ vẫn cần được sắp xếp.

Sức mạnh đằng sau đệ quy là sự phân chia và chinh phục khái niệm. Phá vỡ một vấn đề liên tục thành các vấn đề nhỏ hơn giống hệt nhau về bản chất nhưng chỉ nhỏ hơn. Nếu bạn làm điều đó đủ cuối cùng bạn sẽ đến một điểm mà phần còn lại duy nhất đã được giải quyết thì bạn chỉ cần làm việc theo cách của bạn ra khỏi vòng lặp và vấn đề được giải quyết. Nghiên cứu những ví dụ bạn đề cập cho đến khi bạn hiểu chúng. Nó có thể mất một lúc nhưng cuối cùng nó sẽ trở nên dễ dàng hơn. Sau đó cố gắng thực hiện các vấn đề khác và thực hiện một chức năng đệ quy để giải quyết chúng! Chúc may mắn!

EDIT: Tôi cũng phải thêm rằng một yếu tố chính để đệ quy là khả năng được đảm bảo của chức năng để có thể dừng lại. Điều này có nghĩa là sự cố của vấn đề ban đầu phải liên tục trở nên nhỏ hơn và cuối cùng cần phải có một điểm dừng được bảo đảm (một điểm mà vấn đề phụ mới có thể giải quyết được hoặc đã được giải quyết).

Cá nhân tôi nghĩ rằng đặt cược tốt nhất của bạn là thông qua thực hành.

Tôi đã học đệ quy với LOGO. Bạn có thể sử dụng LISP. Đệ quy là tự nhiên trong các ngôn ngữ. Mặt khác, bạn có thể ví nó như nghiên cứu về các bộ và chuỗi toán học nơi bạn thể hiện những gì tiếp theo dựa trên những gì xuất hiện trước đó, tức là u (n + 1) = f (u (n)) hoặc chuỗi phức tạp hơn trong đó bạn có nhiều biến và nhiều phụ thuộc, ví dụ u (n) = g (u (n-1), u (n-2), v (n), v (n-1)); v (n) = h (u (n-1), u (n-2), v (n), v (n-1)) ...

Vì vậy, đề nghị của tôi là bạn sẽ tìm thấy "các vấn đề" đệ quy tiêu chuẩn (trong biểu hiện của chúng) và thử và thực hiện chúng theo ngôn ngữ bạn chọn. Thực hành sẽ giúp bạn học cách suy nghĩ, đọc và diễn đạt những "vấn đề" đó. Lưu ý rằng thường một số vấn đề này có thể được thể hiện thông qua phép lặp, nhưng đệ quy có thể là một cách thanh lịch hơn để giải quyết chúng. Một trong số đó là cách tính số nhân tử.

"Các vấn đề" đồ họa tôi thấy làm cho nó dễ nhìn hơn. Vì vậy, hãy tìm kiếm các vảy, Fibonacci, đường cong rồng và fractals của Koch nói chung. Nhưng cũng nhìn vào thuật toán sắp xếp nhanh ...

Bạn cần đánh sập một vài chương trình (vòng lặp vô tận, sử dụng tài nguyên vô hạn) và các điều kiện kết thúc không đúng (để có kết quả không mong muốn) trước khi bạn hiểu rõ tất cả. Và ngay cả khi bạn nhận được nó, bạn vẫn sẽ phạm phải những sai lầm đó, chỉ là ít thường xuyên hơn.

Cấu trúc và giải thích các chương trình máy tính

Đó là những cuốn sách sử dụng cho việc học tập, không chỉ là đệ quy, nhưng lập trình nói chung tại các trường đại học khác nhau. Đây là một trong những cuốn sách nền tảng mang lại nhiều thông tin hơn khi bạn có được nhiều kinh nghiệm hơn và bạn càng đọc nó nhiều hơn.

Nhiều như tôi thích SICP và Gödel, Escher, Bach: Eternal Golden Braid , Touretzky's LISP: A Gentle Giới thiệu về tính toán tượng trưng cũng làm tốt công việc giới thiệu đệ quy.

Khái niệm cơ bản là thế này: Đầu tiên, bạn phải biết khi nào hàm đệ quy của bạn kết thúc, để nó có thể trả về một kết quả. Sau đó, bạn phải biết cách xử lý vụ việc còn dang dở, và giảm nó thành điều mà bạn có thể tái diễn. Đối với ví dụ giai thừa truyền thống (N), bạn đã kết thúc khi N <= 1 và trường hợp chưa hoàn thành là N * giai thừa (N-1).

Đối với một ví dụ xấu hơn nhiều, có chức năng A (m, n) của Ackermann .

A(0,n) = n+1.                                   This is the terminal case.
A(m,0) = A(m-1,1) if m > 0.                     This is a simple recursion.
A(m,n) = A(m-1, A(m, n-1)) if m > 0 and n > 0.  This one is ugly.

Tôi khuyên bạn nên chơi xung quanh với một số ngôn ngữ chức năng kiểu ML như OCaml hoặc Haskell. Tôi thấy rằng cú pháp khớp mẫu thực sự giúp tôi hiểu các hàm đệ quy tương đối phức tạp, chắc chắn tốt hơn nhiều so với các câu lệnh ifvà lược đồ cond. (Tôi đã học Haskell và Scheme cùng một lúc.)

Đây là một ví dụ tầm thường cho sự tương phản:

(define (fib n)
   (cond [(= n 0) 0]
         [(= n 1) 1]
         [else (+ (fib (- n 1)) (fib (- n 2)))]))

và phù hợp với mô hình:

fib 0 = 0
fib 1 = 1
fib n = fib (n - 1) + fib (n - 2)

Ví dụ này không thực sự làm công lý khác biệt - tôi chưa bao giờ gặp vấn đề với một trong hai phiên bản của chức năng. Nó chỉ để minh họa hai tùy chọn trông như thế nào. Khi bạn nhận được các hàm phức tạp hơn nhiều, sử dụng những thứ như danh sách và cây, sự khác biệt sẽ trở nên rõ rệt hơn nhiều.

Tôi đặc biệt khuyên dùng Haskell vì đây là một ngôn ngữ đơn giản với cú pháp rất hay. Nó cũng làm cho dễ dàng hơn nhiều để làm việc với các ý tưởng nâng cao hơn như corecursion :

fibs = 0 : 1 : zipWith (+) fibs (drop 1 fibs)
fib n = fibs !! n

.

Nó không còn xuất bản, nhưng nếu bạn có thể tìm thấy nó, "Thuật toán đệ quy" của Richard Lorentz chẳng liên quan gì đến đệ quy. Nó bao gồm các khái niệm cơ bản về đệ quy, cũng như các thuật toán đệ quy cụ thể.

Các ví dụ có trong Pascal, nhưng không lớn đến mức sự lựa chọn ngôn ngữ gây khó chịu.