Tôi sẽ dạy cho một nhóm nhỏ mọi người về các hệ thống đánh số trong máy tính và đã tự hỏi có bao nhiêu bit trên mỗi chữ số trong hệ thống thập phân, chẳng hạn:

• Hex (cơ sở 16) - 4 bit
• Octal (cơ sở 8) - 3 bit
• Nhị phân (cơ sở 2) - 1 bit
• Số thập phân (cơ sở 10) -?

Những gì bạn đang tìm kiếm là logarit 2 dựa trên 10, một con số không hợp lý vào khoảng 3,32192809361 ....

Việc bạn không thể sử dụng số bit nguyên cho một chữ số thập phân là nguyên nhân gốc rễ tại sao nhiều phân số dễ biểu thị trong hệ thập phân (ví dụ 1/5 hoặc 0,2), là không thể (thực sự không khó: không thể) để thể hiện trong nhị phân. Điều này rất quan trọng khi đánh giá các lỗi làm tròn trong số học của dấu phẩy động.

Nói cách khác, lượng thông tin được chứa trong một chữ số trong các hệ thống này.

Đối với cơ sở 2, cơ sở 4, cơ sở 8, cơ sở 16 và cơ sở 2 ^{N khác} , câu trả lời là hiển nhiên bởi vì trong cơ sở 2 ^N, mỗi chữ số có thể được biểu thị bằng chính xác N chữ số.

Làm thế nào để bạn nhận được N cho 2 ^N ? Vâng, bạn sử dụng một logarit dựa trên 2, đó là một nghịch đảo của lũy thừa.

• log ₂ 2 = 1 (1 bit trên mỗi chữ số trong cơ sở 2)
• log ₂ 4 = 2 (2 bit mỗi chữ số trong cơ sở 4)
• log ₂ 8 = 3 (3 bit mỗi chữ số trong cơ sở 8)
• log ₂ 16 = 4 (4 bit mỗi chữ số trong cơ sở 16)

Các logarit dựa trên K của các số không phải là lũy thừa của K không phải là số chính. Đặc biệt:

• log ₂ 10 = 3.321928094887362347870319429361390175864831393024580612054

Con số này có thể trông khó hiểu, nhưng nó thực sự có một số cách sử dụng. Ví dụ, đó là một entropy của một chữ số thập phân.

Tuy nhiên, đối với trường hợp của bạn, tôi không nghĩ giá trị này là bất kỳ mục đích sử dụng nào. Câu trả lời của Christian làm tốt công việc giải thích tại sao.

Về vấn đề bit:

Tôi rất tiếc phải nói câu hỏi sai. Bạn sẽ không sử dụng bit theo cách đó. Một bit là một chữ số nhị phân . Bạn có thể chuyển đổi số thập phân 10, thành số nhị phân 1010 (8 + 2), vì vậy bạn cần 4 bit để biểu thị giá trị thập phân 10.

Quyền hạn của 2

Bạn đã rơi vào một cái bẫy, bằng cách sử dụng nhị phân (2), bát phân (8) và thập lục phân (16) làm ví dụ, bởi vì đây đều là các lũy thừa của 2, và do đó bạn có thể nghĩ về chúng theo các bit, trong khi 10 không phải là sức mạnh của 2, vì vậy nó không hoạt động tốt như thế.

BCD - Số thập phân được mã hóa nhị phân sử dụng 4 bit cho mỗi chữ số, giống như thập lục phân.

https://en.wikipedia.org/wiki/Binary-coding_decimal

Do đó, việc sử dụng các bit ngụ ý sức mạnh là 2, như những người khác đã nói rằng bạn không thể dễ dàng biến 10 bit thành byte mà không lãng phí. Một giải pháp phổ biến là sử dụng 4 bit theo hệ thập lục phân và lãng phí 6 trạng thái được biểu diễn dưới dạng AF. Điều thú vị là làm toán thập phân với điều này - nó không gọn gàng và đơn giản.

Một ý tưởng giảng dạy hữu ích có thể là so sánh cách Micky Mouse có thể phát triển một hệ thống đếm, vì anh ta chỉ có 4 ngón tay trên mỗi bàn tay - điều này dẫn đến một hệ thống bát phân một cách tự nhiên.

Đây có thể là một sự đơn giản hóa nhưng nó phụ thuộc vào câu hỏi mà bạn đang hỏi.
(và câu trả lời về cơ bản là bát phân hoặc hex)

Tôi cũng không coi các bit phân số là bit vì trong các bit sử dụng thực tế không có phân số.

Câu 1: Bạn có thể biểu diễn bao nhiêu bit trong một chữ số thập phân ?

A1: Bạn có thể biểu thị 3 bit thông tin trong một chữ số thập phân duy nhất:

Lược đồ phổ biến nhất sẽ là nhị phân thẳng với gói trong đó 0 = 8 = 000 và 1 = 9 = 001. Nhưng bạn có thể sử dụng bất kỳ lược đồ nào, không có gì nói rằng đây là cách duy nhất để mã hóa các bit thành các chữ số thập phân.

• 0: 000
• 1: 001
• 2:00
• 3: 011
• 4: 100
• 5: 101
• 6: 110
• 7: 111
• 8: 000 <- gói (hoặc không sử dụng)
• 9: 001 <- gói (hoặc không sử dụng)

hoặc là

Câu 2: Cần bao nhiêu bit để biểu diễn một chữ số thập phân?

A2: Bạn cần ít nhất 4 bit để thể hiện tất cả các chữ số thập phân. Với một số chất thải hoặc gói.

Một lần nữa, lược đồ phổ biến nhất sẽ là nhị phân thẳng với gói nhưng bạn có thể sử dụng bất kỳ lược đồ nào khác.

• 0:00
• 1:00 0001
• 2:00
• 3:00
• 4: 0100
• 5: 0101
• 6: 0110
• 7: 0111
• 8: 1000
• 9: 1001
• 0: 1010 <- gói (hoặc không sử dụng)
• 1: 1011 <- gói (hoặc không sử dụng)
• 2: 1100 <- gói (hoặc không sử dụng)
• 3: 1101 <- gói (hoặc không sử dụng)
• 4: 1110 <- gói (hoặc không sử dụng)
• 5: 1111 <- gói (hoặc không sử dụng)

Trong cơ sở 1024, mỗi ký hiệu là 10 bit. Ba chữ số thập phân có cùng lượng thông tin như một chữ số trong cơ sở 1000, nhỏ hơn 1024 một chút. Do đó, một chữ số thập phân có ít hơn 10/3 bit. Giá trị gần đúng này cho 3.333333 ..., trong khi con số chính xác là 3.321928 ...

• Hex (cơ sở 16) - 4 bit
• Octal (cơ sở 8) - 3 bit
• Nhị phân (cơ sở 2) - 1 bit
• Số thập phân (cơ số 10) - 3 1/3 bit.
  2 ¹⁰ = 1.024
  10 ³ = 1.000
  2 ²⁰ = 1.048.576
  10 ⁶ = 1.000.000
  3 chữ số trong cơ sở 10 lên đến 999 có thể được giữ trong 10 bit trong cơ sở 2.
  6 chữ số trong cơ sở 10 lên đến 999.999 có thể được giữ trong 20 bit trong cơ sở 2.
  Đây là ý tưởng về kilobyte, megabyte và gigabyte có nguồn gốc.
  

Tuyên bố miễn trừ trách nhiệm - Tôi không phải là nhà lý thuyết thông tin, chỉ là một con khỉ mã hoạt động chủ yếu trong C và C ++ (và do đó, với các loại chiều rộng cố định), và câu trả lời của tôi sẽ xuất phát từ quan điểm cụ thể đó.

Trung bình phải mất 3,2 bit để biểu thị một chữ số thập phân duy nhất - 0 đến 7 có thể được biểu diễn thành 3 bit, trong khi 8 và 9 yêu cầu 4. (8*3 + 2*4)/10 == 3.2¹ .

Điều này ít hữu ích hơn âm thanh. Đối với một điều, rõ ràng bạn không có phân số một chút. Mặt khác, nếu bạn đang sử dụng các loại số nguyên gốc (nghĩa là không phải BCD hoặc BigInt), bạn sẽ không lưu trữ các giá trị dưới dạng một chuỗi các chữ số thập phân (hoặc tương đương nhị phân của chúng). Loại 8 bit có thể lưu trữ một số giá trị có tối đa 3 chữ số thập phân, nhưng bạn không thể biểu thị tất cả các giá trị 3 chữ số thập phân trong 8 bit - phạm vi là [0..255]. Bạn không thể biểu diễn các giá trị [256..999]chỉ trong 8 bit.

Khi chúng ta nói về các giá trị , chúng ta sẽ sử dụng số thập phân nếu ứng dụng mong đợi nó (ví dụ: ứng dụng ngân hàng số). Khi chúng ta nói về bit , chúng ta thường sử dụng hex hoặc nhị phân (Tôi hầu như không bao giờ sử dụng bát phân vì tôi làm việc trên các hệ thống sử dụng byte 8 bit và từ 32 bit, không chia hết cho 3).

Các giá trị được biểu thị bằng số thập phân không ánh xạ rõ ràng vào các chuỗi nhị phân. Lấy giá trị thập phân 255. Các khoản tương đương nhị phân của mỗi chữ số sẽ là 010, 101, 101. Tuy nhiên, đại diện nhị phân của giá trị 255là 11111111. Đơn giản là không có sự tương ứng giữa bất kỳ chữ số thập phân nào trong giá trị với chuỗi nhị phân. Nhưng có một sự tương ứng trực tiếp với các chữ số hex - F == 1111, vì vậy giá trị đó có thể được biểu diễn như FFtrong hex.

Nếu bạn đang ở trên một hệ thống trong đó các byte 9 bit và các từ 36 bit là chuẩn, thì bát phân có ý nghĩa hơn vì các bit tự nhiên được nhóm thành ba.

Nếu tôi đang dạy điều này, trước tiên tôi sẽ giải thích một số (được biểu thị dưới dạng một chuỗi các chữ số có nghĩa là gì). tức là, từ phải sang trái, giả sử cơ sở n, a * n ^ 0 + b * n ^ 1 + c * n ^ 2 ... z * n ^ y.

Sau đó giải thích rằng 10 ^ 3 xấp xỉ bằng 2 ^ 10. Nó không chính xác và là lý do trong máy tính, chúng ta thường không biết 2k thực sự có nghĩa là gì (nó là 2.000 hay 2.048?) Nó phục vụ khá tốt cho các xấp xỉ nhanh. 2 ^ 16 là khoảng 2 ^ (16 - 10) * 1.000 hoặc 2 ^ 6 (64) * 1.000 hoặc 64.000. Trong thực tế, nó là 65.536, nhưng nếu bạn không bận tâm đến khoảng một phần trăm, thì nó hoạt động khá tốt cho các xấp xỉ nhanh.