Có bao nhiêu vị trí như vậy? (câu đố cờ tướng / toán)

Tôi quan tâm đến loại vị trí này:

Chỉ có 4 miếng trên bảng. Nếu người da trắng đi trước, họ có thể chiếu tướng trong một lần di chuyển. Nếu người da đen đi trước, họ có thể chiếu tướng trong một lần di chuyển. Ví dụ:

Câu hỏi là: Có bao nhiêu vị trí như vậy?

Tôi tìm thấy 3 vị trí chính:

Mỗi người trong số họ cho chúng tôi thêm 6 vị trí. Chúng ta có thể di chuyển vị trí bắt đầu của Nữ hoàng đen sang 6 ô vuông khác. Vậy là chúng ta có 21 vị trí cơ bản.

Có những vị trí cơ bản khác?

Đối với từng vị trí cơ bản, chúng ta có thể:

1) chuyển màu x2

2) xoay bảng x4

3) vị trí gương x2

Vì vậy, một vị trí cơ bản tạo ra 2x4x2 = 16 vị trí. Và câu trả lời cuối cùng là: Có 16x21 = 336 vị trí như vậy.

Thê nay đung không?

Vị trí cơ bản thứ hai của bạn cho phép thêm 4 biến thể ngoài những biến thể bạn đã đưa ra, được biểu thị bằng sơ đồ sau:

Điều đó mang lại kiểm đếm cho "các vị trí cơ bản" đến 25. Việc bổ sung đó có làm cho danh sách trở nên toàn diện hay không tôi không hoàn toàn chắc chắn (mặc dù tôi nghĩ rằng nó có).

Trong mọi trường hợp, dù số lượng vị trí cơ bản là bao nhiêu, phép ngoại suy của bạn về tổng số vị trí từ đó (x2 cho công tắc màu và x8 cho các phép biến đổi của bàn cờ ) là chính xác vì nhóm đối xứng của bàn cờ thực sự có thứ tự 8 , như đã xác nhận trên p.334 của chương này từ Sổ tay Lập trình ràng buộc , chẳng hạn. (Tuy nhiên, người ta không cần phải cẩn thận về việc vượt qua ở đây; xem bên dưới.) Vì vậy, tại thời điểm này tôi phỏng đoán rằng câu trả lời là 25 x 16 = 400.

Tôi đang thêm phần giải mã toán học này bởi vì tôi thấy trong hồ sơ của bạn rằng bạn quan tâm đến việc theo đuổi một nghiên cứu sâu hơn về toán học. Tôi có thể không nói bất cứ điều gì ở đây mà bạn chưa biết, nhưng dù sao đi nữa.

Lưu ý rằng có một số vị trí cờ sẽ xuất hiện giống hệt nhau theo các đối xứng khác nhau của bàn cờ. Ví dụ, hãy xem xét hành động phản xạ trên đường chéo a1 - h8. Sự đối xứng đó của bảng thường sẽ thay đổi một vị trí nhất định, ví dụ

trở thành

Nhưng tất nhiên, một số vị trí (cụ thể là các vị trí chỉ có các mảnh trên đường chéo a1-h8) không thay đổi theo đối xứng đó, ví dụ như vị trí

vẫn không thay đổi khi chúng ta phản ánh trên đường chéo đó.

Do loại hành vi này, người ta thường cần cẩn thận để không vượt qua trong loại vấn đề đếm này. Đối với vấn đề của bạn, điều đó có nghĩa là chắc chắn rằng không có vị trí cơ bản nào của bạn lặp lại theo bất kỳ đối xứng (không phải danh tính) nào, sao cho "x 16" của chúng tôi khi có được tổng số vị trí từ số vị trí cơ bản không vượt qua. Trong trường hợp hiện tại, các vị trí cơ bản của bạn rất phức tạp / không đối xứng đến mức rõ ràng bằng trực giác, không ai trong số chúng sẽ được lặp lại theo các đối xứng này, vì vậy không có gì phải lo lắng, nhưng trong toán học thường là khi mọi thứ "rõ ràng bằng trực giác" mà mọi người cần lo lắng nhất về những sai lầm (Trên thực tế, có một câu nói rằng nếu bạn muốn tìm lỗi trong một bằng chứng toán học, hãy bắt đầu với bất cứ nơi nào nó nói, "Rõ ràng là ...")