Các thách thức

Với số lượng vật phẩm, ntrong một danh sách được sắp xếp không trống, được sắp xếp chỉ mục, i(n)tại đó
" Hoán đổi mặt trước " của
nó sẽ nằm trong một danh sách tất cả các hoán vị nếu các hoán vị nói được sắp xếp theo từ vựng.

Kết quả có thể là 0 hoặc 1 dựa trên, chỉ cần nói cái nào (nghĩa là ikhông phải n).

Hoán đổi mặt trận

... là kết quả của việc xây dựng danh sách các mục bằng cách liên tục lấy mặt sau (phải) rồi phía trước (trái) của danh sách được sắp xếp chuyển tiếp (từ trái sang phải) cho đến khi tất cả các mục được chuyển sang danh sách mới, như vậy :

Input being consumed     Output being built
----------------------+----------------------
[1,2,3,4,5,6,7]       |   []
[1,2,3,4,5,6]         |   [7]
  [2,3,4,5,6]         |   [7,1]
  [2,3,4,5]           |   [7,1,6]
    [3,4,5]           |   [7,1,6,2]
    [3,4]             |   [7,1,6,2,5]
      [4]             |   [7,1,6,2,5,3]
       []             |   [7,1,6,2,5,3,4]
----------------------+----------------------
                Result:   [7,1,6,2,5,3,4]

Chỉ số hoán vị

Nếu nlà 7(như ví dụ Back-To-Front ở trên), có 7! = 5040thể hoán vị các mục (riêng biệt).

Mục đầu tiên (hoặc zeroth nếu bạn thích) trong danh sách được sắp xếp theo từ vựng của tất cả các hoán vị đó sẽ là [1,2,3,4,5,6,7]chính nó.
Mục thứ hai sẽ là [1,2,3,4,5,7,6].
Các mục áp chót sẽ là [7,6,5,4,3,1,2].
Mục cuối cùng sẽ là [7,6,5,4,3,2,1].

Một nơi nào đó trong danh sách là [7,1,6,2,5,3,4]- hoán vị Back-To-Front.
Trong thực tế, nó nằm ở chỉ số 4421 (hoặc 4420, dựa trên 0).

100 điều khoản đầu tiên của loạt (dựa trên 1) i(n)nêu rõ n=1là:

[1, 2, 5, 20, 101, 620, 4421, 35900, 326981, 3301820, 36614981, 442386620, 5784634181, 81393657020, 1226280710981, 19696509177020, 335990918918981, 6066382786809020, 115578717622022981, 2317323290554617020, 48773618881154822981, 1075227108896452857020, 24776789629988523782981, 595671612103250915577020, 14915538431227735068422981, 388375922695377900515577020, 10500493527722974260252422981, 294387851083990886241251577020, 8547374142655711068302364422981, 256705485669535347568006115577020, 7966133168508387470157556764422981, 255164703765185142697060455395577020, 8428152915046701352821133945884422981, 286804646124557439494797475697635577020, 10046343320261587490171853861825564422981, 361946983469639629977827594289009635577020, 13401806107756705416338151987291892764422981, 509620811358844406343669072112782398435577020, 19888261269838598952296612667790114958364422981, 796027021978059135393314656928325779313635577020, 32656499591185747972776747396512425885838364422981, 1372349618161694150570365858847999144050545635577020, 59042913445212141486784766209665998363213966364422981, 2599228661343236626556841044804949891956424561635577020, 117022992204136957935406320450852765172427309198364422981, 5385599167607951991914899108349402127789224443761635577020, 253237642343560228651049456045262577841408407945358364422981, 12160677950192512442211239591328112460680077946732401635577020, 596121186084075048430040923729967264426872753432477838364422981, 29817972015629302995182567242334801579950768815528034161635577020, 1521300781271752977229060449226968409483308951201458077838364422981, 79136874389672125594431576407176798565806196489681819746161635577020, 4195746409670353438703582176982222851124537591877131904925838364422981, 226647950929571027033389160506045358232154026979930809227362161635577020, 12469755402728704898931711687060471601348167024469505953048477838364422981, 698528832402134746955113935776664478135149811856698952734398562161635577020, 39828390672475082008725487969655657656845234984369903192450082717838364422981, 2310732940610403489820749422545419026172017083196773021228249831522161635577020, 136372385605079432248118270297843987319730859689490659519593045108637838364422981, 8184614727136310712028222912925520393434441746671755292929684651300962161635577020, 499395599150088488088828589263699706832570087241364247806476254829684637838364422981, 30970577661237849037564293765687064381179710710016867944356691992991422562161635577020, 1951637737743202215078582414596211073163593979517251760161922907619738331037838364422981, 124935294448140961888354806920565269729701922195027940438639971467594965899362161635577020, 8122715297634329704834815499864930982456556629150409552483483162921360809076637838364422981, 536222223779808734298894424747977821661836507759648464980376643706749720339339362161635577020, 35934888694408876553950964671857486605505798806289876128721251856561212716604532637838364422981, 2444100653742421723047039453897314094441893402549077796242989486161660232995578763362161635577020, 168678351774398889649421299427375524997828651490971291597405051437095619521145068660637838364422981, 11809893318195492906423362422261723211461109491055454565957957813190913963268700251019362161635577020, 838668695249666824614744281817664287077123498629740781320472805575397766414810317446260637838364422981, 60395789681636420036909326103457008453700968286067588202502542158402987220806878956757899362161635577020, 4409719671831047920854347812021594101623099731996837427616577550212019116846376438060145780637838364422981, 326378824480107593305098680409232188044060152088938133742995349285199216584125189021190726539362161635577020, 24482761986915290498641378436184801472882183734481184704052899163370643460988742220422624697460637838364422981, 1861011939679134964489290882424961756757512351644848150968435083798473400034549180897307347526539362161635577020, 143322080088606734669581493203883323226982866872563510695813139604263517949121870899167900513721460637838364422981, 11180959098117691096787939665528162905504766712615688479353149686064571807285078895345918312663622539362161635577020, 883437253980179837588356231874303489164303450066956218734514913541773418886216781638015892528346553460637838364422981, 70686019792283622457223177491312228676420353892298796358374930144685265836593932061030928974752467526539362161635577020, 5726440000955084363422511054086796876735936890839327162387490119571704913857298124195153605274993472953460637838364422981, 469637893700329090478715695935318149767077357177154001454773443957172289821041850488811978203204173646406539362161635577020, 38985601803506257421418755484185292421669426050466292273769584084412579273175587484390779961900566697260473460637838364422981, 3275254532761847009577968823645945995578996860191583194845076448298646552018541276645494943006816186458917446539362161635577020, 278435156905293180685369975402415213484477637470382623210256836304261379607777392174394791509334107831816205753460637838364422981, 23948660226767439201080153228038844501800392914958999127628507660415900870134672884615069843391985357739844389446539362161635577020, 2083808638152760278012520365471350750727983345146397213195344003554238214857458501196068353393022808146994627392953460637838364422981, 183398833619245678836784325280074933629492985604252949471226236983335323969170740817904072891411479020269638889458246539362161635577020, 16324556327289215402380134937173544376210173250892288905442294470849835710409338998582008497896189183708810744110298553460637838364422981, 1469391408154472281907142598683652193509359788033796478036774569234135557383656537547410122872987870461908423725867813446539362161635577020, 133730761359685823973259426160811489954077506688872881313704960027919535214176338228137873831877461557289259913042140378553460637838364422981, 12304683293281621431502064899712741587623914209186541475526534622910218175769343180214908250005163885795818227069614613285446539362161635577020, 1144467823788359953327703097406527694627129315367226993710615746590336588945697972034988381266839681418043178062317463477466553460637838364422981, 107592147841885948074037582159380073309559674264815645313786758687454863280472229658194120833316575777142822473140067877053221446539362161635577020, 10222386340397173314525664517235347022088186665852557223898463812546839124314230895213571254552107892786139414391086539473362138553460637838364422981, 981455548530552515895045737024658454136095461985415238220477591025945383684777269092475904782448641089288955324574667766166512421446539362161635577020, 95211304133951567337433380212539040258207718457187560919883999728307800228797098229713403270806624010171995234355103499880901319898553460637838364422981, 9331679144749296178288752362844703433551486045621764102574354777566399269794426700653262755936922495813433855354253356929531746247461446539362161635577020, 923930475294692230638703636199822301473608196598194450583355284174609600662504729388761377005628260366723545352917984225582320362921178553460637838364422981, 92402284968649460451060535220066878189242360067783427018009608611042990392567410879552702599150890025886974375474305774025602890553942821446539362161635577020

( i(0)=i(1)=1, nhưng bản thân thử thách chỉ giải quyết các danh sách không trống)

Tại thời điểm đăng trình tự này đã không xuất hiện trong OEIS .

Đầu ra chỉ cần hoạt động trên lý thuyết (đừng lo lắng về việc tràn số nguyên hoặc hết tài nguyên chẳng hạn).

Đây là môn đánh gôn , vì vậy câu trả lời ngắn nhất bằng byte sẽ thắng.

Tuy nhiên, đừng để ngôn ngữ mã-golf can ngăn bạn - giải pháp tốt cũng sẽ nhận được sự ủng hộ!

Haskell , 32 byte

f 1=1
f n=product[1..n]+1-f(n-1)

Hãy thử trực tuyến!

Sử dụng các mối quan hệ f(n-1) + f(n) = n! + 1. Các thành viên liền kề của các chuỗi thêm vào giai thừa cộng với một:

1,   2,   5,   20,   101,   620,   4421, ...
  3     7    25    121    721   5041  ...
 2!+1  3!+1  4!+1  5!+1   6!+1  7!+1 

Thạch , 6 byte

R!ḅ-_Ḃ

Dựa trên 0 Hãy thử trực tuyến!

Lấy cảm hứng mạnh mẽ từ câu trả lời ES6 của @ Neil .

Giải trình

R!ḅ-_Ḃ
R       Create the range [1..N].
 !      Take the factorial of each.
  ḅ-    Convert from base -1; that is, sum, but alternate between adding and subtracting.
    _Ḃ  Subtract N%2.

Nhưng bằng cách nào?

Tôi giải thích trong ES6 của tôi trả lời một kỹ thuật liên quan để tính toán từng số. Công thức là thế này:

(n-1)(n-1)! + (n-3)(n-3)! + (n-5)(n-5)! + ...

Một nhận thức xuất hiện trong khi đọc câu trả lời ES6 của @ Neil . Công thức này có thể được đơn giản hóa như vậy:

(n-1)(n-1)!        + (n-3)(n-3)!            + (n-5)(n-5)!            + ...
(n(n-1!) - (n-1)!) + ((n-2)(n-3!) - (n-3)!) + ((n-4)(n-5)! - (n-5)!) + ...
(n!      - (n-1)!) + ((n-2)!      - (n-3)!) + ((n-4)!      - (n-5)!) + ...
n! - (n-1)! + (n-2)! - (n-3)! + (n-4)! - (n-5)! + ...

Mã Jelly R!ḅ-tính toán công thức này. Tuy nhiên, mỗi giá trị lẻ nsẽ có thêm + 0!vào cuối, chúng tôi sẽ xử lý bằng cách trừ n%2.

JavaScript (ES6), 38 byte

f=(n,x=n%2,y=1)=>n-x&&f(n,++x,y*=-x)+y

Chỉ số 0. (Không có lời giải thích vì tôi thực sự không biết tại sao nó hoạt động, xin lỗi.)

JavaScript (ES6), 44 byte

f=(x,n=0,g=1)=>x-n&&(x-n&1)*g*n+f(x,++n,g*n)

Dựa trên 0 Điều này lợi dụng thực tế là các số có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của các giai thừa theo mẫu sau:

       1   2   6  24 120 720
   0:                       
   1:  1
   4:      2
  19:  1       3
 100:      2       4
 619:  1       3       5
4420:      2       4       6

Tại sao? Các hoán vị có thể được biểu diễn độc đáo trong cơ sở giai thừa : lấy mục ^thứ n ra khỏi danh sách còn lại tương ứng với một chữ số n ở vị trí đó. Chúng tôi đang xen kẽ giữa việc lấy mục cuối cùng (chữ số cao nhất) và mục đầu tiên (không); do đó, trong cơ sở giai thừa, những con số này có thể được biểu diễn dưới dạng:

0
10
200
3010
40200
503010
6040200

và như thế.

MATL , 17 byte

:t"&0)P]vG:Y@!=Af

Đầu ra là 1 chỉ mục.

Hãy thử trực tuyến!

Giải trình

Mã này áp dụng định nghĩa: xây dựng hoán vị từ phía trước, tạo ra tất cả các hoán vị, so sánh cái trước với tất cả cái sau và đưa ra chỉ số của kết quả khớp.

:        % Input n implicitly. Push [1 2 ... n]
t        % Duplicate
"        % For each: do the following n times
  &0)    %   Push the last element and then the rest of the array
  P      %   Reverse
]        % End
v        % Concatenate the whole stack vertically. This produces into a column vector
         % with the back-to-front permutation
G:       % Push [1 2 ... n] again
Y@!      % Permutations of [1 2 ... n]. Gives a matrix. Each column is a permutation
=        % Test for equality, element-wise with broadcast
A        % All: true for columns that have all entries equal to true. Gives a row vector
f        % Find: index of non-zero value. Implicitly display

Thạch , 9 byte

RU;¥/ỤUŒ¿

Hãy thử trực tuyến!

Huh, tôi đã cố gắng để FGITW này. Hóa ra @Dennis đăng đầu tiên, nhưng cái này ngắn hơn.

Giải trình

RU;¥/ỤUŒ¿
R           List of numbers from 1 to {the input}
   ¥/       Left-fold the list by
 U;         prepending the reverse of the list to the next element
     Ụ      Invert permutation
      U     Reverse the list
       Œ¿   Find index of permutation

Việc tích Œ¿hợp sẵn khá tiện dụng ở đây cho phép chúng ta chuyển đổi một hoán vị thành chỉ mục của nó, vì vậy 7 byte khác chịu trách nhiệm xây dựng hoán vị từ phía trước.

Cách chúng ta làm điều này trước tiên là xây dựng một hoán vị khác, thông qua mẫu sau:

1
1 2
2 1 3
3 1 2 4
4 2 1 3 5
5 3 1 2 4 6
6 4 2 1 3 5 7

Mỗi lần, chúng tôi đảo ngược danh sách mà chúng tôi có cho đến nay, sau đó nối thêm số nguyên tiếp theo. Điều đó không tạo ra hoán vị từ phía trước, nhưng nó liên quan rõ ràng.

Hoán vị chúng tôi đang cố gắng để có được là 7 1 6 2 5 3 4. Làm thế nào điều này có liên quan? Vâng, yếu tố ở vị trí thứ 7 của hoán vị chúng ta có là 7; phần tử ở vị trí số 1 là 6; phần tử ở vị trí thứ 6 là 5; phần tử ở vị trí thứ 2 là số 4, v.v. Nói cách khác, đó là nghịch đảo của hoán vị chúng ta có (với các phần tử theo thứ tự ngược lại). Như vậy, sau khi giảm, chúng ta có thể đảo ngược hoán vị với Ụvà đảo ngược kết quả với Uđể có được hoán vị ngược về phía trước mà chúng ta muốn.

Có thể có tiền tiết kiệm ở đây, vì nó được viết vội vàng và cảm thấy như nó có ít nhất một số tiềm năng để sắp xếp lại mọi thứ. Tuy nhiên, tôi không chắc có thể lưu toàn bộ byte.

Thạch , 10 8 byte

RṚżRFQŒ¿

Cảm ơn @ ais523 vì đã chơi golf 2 byte và tăng tốc cực nhanh!

Hãy thử trực tuyến!

Làm thế nào nó hoạt động

RṚżRFQŒ¿  Main link. Argument: n

R         Range; yield [1, ..., n].
 Ṛ        Reverse; yield [n, ..., 1].
   R      Range; yield [1, ..., n] again.
  ż       Zip; yield [[n, 1], ..., [1, n]].
    F     Flatten.
     Q    Unique; deduplicate the results.
      Œ¿  Compute the permutation index of [n, 1, n-1, 2, ...].

PHP, 86 byte

for($i=$argv[1];$i>0;$i--)$o+=gmp_strval(gmp_fact($i))*($i%2==$argv[1]%2?1:-1);echo$o;

Sử dụng phần mở rộng GNU Chính xác .

Hàm này lợi dụng thực tế i(n)là bằngn! - (n-1)! + (n-2)! - (n-3)! etc

Phá vỡ

for($i=$argv[1];$i>0;$i--) {        // Simple decreasing for loop (added { for readability)
    $o+=                            //  increment output with
        gmp_strval(gmp_fact($i))    //      $i!
    * ($i%2 == $argv[1]%2 ? 1 : -1) //      multiplied by -1 if ($i is odd when the input is even) or (if $i is even when the input is odd), else by 1
    ;
}
echo $o;                            // echoes output

Mẻ, 79 byte

@set/ax=%1%%2-1,y=z=1
@for /l %%i in (-%1,1,%x%)do @set/az+=y*=x-=1
@echo %z%

Chỉ số 0.

Bình thường, 12 byte

x.pQ<Q.i_UQU

Chỉ số 0.

Giải trình

x.pQ<Q.i_UQU
      .i       Interleave
        _UQUQ  Reversed range and range
    <Q         Take first n
x              Find the index
 .pQ           In the list of permutations