Các định nghĩa

Dư lượng bậc hai

Một số nguyên được gọi là phần dư bậc hai modulo nếu tồn tại số nguyên sao cho:$r$$n$$x$

$$x^2\equiv r \pmod n$$

Tập hợp dư lượng bậc hai modulo $n$ có thể được tính toán đơn giản bằng cách xem kết quả của $x^2 \bmod n$ cho $0 \le x \le \lfloor n/2\rfloor$ .

Chuỗi thử thách

Chúng tôi xác định $a_n$ là số lần xuất hiện tối thiểu của cùng một giá trị $(r_0-r_1+n) \bmod n$ cho tất cả các cặp $(r_0,r_1)$ của dư lượng bậc hai modulo $n$ .

30 điều khoản đầu tiên là:

$$1, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 3, 4, 1, 1, 4, 2, 5, 1, 2, 6, 6, 1, 2, 6, 2, 2, 7, 2$$

Đây là A316975 (do chính tôi gửi).

Ví dụ: $n=10$

Các dư lượng bậc hai modulo $10$ là $0$ , $1$ , $4$ , $5$ , $6$ và $9$ .

Đối với mỗi cặp $(r_0,r_1)$ của các dư lượng bậc hai này, chúng tôi tính toán $(r_0-r_1+10) \bmod 10$ , dẫn đến bảng sau (trong đó $r_0$ ở bên trái và $r_1$ ở trên cùng):

$$\begin{array}{c|cccccc} & 0 & 1 & 4 & 5 & 6 & 9\\ \hline 0 & 0 & 9 & 6 & 5 & 4 & 1\\ 1 & 1 & 0 & \color{blue}7 & 6 & 5 & \color{green}2\\ 4 & 4 & \color{magenta}3 & 0 & 9 & \color{red}8 & 5\\ 5 & 5 & 4 & 1 & 0 & 9 & 6\\ 6 & 6 & 5 & \color{green}2 & 1 & 0 & \color{blue}7\\ 9 & 9 & \color{red}8 & 5 & 4 & \color{magenta}3 & 0 \end{array}$$

Số lần xuất hiện tối thiểu của cùng một giá trị trong bảng trên là $2$ (cho $\color{green}2$ , $\color{magenta}3$ , $\color{blue}7$ và $\color{red}8$ ). Do đó $a_{10}=2$ .

Nhiệm vụ của bạn

• Bạn có thể:

  • lấy một số nguyên và in hoặc trả về (0-index hoặc 1-index)$n$$a_n$
  • lấy một số nguyên và in hoặc trả về đầu tiên của chuỗi$n$$n$
  • không có đầu vào và in chuỗi mãi mãi
• Mã của bạn phải có thể xử lý bất kỳ trong số 50 giá trị đầu tiên của chuỗi trong vòng chưa đầy 1 phút.
• Cho đủ thời gian và bộ nhớ, mã của bạn về mặt lý thuyết phải hoạt động đối với bất kỳ số nguyên dương nào được hỗ trợ bởi ngôn ngữ của bạn.
• Đây là môn đánh gôn .

MATL , 14 byte

:UG\u&-G\8#uX<

Hãy thử trực tuyến! Hoặc xác minh 30 giá trị đầu tiên .

Giải trình

:      % Implicit input. Range
U      % Square, element-wise
G      % Push input again
\      % Modulo, element-wise
u      % Unique elements
&-     % Table of pair-wise differences
G      % Push input
\      % Modulo, element-wise
8#u    % Number of occurrences of each element
X<     % Minimum. Implicit display

Japt -g , 22 20 byte

Đã dành quá lâu để tìm hiểu xem thử thách thực sự là gì, đã hết thời gian để chơi gôn: \

Xuất ra nthuật ngữ thứ trong chuỗi. Bắt đầu vật lộn khi đầu vào >900.

õ_²uUÃâ ïÍmuU
£è¥XÃn

Hãy thử hoặc kiểm tra kết quả cho 0-50

---

Giải trình

                  :Implicit input of integer U
õ                 :Range [1,U]
 _                :Map
  ²               :  Square
   uU             :  Modulo U
     Ã            :End map
      â           :Deduplicate
        ï         :Cartesian product of the resulting array with itself
         Í        :Reduce each pair by subtraction
          m       :Map
           uU     :  Absolute value of modulo U
\n                :Reassign to U
£                 :Map each X
 è                :  Count the elements in U that are
  ¥X              :   Equal to X
    Ã             :End map
     n            :Sort
                  :Implicitly output the first element in the array

Thạch ,  13  10 byte

-1 nhờ Dennis (buộc giải thích dyadic bằng cách dẫn đầu ð)
-2 cũng nhờ Dennis (vì các cặp có thể được sao chép lại, chúng tôi có thể tránh một Rvà a 2)

ðp²%QI%ĠẈṂ

Một liên kết đơn âm chấp nhận một số nguyên dương mang lại một số nguyên không âm.

Hãy thử trực tuyến! Hoặc xem 50 điều khoản đầu tiên .

Làm sao?

ðp²%QI%ĠẈṂ - Link: integer, n                   e.g. 6
ð          - start a new dyadic chain - i.e. f(Left=n, Right=n)
 p         - Cartesian product of (implicit ranges)  [[1,1],[1,2],[1,3],[1,4],[1,5],[1,6],[2,1],[2,2],[2,3],[2,4],[2,5],[2,6],[3,1],[3,2],[3,3],[3,4],[3,5],[3,6],[4,1],[4,2],[4,3],[4,4],[4,5],[4,6],[5,1],[5,2],[5,3],[5,4],[5,5],[5,6],[6,1],[6,2],[6,3],[6,4],[6,5],[6,6]]
  ²        - square (vectorises)                     [[1,1],[1,4],[1,9],[1,16],[1,25],[1,36],[4,1],[4,4],[4,9],[4,16],[4,25],[4,36],[9,1],[9,4],[9,9],[9,16],[9,25],[9,36],[16,1],[16,4],[16,9],[16,16],[16,25],[16,36],[25,1],[25,4],[25,9],[25,16],[25,25],[25,36],[36,1],[36,4],[36,9],[36,16],[36,25],[36,36]]
   %       - modulo (by Right) (vectorises)          [[1,1],[1,4],[1,3],[1,4],[1,1],[1,0],[4,1],[4,4],[4,3],[4,4],[4,1],[4,0],[3,1],[3,4],[3,3],[3,4],[3,1],[3,0],[4,1],[4,4],[4,3],[4,4],[4,1],[4,0],[1,1],[1,4],[1,3],[1,4],[1,1],[1,0],[0,1],[0,4],[0,3],[0,4],[0,1],[0,0]]
    Q      - de-duplicate                            [[1,1],[1,4],[1,3],[1,0],[4,1],[4,4],[4,3],[4,0],[3,1],[3,4],[3,3],[3,0],[0,1],[0,4],[0,3],[0,0]]
     I     - incremental differences (vectorises)    [0,3,2,-1,-3,0,-1,-4,-2,1,0,-3,1,4,3,0]
      %    - modulo (by Right) (vectorises)          [0,3,2,5,3,0,5,2,4,1,0,3,1,4,3,0]
       Ġ   - group indices by value                  [[1,6,11,16],[10,13],[3,8],[2,5,12,15],[9,14],[4,7]]
        Ẉ  - length of each                          [3,2,2,4,2,2]
         Ṃ - minimum                                 2

05AB1E , 22 20 15 13 byte

LnI%êãÆI%D.m¢

-2 byte nhờ @Mr. Xcoder .

Dùng thử trực tuyến hoặc xác minh 99 trường hợp thử nghiệm đầu tiên (trong khoảng 3 giây) . (LƯU Ý: Phiên bản kế thừa Python được sử dụng trên TIO thay vì viết lại Elixir mới. Nó nhanh hơn khoảng 10 lần, nhưng yêu cầu một dấu ¬(đầu) vì .mtrả về một danh sách thay vì một mục duy nhất mà tôi đã thêm vào chân trang.)

Giải trình:

L       # Create a list in the range [1, (implicit) input]
 n      # Square each
  I%    # And then modulo each with the input
    ê   # Sort and uniquify the result (faster than just uniquify apparently)
 ã      # Create pairs (cartesian product with itself)
  Æ     # Get the differences between each pair
   I%   # And then modulo each with the input
D.m     # Take the least frequent number (numbers in the legacy version)
   ¢    # Take the count it (or all the numbers in the legacy version, which are all the same)
        # (and output it implicitly)

C (gcc) , 202 200 190 188 187 186 byte

• Đã lưu hai mười hai mười bốn mười lăm byte nhờ trần .
• Đã lưu một byte.

Q(u,a){int*d,*r,A[u],t,i[a=u],*c=i,k;for(;a--;k||(*c++=a*a%u))for(k=a[A]=0,r=i;r<c;)k+=a*a%u==*r++;for(r=c;i-r--;)for(d=i;d<c;++A[(u+*r-*d++)%u]);for(t=*A;++a<u;t=k&&k<t?k:t)k=A[a];u=t;}

Hãy thử trực tuyến!

Python 2 , 97 byte

def f(n):r={i*i%n for i in range(n)};r=[(s-t)%n for s in r for t in r];return min(map(r.count,r))

Hãy thử trực tuyến!

K (ngn / k) , 29 byte

{&/#:'=,/x!r-\:r:?x!i*i:!x}

Hãy thử trực tuyến!

{ } chức năng với đối số x

!xsố nguyên từ 0đếnx-1

i: giao cho i

x! mod x

? độc nhất

r: giao cho r

-\: trừ đi mỗi bên trái

r-\:r ma trận của tất cả sự khác biệt

x! mod x

,/ nối các hàng của ma trận

= nhóm, trả về một từ điển từ các giá trị duy nhất vào danh sách các chỉ số xuất hiện

#:' độ dài của mỗi giá trị trong từ điển

&/ tối thiểu

Ngôn ngữ Wolfram (Mathicala) , 64 byte

Min[Last/@Tally@Mod[Tuples[Union@Mod[Range@#^2,#],2].{1,-1},#]]&

Hãy thử trực tuyến!

Ruby , 88 byte

->n{(z=(w=(0..n).map{|x|x*x%n}|[]).product(w).map{|a,b|(a-b)%n}).map{|c|z.count(c)}.min}

Hãy thử trực tuyến!

APL (Dyalog Unicode) , 28 24 byte

{⌊/⊢∘≢⌸∊⍵|∘.-⍨∪⍵|×⍨⍳⍵+1}

Hãy thử trực tuyến!

Tiền tố chức năng trực tiếp. Công dụng ⎕IO←0.

Nhờ có quẻ bò cho 4 byte!

Làm sao:

{⌊/⊢∘≢⌸∊⍵|∘.-⍨∪⍵|×⍨⍳⍵+1} ⍝ Dfn, argument ⍵

                   ⍳⍵+1 ⍝ Range [0..⍵]
                 ×⍨     ⍝ Squared
               ⍵|       ⍝ Modulo ⍵
              ∪         ⍝ Unique
          ∘.-⍨          ⍝ Pairwise subtraction table
       ∊⍵|              ⍝ Modulo ⍵, flattened
      ⌸                 ⍝ Key; groups indices (in its ⍵) of values (in its ⍺).
   ⊢∘≢                  ⍝ Tally (≢) the indices. This returns the number of occurrences of each element.
 ⌊/                      ⍝ Floor reduction; returns the smallest number.