Giới thiệu

Hôm nay chúng ta sẽ quan tâm đến lợi ích của sinh viên đại số tuyến tính năm đầu tiên: sự dứt khoát của ma trận! Rõ ràng điều này chưa có một thách thức vì vậy chúng tôi đi đây:

Đầu vào

• Một $n\times n$ đối xứng Matrix $A$ trong bất kỳ định dạng thuận tiện (bạn cũng có thể tất nhiên chỉ mất phía trên hoặc phần dưới của ma trận)
• Tùy chọn: kích thước của ma trận $n$

Phải làm sao

Thách thức rất đơn giản: Đưa ra một ma trận có giá trị thực Ma trận $n\times n$ quyết định xem nó có xác định dương hay không bằng cách đưa ra một giá trị trung thực nếu có và giá trị falsey nếu không.

Bạn có thể cho rằng các công cụ tích hợp của mình thực sự hoạt động chính xác và do đó không phải tính đến các vấn đề về số có thể dẫn đến hành vi sai nếu chiến lược / mã "có thể chứng minh" sẽ mang lại kết quả chính xác.

Ai thắng?

Đây là mã golf , vì vậy mã ngắn nhất tính theo byte (theo ngôn ngữ) sẽ thắng!

---

Dù sao ma trận xác định dương là gì?

Rõ ràng có 6 công thức tương đương khi một ma trận đối xứng là dương-xác định. Tôi sẽ sao chép ba cái dễ hơn và đưa bạn đến Wikipedia cho những cái phức tạp hơn.

• Nếu $\forall v\in\mathbb R^n\setminus \{0\}: v^T Av>0$ thì $A$ là dương-định.
  Điều này có thể được định dạng lại là:
  Nếu với mọi vectơ khác không $v$ , sản phẩm chấm (tiêu chuẩn) của $v$ và $Av$ là dương thì $A$ là dương xác định.
• Hãy $\lambda_i\quad i\in\{1,\ldots,n\}$ làgiá trị riêngcủa$A$ , nếu bây giờ$\forall i\in\{1,\ldots,n\}:\lambda_i>0$ (có nghĩa là tất cả các giá trị riêng là dương tính) sau đó$A$ là dương-định.
  Nếu bạn không biết giá trị bản địa là gì thì tôi khuyên bạn nên sử dụng công cụ tìm kiếm yêu thích của mình để tìm hiểu, bởi vì lời giải thích (và các chiến lược tính toán cần thiết) quá dài để có trong bài viết này.
• Nếu tồn tại Cholesky-Decysis of $A$ , tức là tồn tại ma trận tam giác thấp hơn $L$ sao cho $LL^T=A$ thì $A$ là xác định dương. Lưu ý rằng điều này tương đương với "false" trả về sớm nếu tại bất kỳ thời điểm nào, tính toán của root trong thuật toán không thành công do một đối số phủ định.

Ví dụ

Đối với đầu ra trung thực

$$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&4\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}5&2&-1\\2&1&-1\\-1&-1&3\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}1&-2&2\\-2&5&0\\2&0&30\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}7.15&2.45\\2.45&9.37\end{pmatrix}$$

Đối với đầu ra falsey

(ít nhất một giá trị riêng là 0 / bán xác định dương)

$$\begin{pmatrix}3&-2&2\\-2&4&0\\2&0&2\end{pmatrix}$$

(giá trị riêng có các dấu hiệu khác nhau / không xác định)

$$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$

(tất cả các giá trị riêng nhỏ hơn 0 / xác định âm)

$$\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$$

(tất cả các giá trị riêng nhỏ hơn 0 / xác định âm)

$$\begin{pmatrix}-2&3&0\\3&-5&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$$

(tất cả các giá trị riêng nhỏ hơn 0 / xác định âm)

$$\begin{pmatrix}-7.15&-2.45\\-2.45&-9.37\end{pmatrix}$$

(ba giá trị dương, một giá trị riêng âm / không xác định)

$$\begin{pmatrix}7.15&2.45&1.23&3.5\\2.45&9.37&2.71&3.14\\1.23&2.71&0&6.2\\3.5&3.14&6.2&0.56\end{pmatrix}$$

C, 108 byte

-1 byte nhờ Logern
-3 byte nhờ vào trần nhà

f(M,n,i)double**M;{for(i=n*n;i--;)M[i/n][i%n]-=M[n][i%n]*M[i/n][n]/M[n][n];return M[n][n]>0&(!n||f(M,n-1));}

Hãy thử trực tuyến!

Thực hiện loại bỏ Gaussian và kiểm tra xem tất cả các yếu tố đường chéo có dương hay không (tiêu chí của Sylvester). Đối số nlà kích thước của ma trận trừ đi một.

MATLAB / Octave , 19 17 12 byte

@(A)eig(A)>0

Hãy thử trực tuyến!

Hàm eig cung cấp các giá trị riêng theo thứ tự tăng dần, vì vậy nếu giá trị riêng đầu tiên lớn hơn 0, thì các giá trị khác cũng vậy.

Thạch , 11 10 byte

ṖṖ€$ƬÆḊṂ>0

Sử dụng tiêu chí của Sylvester .

Hãy thử trực tuyến!

Làm thế nào nó hoạt động

ṖṖ€$ƬÆḊṂ>0  Main link. Argument: M (matrix)

   $Ƭ       Do the following until a fixed point is encountered.
Ṗ             Pop; remove the last row of the matrix.
 Ṗ€           Pop each; remove the last entry of each row.
     ÆḊ     Take the determinants of the resulting minors.
       Ṃ    Take the minimum.
        >0  Test if the least determinant is positive, i.e., if all determinants are.

R , 29 byte

function(m)all(eigen(m)$va>0)

Hãy thử trực tuyến!

---

Thay thế sử dụng cholesky:

R , 34 33 byte

function(m)is.array(try(chol(m)))

Hãy thử trực tuyến!

-1 byte nhờ @Giuseppe

Haskell , 56 byte

f((x:y):z)=x>0&&f[zipWith(-)v$map(u/x*)y|u:v<-z]
f[]=1>0

Hãy thử trực tuyến!

Về cơ bản là một cảng của câu trả lời của nwellnhof . Thực hiện loại bỏ gaussian và kiểm tra xem các phần tử trên đường chéo chính có dương hay không.

Thất bại đầu ra falsey đầu tiên vì lỗi làm tròn, nhưng về mặt lý thuyết nó sẽ hoạt động với độ chính xác vô hạn. Nhờ đề xuất của Curtis Bechtel , bây giờ các kết quả đầu ra đều chính xác.

Ngôn ngữ Wolfram (Mathicala) , 20 byte

0<Min@Eigenvalues@#&

Hãy thử trực tuyến!

MATL , 4 byte

Yv0>

Hãy thử trực tuyến!

Tôi đã nhận thấy rằng đối với [3 -2 2; -2 4 0; 2 0 2]trường hợp thử nghiệm, MATL tính toán 0giá trị riêng với độ chính xác rất nhỏ, tính toán một cái gì đó thấp đến mức$10^{-18}$. Do đó, điều này không thành công trong trường hợp thử nghiệm giả đầu tiên do các vấn đề chính xác. Cảm ơn Luis Mendo đã chỉ ra rằng một mảng không trống là sự thật nếu tất cả các mục nhập của nó khác 0, tiết kiệm 1 byte.

Toán học, 29 28 byte

AllTrue[Eigenvalues@#,#>0&]&

Định nghĩa 2.

Julia 1.0 , 28 byte

using LinearAlgebra
isposdef

Hãy thử trực tuyến!

---

Julia 0,6 , 8 byte

isposdef

Hãy thử trực tuyến!

MATL , 6 byte

Có thể làm điều đó bằng cách sử dụng ít byte hơn, @Mr. Xcoder đã tìm được câu trả lời MATL 5 byte !

YvX<0>

Giải trình

Yv     compute eigenvalues
  X<   take the minimum
    0> check whether it is greather than zero

Hãy thử trực tuyến!

Maple , 33 byte

(tức là 2 xu của tôi)

with(LinearAlgebra):
IsDefinite(A)

JavaScript (ES6),  99 95  88 byte

Phương pháp tương tự như câu trả lời của nwellnhof . Trả về$0$ hoặc là $1$.

f=(m,n=0,R=m[n])=>R?f(m,n+1)&R[m.map((r,y)=>y<n&&R.map((v,x)=>r[x]-=v*r[n]/R[n])),n]>0:1

Hãy thử trực tuyến!