S. Ryley đã chứng minh định lý sau vào năm 1825:

Mỗi số hữu tỷ có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của ba hình khối hợp lý.

Thử thách

Cho một số số hữu tỉ tìm ba số hữu tỷ sao cho$r \in \mathbb Q$$a,b,c \in \mathbb Q$

$$r= a^3+b^3+c^3.$$

Chi tiết

Việc gửi của bạn sẽ có thể tính toán một giải pháp cho mọi đầu vào được cung cấp đủ thời gian và bộ nhớ, điều đó có nghĩa là việc có hai ví dụ 32 bit intđại diện cho một phân số là không đủ.

Ví dụ

$$\begin{align} 30 &= 3982933876681^3 - 636600549515^3 - 3977505554546^3 \\ 52 &= 60702901317^3 + 23961292454^3 - 61922712865^3 \\ \frac{307}{1728} &= \left(\frac12\right)^3 + \left(\frac13\right)^3 + \left(\frac14\right)^3 \\ 0 &= 0^3 + 0^3 + 0^3 \\ 1 &= \left(\frac12\right)^3 + \left(\frac23\right)^3 + \left(\frac56\right)^3\\ 42 &= \left(\frac{1810423}{509232}\right)^3 + \left(\frac{-14952}{10609}\right)^3 + \left(\frac{-2545}{4944}\right)^3 \end{align}$$

Pari / GP , 40 byte

r->[x=27*r^3+1,9*r-x,z=9*r-27*r^2]/(3-z)

Hãy thử trực tuyến!

---

Cùng một chiều dài, cùng một công thức:

r->d=9*r^2-3*r+1;[x=r+1/3,3*r/d-x,1/d-1]

Hãy thử trực tuyến!

---

Công thức này được đưa ra trong: Richmond, H. (1930). Về giải pháp Rational của $x^3+y^3+z^3=R$ . Kỷ yếu của Hội toán học Edinburgh, 2 (2), 92-100.

$$r=\left(\frac{27r^3+1}{27r^2-9r+3}\right)^3+\left(\frac{-27r^3+9r-1}{27r^2-9r+3}\right)^3+\left(\frac{-27r^2+9r}{27r^2-9r+3}\right)^3$$

Kiểm tra trực tuyến!

Haskell , 95 89 76 69 68 byte

• -18 byte nhờ H.PWiz
• -1 byte nhờ Christian Sievers

f x=[w|n<-[1..],w<-mapM(\_->[-n,1/n-n..n])"IOU",x==sum((^3)<$>w)]!!0

Hãy thử trực tuyến!

Giải pháp bruteforce đơn giản. Nó kiểm tra tất cả các bộ ba số hữu tỷ của mẫu

$$\left(\frac{a_1}{n},\frac{a_2}{n},\frac{a_3}{n}\right)\qquad\text{with }-n\le\frac{a_i}{n}\le n.$$

• Chúng tôi luôn luôn có thể giả định rằng ba số hữu tỉ có cùng mẫu số, vì $$\left(\frac{a_1}{n_1},\frac{a_2}{n_2},\frac{a_3}{n_3}\right)=\left(\frac{a_1n_2n_3}{n_1n_2n_3},\frac{a_2n_1n_3}{n_1n_2n_3},\frac{a_3n_1n_2}{n_1n_2n_3}\right).$$
• $-n\le\frac{a_i}{n}\le n$ $$\frac{a_i}{n}=\frac{a_iN}{nN}$$ $N$

Husk , 14 byte

ḟo=⁰ṁ^3π3×/NİZ

Giải pháp vũ phu đơn giản. Hãy thử trực tuyến!

Giải trình

Division in Husk sử dụng số hữu tỷ theo mặc định và các sản phẩm của Cartesian hoạt động chính xác cho các danh sách vô hạn, làm cho đây là một chương trình rất đơn giản.

ḟo=⁰ṁ^3π3×/NİZ
            İZ  Integers: [0,1,-1,2,-2,3,-3...
           N    Natural numbers: [1,2,3,4,5...
         ×/     Mix by division: [0,1,0,-1,1/2,0,2,-1/2,1/3...
                This list contains n/m for every integer n and natural m.
       π3       All triples: [[0,0,0],[0,0,1],[1,0,0]...
ḟ               Find the first one
    ṁ^3         whose sum of cubes
 o=⁰            equals the input.

JavaScript (Node.js) , 73 byte

(p)(q)$p$$q$

[[p1,q1],[p2,q2],[p3,q3]]$\frac{p}{q}=\left(\frac{p_1}{q_1}\right)^3+\left(\frac{p_2}{q_2}\right)^3+\left(\frac{p_3}{q_3}\right)^3$

p=>q=>[x=p*(y=p*(p*=9n*q*q)*3n/q)/q+(q*=q*q),p-x,p-=y].map(x=>[x,3n*q-p])

Hãy thử trực tuyến!

Xuất phát từ HW Richmond (1930), Về giải pháp Rational của x ³ + y ³ + z ³ = R .

Haskell , 70 byte

Trong phần giới thiệu về Lý thuyết số (của Hardy và Wright) có một công trình thậm chí bao gồm một tham số hợp lý. Đối với mục đích chơi gôn, tôi chỉ đặt tham số này thành 1 và cố gắng giảm càng nhiều càng tốt. Điều này dẫn đến công thức

$$r \mapsto \left[ {{r^3-648\,r^2+77760\,r+373248}\over{72\,\left(r+72\right)^2 }} , {{12\,\left(r-72\right)\,r}\over{\left(r+72\right)^2}} , -{{r^2 -720\,r+5184}\over{72\,\left(r+72\right)}} \right]$$

f r|t<-r/72,c<-t+1,v<-24*t/c^3,a<-(v*t-1)*c=((a+v*c+c)/2-)<$>[a,v*c,c]

Hãy thử trực tuyến!

perl -Mbigrat -nE, 85 byte

$_=eval;($a,$b)=($_*9,$_**2*27);$c=$b*$_;say for map$_/($b-$a+3),$c+1,-$c+$a-1,-$b+$a

Bạn có thể lưu 8 byte (hàng đầu $_=eval;) nếu bạn biết đầu vào là số nguyên; phần này là cần thiết để chương trình tìm kiếm đầu vào của biểu mẫu 308/1728. Đầu vào được đọc từ STDIN. Tôi đang sử dụng công thức được đưa ra bởi @alephalpha.