Phép chập Dirichlet là một loại tích chập đặc biệt xuất hiện như một công cụ rất hữu ích trong lý thuyết số. Nó hoạt động trên tập hợp các hàm số học .

Thử thách

Cho hai hàm số học $f,g$ (tức là các hàm $f,g: \mathbb N \to \mathbb R$ ) tính toán tích chập Dirichlet $(f * g): \mathbb N \to \mathbb R$ như được định nghĩa dưới đây.

Chi tiết

Chúng tôi sử dụng quy ước $0 \notin \mathbb N = \{1,2,3,\ldots \}$ .
Phép tích phân Dirichlet $f*g$ của hai hàm số học $f,g$ lại là hàm số học và nó được định nghĩa là $(f * g) (n) = = \underset{d | n}{Σ} f (\frac{n}{d}) \cdot g (d) = = \underset{tôi \cdot j = = n}{Σ} f (tôi) \cdot g (j) .$ $(f * g)(n) = \sum_\limits{d|n} f\left(\frac{n}{d}\right)\cdot g(d) = \sum_{i\cdot j = n} f(i)\cdot g(j).$ (Cả hai khoản tiền tương đương Khái niệm. $d|n$ phương tiệnchia, do đó tổng kết thúc tự nhiênướccủa Tương tự như vậy chúng ta có thể subsitute. $d \in \mathbb N$ $n$ $n$ $i = \frac{n}{d} \in \mathbb N, j =d \in \mathbb N$ và chúng tôi nhận được công thức tương đương thứ hai. Nếu bạn chưa quen với ký hiệu này, có một ví dụ từng bước ở bên dưới.) Chỉ cần giải thích (điều này không liên quan trực tiếp đến thử thách này): Định nghĩa xuất phát từ việc tính toán sản phẩm của loạt Dirichlet : $(\underset{n \in N}{Σ} \frac{f (n)}{n^{S}}) \cdot (\underset{n \in N}{Σ} \frac{g (n)}{n^{S}}) = = \underset{n \in N}{Σ} \frac{(f * g) (n)}{n^{S}}$ $\left(\sum_{n\in\mathbb N}\frac{f(n)}{n^s}\right)\cdot \left(\sum_{n\in\mathbb N}\frac{g(n)}{n^s}\right) = \sum_{n\in\mathbb N}\frac{(f * g)(n)}{n^s}$
Đầu vào được đưa ra như hai chức năng hộp đen . Ngoài ra, bạn cũng có thể sử dụng danh sách vô hạn, trình tạo, luồng hoặc thứ gì đó tương tự có thể tạo ra số lượng giá trị không giới hạn.
Có hai phương thức đầu ra: Hoặc là một hàm $f*g$ được trả về hoặc thay vào đó, bạn có thể lấy một đầu vào bổ sung $n \in \mathbb N$ và trả về $(f*g)(n)$ trực tiếp.
Để đơn giản, bạn có thể giả sử rằng mọi phần tử của $\mathbb N$ có thể được biểu diễn bằng ví dụ int 32 bit dương.
Để đơn giản, bạn cũng có thể giả sử rằng mọi mục nhập $\mathbb R$ có thể được biểu diễn bằng ví dụ một số dấu phẩy động thực duy nhất.

Ví dụ

Trước tiên chúng ta hãy xác định một vài chức năng. Lưu ý rằng danh sách các số bên dưới mỗi định nghĩa đại diện cho một vài giá trị đầu tiên của hàm đó.

bản sắc nhân giống ( A000007 ) $ε (n) = = {\begin{cases} 1 & n = = 1 \\ 0 & n > 1 \end{cases}$ $\epsilon(n) = \begin{cases}1 & n=1 \\ 0 & n>1 \end{cases}$ 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...
hàm đơn vị không đổi ( A000012 ) $1 (n) = = 1 \forall n$ $\mathbb 1(n) = 1 \: \forall n$ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
hàm nhận dạng ( A000027 ) $tôi d (n) = = n \forall n$ $id(n) = n \: \forall n$ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, ...
chức năng Mobius ( A008683 ) $μ (n) = = {\begin{cases} (- 1)^{k} & nếu n là không vuông và k là số lượng Primefactors của n \\ 0 & nếu không thì \end{cases}$ $\mu(n) = \begin{cases} (-1)^k & \text{ if } n \text{ is squarefree and } k \text{ is the number of Primefactors of } n \\ 0 & \text{ otherwise } \end{cases}$ 1, -1, -1, 0, -1, 1, -1, 0, 0, 1, -1, 0, -1, 1, 1, 0, -1, 0, -1, ...
chức năng Euler hàm Ơ-le ( A000010 ) $φ (n) = = n \underset{p | n}{Π} (1 - \frac{1}{p})$ $\varphi(n) = n\prod_{p|n} \left( 1 - \frac{1}{p}\right)$ 1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 4, 12, 6, 8, 8, 16, 6, 18, 8, ...
các Liouville function ( A008836 ) $λ (n) = = (- 1)^{k}$ $\lambda (n) = (-1)^k$ đâu $k$ là số thừa số nguyên tố của $n$ tính với đa dạng 1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, ...
chức năng ước sum ( A000203 ) $σ (n) = = \underset{d | n}{Σ} d$ $\sigma(n) = \sum_{d | n} d$ 1, 3, 4, 7, 6, 12, 8, 15, 13, 18, 12, 28, 14, 24, 24, 31, 18, 39, 20, ...
chức năng ước đếm ( A000005 ) $τ (n) = = \underset{d | n}{Σ} 1$ $\tau(n) = \sum_{d | n} 1$ 1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 6, 2, 4, 4, 5, 2, 6, 2, 6, 4, 4, 2, 8, ...
hàm đặc trưng của số vuông ( A010052 ) $S q (n) = = {\begin{cases} 1 & nếu n là một số vuông \\ 0 & nếu không thì \end{cases}$ $sq(n) = \begin{cases} 1 & \text{ if } n \text{ is a square number} \\ 0 & \text{otherwise}\end{cases}$ 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...

Sau đó, chúng tôi có các ví dụ sau:

$\epsilon = \mathbb 1 * \mu$
$f = \epsilon * f \: \forall f$
$\epsilon = \lambda * \vert \mu \vert$
$\sigma = \varphi * \tau$
$id = \sigma * \mu$ và $\sigma = id * \mathbb 1$
$sq = \lambda * \mathbb 1$ và $\lambda = \mu * sq$
$\tau = \mathbb 1 * \mathbb 1$ và $\mathbb 1 = \tau * \mu$
$id = \varphi * \mathbb 1$ và $\varphi = id * \mu$

Cuối cùng cho là hậu quả của sự đảo ngược Mobius : Đối với bất kỳ $f,g$ phương trình $g = f * 1$ tương đương với $f = g * \mu$ .

Ví dụ từng bước

Đây là một ví dụ được tính toán từng bước cho những người không quen thuộc với ký hiệu được sử dụng trong định nghĩa. Hãy xem xét các chức năng $f = \mu$ và $g = \sigma$ . Bây giờ chúng ta sẽ đánh giá của họ chập $\mu * \sigma$ tại $n=12$ . Một vài thuật ngữ đầu tiên của họ được liệt kê trong bảng dưới đây.

\begin{array}{cccccccccccccc} f & f (1) & f (2) & f (3) & f (4) & f (5) & f (6) & f (7) & f (8) & f (9) & f (10) & f (11) & f (12) \\ μ & 1 & - 1 & - 1 & 0 & - 1 & 1 & - 1 & 0 & 0 & 1 & - 1 & 0 \\ σ & 1 & 3 & 4 & 7 & 6 & 12 & 8 & 15 & 13 & 18 & 12 & 28 \end{array}

$\begin{array}{c|ccccccccccccc} f & f(1) & f(2) & f(3) & f(4) & f(5) & f(6) & f(7) & f(8) & f(9) & f(10) & f(11) & f(12) \\ \hline \mu & 1 & -1 & -1 & 0 & -1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ \sigma & 1 & 3 & 4 & 7 & 6 & 12 & 8 & 15 & 13 & 18 & 12 & 28 \\ \end{array}$

Các lặp tổng trên tất cả các số tự nhiên $d \in \mathbb N$ mà chia $n=12$ , do đó $d$ giả định tất cả các ước tự nhiên của $n=12 = 2^2\cdot 3$ . Đây là $d =1,2,3,4,6,12$ . Trong mỗi summand, chúng tôi đánh giá $g= \sigma$ tại $d$ và nhân nó với $f = \mu$ đánh giá ở $\frac{n}{d}$ . Bây giờ chúng ta có thể kết luận

\begin{aligned} (μ * σ) (12) & = = μ (12) σ (1) & + μ (6) σ (2) & + μ (4) σ (3) & + μ (3) σ (4) & + μ (2) σ (6) & + μ (1) σ (12) \\ = = 0 \cdot 1 & + 1 \cdot 3 & + 0 \cdot 4 & + (- 1) \cdot 7 & + (- 1) \cdot 12 & + 1 \cdot 28 \\ = = 0 & + 3 & 10 & - 7 & - 12 & + 28 \\ = = 12 \\ = = tôi d (12) \end{aligned}

$\begin{array}{rlccccc} (\mu * \sigma)(12) &= \mu(12)\sigma(1) &+\mu(6)\sigma(2) &+\mu(4)\sigma(3) &+\mu(3)\sigma(4) &+\mu(2)\sigma(6) &+\mu(1)\sigma(12) \\ &= 0\cdot 1 &+ 1\cdot 3 &+ 0 \cdot 4 &+ (-1)\cdot 7 &+ (-1) \cdot 12 &+ 1 \cdot 28 \\ &= 0 & + 3 & 1 0 & -7 & - 12 & + 28 \\ &= 12 \\ & = id(12) \end{array}$

— lỗ hổng
nguồn

4

Lean , 108 100 95 78 75 byte

def d(f g:_->int)(n):=(list.iota n).foldr(λd s,ite(n%d=0)(s+f d*g(n/d))s)0

Hãy thử trực tuyến!

Nhiều testcase với tất cả các chức năng.

— Nữ tu bị rò rỉ
nguồn

lambda có thực sự đắt hơn bốn byte fun không?

— Mario Carneiro

lambda là ba byte, tôi cho rằng

— Leaky Nun

Tôi nghĩ đó là hai trong UTF8 (tiếng Hy Lạp là unicode khá thấp)

— Mario Carneiro

Bạn đúng. Tôi cũng đã đánh gôn nhập khẩu

— Leaky Nun

Tôi cũng đã sử dụng condđể lưu 5 byte

— Leaky Nun

4

Haskell , 46 byte

(f!g)n=sum[f i*g(div n i)|i<-[1..n],mod n i<1]

Hãy thử trực tuyến!

Cảm ơn flawr cho -6 byte và một thách thức lớn! Và cảm ơn H.PWiz cho một -6 khác!

— Mego
nguồn

Đơn giản hơn ở đây ngắn hơn

— H.PWiz

@ H.PWiz Điều đó khá thông minh - Tôi thậm chí không nghĩ làm theo cách đó!

— Mego

3

Python 3 , 59 byte

lambda f,g,n:sum(f(d)*g(n//d)for d in range(1,n+1)if 1>n%d)

Hãy thử trực tuyến!

— Nữ tu bị rò rỉ
nguồn

Là //thực sự cần thiết thay vì /?

— Ông Xcoder

/sẽ sản xuất phao phải không?

— Leaky Nun

Do dlà một ước của nđịnh nghĩa, phần phân n/dsố bằng 0, nên không có bất kỳ vấn đề nào với số học dấu phẩy động. Phao có phần phân số bằng 0 đủ gần với int cho mục đích Pythonic và đầu ra của hàm là một số thực, vì vậy thực hiện n/dthay vì n//dsẽ ổn.

— Mego

3

Ngôn ngữ Wolfram (Mathicala) , 17 byte

Tất nhiên Mathicala có tích hợp sẵn. Nó cũng xảy ra để biết nhiều chức năng ví dụ. Tôi đã bao gồm một số ví dụ làm việc.

DirichletConvolve

Hãy thử trực tuyến!

— Kelly Lowder
nguồn

2

Thêm ++ , 51 byte

D,g,@~,$z€¦~¦*
D,f,@@@,@b[VdF#B]dbRzGb]$dbL$@*z€g¦+

Hãy thử trực tuyến!

$n$ $(f * g)(n)$

Làm thế nào nó hoạt động

D,g,		; Define a helper function, $g
	@~,	; $g takes a single argument, an array, and splats that array to the stack
		; $g takes the argument e.g. [[τ(x) φ(x)] [3 4]]
		; STACK : 			[[τ(x) φ(x)] [3 4]]
	$z	; Swap and zip:			[[3 τ(x)] [4 φ(x)]]
	€¦~	; Reduce each by execution:	[[τ(3) φ(4)]]
	¦*	; Take the product and return:	τ(3)⋅φ(4) = 4

D,f,		; Define the main function, $f
	@@@,	; $f takes three arguments: φ(x), τ(x) and n (Let n = 12)
		; STACK:			[φ(x) τ(x) 12]
	@	; Reverse the stack:		[12 τ(x) φ(x)]
	b[V	; Pair and save:		[12]			Saved: [τ(x) φ(x)]
	dF#B]	; List of factors:		[[1 2 3 4 6 12]]
	dbR	; Copy and reverse:		[[1 2 3 4 6 12] [12 6 4 3 2 1]]
	z	; Zip together:			[[[1 12] [2 6] [3 4] [4 3] [6 2] [12 1]]]
	Gb]	; Push Saved:			[[[1 12] [2 6] [3 4] [4 3] [6 2] [12 1]] [[τ(x) φ(x)]]]
	$dbL	; Number of dividors:		[[[τ(x) φ(x)]] [[1 12] [2 6] [3 4] [4 3] [6 2] [12 1]] 6]
	$@*	; Repeat:			[[[1 12] [2 6] [3 4] [4 3] [6 2] [12 1]] [[τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)]]]
	z	; Zip:				[[[τ(x) φ(x)] [1 12]] [[τ(x) φ(x)] [2 6]] [[τ(x) φ(x)] [3 4]] [[τ(x) φ(x)] [4 3]] [[τ(x) φ(x)] [6 2]] [[τ(x) φ(x)] [12 1]]]
	€g	; Run $g over each subarray:	[[4 4 4 6 4 6]]
	¦+	; Take the sum and return:	28

— caird coinheringaahing
nguồn

2

R , 58 byte

function(n,f,g){for(i in (1:n)[!n%%1:n])F=F+f(i)*g(n/i)
F}

Hãy thử trực tuyến!

Mất n, fvà g. May mắn thay, numbersgói có khá nhiều chức năng được thực hiện.

Nếu có sẵn các phiên bản vector hóa, có thể bằng cách gói từng cái Vectorize, thì phiên bản 45 byte sau là có thể:

R , 45 byte

function(n,f,g,x=1:n,i=x[!n%%x])f(i)%*%g(n/i)

Hãy thử trực tuyến!

— Giuseppe
nguồn

1

Thạch , 9 byte

ÆDṚÇ€ḋÑ€Ʋ

Hãy thử trực tuyến!

$f$ $g$ $n$

— Erik là người vượt trội
nguồn

1

Swift 4 , 74 70 54 byte

{n in(1...n).map{n%$0<1 ?f(n/$0)*g($0):0}.reduce(0,+)}

Hãy thử trực tuyến!

— Ông Xcoder
nguồn

1

JavaScript (ES6), 47 byte

Đưa đầu vào là (f)(g)(n).

f=>g=>h=(n,d=n)=>d&&!(n%d)*f(n/d)*g(d)+h(n,d-1)

Hãy thử trực tuyến!

Ví dụ

liouville =
n => (-1) ** (D = (n, k = 2) => k > n ? 0 : (n % k ? D(n, k + 1) : 1 + D(n / k, k)))(n)

mobius =
n => (M = (n, k = 1) => n % ++k ? k > n || M(n, k) : n / k % k && -M(n / k, k))(n)

sq =
n => +!((n ** 0.5) % 1)

identity =
n => 1

// sq = liouville * identity
console.log([...Array(25)].map((_, n) => F(liouville)(identity)(n + 1)))

// liouville = mobius * sq
console.log([...Array(20)].map((_, n) => F(mobius)(sq)(n + 1)))

— Arnauld
nguồn

1

APL (Dyalog Classic) , 20 byte

{(⍺⍺¨∘⌽+.×⍵⍵¨)∪⍵∨⍳⍵}

với ⎕IO←1

Hãy thử trực tuyến!

Dễ giải quyết, khó kiểm tra - nói chung không phải là loại thử thách của tôi. Tuy nhiên, tôi rất thích cái này rất nhiều!

{ }định nghĩa một toán tử dyadic có toán hạng ⍺⍺và ⍵⍵là hai hàm được xác định; ⍵là đối số số

∪⍵∨⍳⍵là các ước của ⍵thứ tự tăng dần, tức là duy nhất ( ∪) của LCMs ( ∨) ⍵với tất cả các số tự nhiên lên đến nó ( ⍳)

⍵⍵¨ áp dụng toán hạng đúng cho mỗi toán hạng

⍺⍺¨∘⌽ áp dụng toán hạng bên trái cho mỗi toán tử ngược

+.× sản phẩm bên trong - nhân các yếu tố tương ứng và tổng

Tương tự trong ngn / apl có vẻ tốt hơn vì định danh Unicode, nhưng mất thêm 2 byte vì lập chỉ mục 1.

— ngn
nguồn

Khá chắc chắn rằng nó cần thêm 27 byte trong ngn / apl ...

— Erik the Outgolfer 17/11/18

1

C (gcc) , 108 byte

#define F float
F c(F(*f)(int),F(*g)(int),int n){F s=0;for(int d=0;d++<n;)if(n%d<1)s+=f(n/d)*g(d);return s;}

Thực hiện đơn giản, bị đánh cắp một cách đáng xấu hổ từ câu trả lời Python của Leaky Nun .

Ung dung:

float c(float (*f)(int), float (*g)(int), int n) {
    float s = 0;
    for(int d = 1; d <= n;++d) {
        if(n % d == 0) {
            s += f(n / d) * g(d);
        }
    }
    return s;
}

Hãy thử trực tuyến!

— tham gia
nguồn

1

F #, 72 byte

let x f g n=Seq.filter(fun d->n%d=0){1..n}|>Seq.sumBy(fun d->f(n/d)*g d)

Đưa hai chức năng fvà gvà một số tự nhiên n. Lọc ra các giá trị dkhông tự nhiên phân chia thành n. Sau đó đánh giá f(n/d) và nhân g(d)chúng lại với nhau và tính tổng kết quả.

— Ciaran_McCarthy
nguồn

0

Pari / GP , 32 byte

(f,g,n)->sumdiv(n,d,f(n/d)*g(d))

Hãy thử trực tuyến!

Có một dirmulchức năng tích hợp, nhưng nó chỉ hỗ trợ các chuỗi hữu hạn .

— alephalpha
nguồn

Kết hợp Dirichlet

Thử thách

Chi tiết

Ví dụ

Ví dụ từng bước

Lean , 108 100 95 78 75 byte

Haskell , 46 byte

Python 3 , 59 byte

Ngôn ngữ Wolfram (Mathicala) , 17 byte

Thêm ++ , 51 byte

Làm thế nào nó hoạt động

R , 58 byte

R , 45 byte

Thạch , 9 byte

Swift 4 , 74 70 54 byte

JavaScript (ES6), 47 byte

Ví dụ

APL (Dyalog Classic) , 20 byte

C (gcc) , 108 byte

F #, 72 byte

Pari / GP , 32 byte