Giới thiệu

Trong lý thuyết số, chúng ta nói một số là -smooth khi các thừa số nguyên tố của nó nhiều nhất là . Ví dụ: 2940 mượt 7 vì .$k$$k$$2940=2^2\cdot3\cdot5\cdot7^2$

Ở đây, chúng tôi định nghĩa một cặp -smooth là hai số nguyên liên tiếp mà cả hai đều là -smooth. Một ví dụ về cặp 7 trơn sẽ là vì và . Sự thật thú vị: Đây thực sự là cặp 7 số lớn nhất .$k$$k$$(4374,4375)$$4374=2\cdot3^7$$4375=5^4\cdot7$

Størmer đã chứng minh vào năm 1897 rằng với mỗi , chỉ có rất nhiều cặp -smooth$k$$k$ và thực tế này được gọi là Định lý Størmer .

Thử thách

Nhiệm vụ của bạn là viết một chương trình hoặc hàm, với đầu vào số nguyên tố , xuất hoặc trả về tất cả các cặp -smooth mà không trùng lặp (thứ tự trong cặp không quan trọng) theo bất kỳ thứ tự nào bạn muốn.$k$$k$

Xin lưu ý rằng đối với các số nguyên tố và , giả sử , tất cả các cặp -smooth cũng là các cặp -smooth.$p$$q$$p<q$$p$$q$

Mẫu I / O

Input: 2
Output: (1, 2)

Input: 3
Output: (1, 2), (2, 3), (3, 4), (8, 9)

Input: 5
Output: (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (8, 9), (9, 10), (15, 16), (24, 25), (80, 81)

Input: 7
Output: (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 7), (7, 8), (8, 9), (9, 10), (14, 15),
        (15, 16), (20, 21), (24, 25), (27, 28), (35, 36), (48, 49), (49, 50), (63, 64),
        (80, 81), (125, 126), (224, 225), (2400, 2401), (4374, 4375)

Sự hạn chế

Về mặt lý thuyết, chương trình hoặc chức năng nên chấm dứt trong thời gian hữu hạn cho tất cả các đầu vào. Các sơ hở tiêu chuẩn không được phép theo mặc định.

Tiêu chí chiến thắng

Vì đây là một thử thách chơi gôn mã , bài nộp hợp lệ ngắn nhất cho mỗi ngôn ngữ sẽ thắng.

JavaScript (ES7),  234  232 byte

Tìm các nghiệm bằng cách giải phương trình Pell có dạng $x^2-2qy^2=1$ , trong đó $q$ là số tự do $P$ -smooth vuông.

Đây là một triển khai của thủ tục Derrick Henry Lehmer , xuất phát từ thủ tục ban đầu của Størmer.

Trả về một đối tượng có khóa và giá trị mô tả các cặp $P$ -smooth.

P=>[...Array(P**P)].map((_,n)=>(s=(n,i=0,k=2)=>k>P?n<2:n%k?s(n,i,k+1):s(n/k,i,k+i))(n,1)&&(_=>{for(x=1;(y=((++x*x-1)/n)**.5)%1;);(h=(x,y)=>k--&&h(X*x+n*Y*y,X*y+Y*x,x&s(x=~-x/2)&s(x+1)?r[x]=x+1:0))(X=x,Y=y,k=P<5?3:-~P/2)})(),r={})&&r

Hãy thử trực tuyến!

Làm sao?

Chức năng helper $s$ kiểm tra xem một số nguyên cho $n$ là một $P$ số -smooth khi nó được gọi với $i=0$ , hoặc miễn phí vuông ¹ $P$ số -smooth khi nó được gọi với $i=1$ .

s = (
  n,
  i = 0,
  k = 2
) =>
  k > P ?
    n < 2
  :
    n % k ?
      s(n, i, k + 1)
    :
      s(n / k, i, k + i)

Chúng tôi tìm tất cả các ^{số 1} $P$ -smooth vuông miễn phí trong $[1..P^P-1]$ , trong đó $P^P$ được sử dụng làm giới hạn trên cho $P!$.

P=>[...Array(P ** P)].map((_, n) => s(n, 1) && (...))

Với mỗi số $n$ được tìm thấy ở trên, chúng tôi tìm giải pháp cơ bản của phương trình Pell $x^2-ny^2=1$ :

(_ => {
  for(x = 1; (y = ((++x * x - 1) / n) ** .5) % 1;);
  ...
})()

(đoạn mã trên là phiên bản không đệ quy của câu trả lời của tôi cho thử thách khác này )

Khi đã tìm thấy giải pháp cơ bản $(x_1,y_1)$ , chúng tôi tính toán các giải pháp $(x_k,y_k)$ với $k\le max(3,(P+1)/2)$ , sử dụng các quan hệ lặp lại:

Với mỗi $x_k$ , chúng tôi kiểm tra xem $x_k$ có phải là số lẻ hay không và cả $(x_k-1)/2$ và $(x_k+1)/2$ đều là $P$ -smooth. Nếu vậy, chúng tôi lưu trữ chúng trong đối tượng $r$ .

( h = (x, y) =>
  k-- &&
  h(
    X * x + n * Y * y,
    X * y + Y * x,
    x &
    s(x = ~-x / 2) &
    s(x + 1) ?
      r[x] = x + 1
    :
      0
  )
)(X = x, Y = y, k = P < 5 ? 3 : -~P / 2)

^{1: Bởi vì nó không kiểm tra tính nguyên thủy của các ước số, nên hàm $s$ thực sự sẽ là sự thật đối với một số số không vuông, ngay cả khi nó được gọi với $i=1$ . Ý tưởng là lọc hầu hết chúng để không giải được quá nhiều phương trình Pell vô dụng.}

Thạch , 16 14 byte

4*ÆfṀ<ɗƇ‘rƝLÐṂ

Hãy thử trực tuyến!

Kiểm tra các cặp lên đến $4^k$ không hiệu quả đối với $k$ lớn hơn nhưng phải đảm bảo không bỏ sót.

Cảm ơn @Jonathan ALLan vì đã tiết kiệm 1 byte!

Giải trình

4*ÆfṀ<ɗƇ‘rƝLÐṂ  | Monadic link, input k

4*              | 4**k, call this n
      ɗƇ        | For each number from 1..n filter those where:
  Æf            |   - Prime factors
    Ṁ           |   - Maximum
     <  ‘       |   - Less than k+1
         rƝ     | Inclusive range between neighbouring values
           LÐṂ  | Keep only those of minimum length (i.e. adjacent values)

05AB1E , 8 byte

°Lü‚ʒfà@

Hãy thử trực tuyến!

Giải trình:

°            # 10 ** the input
 Lü‚         # list of pairs up to that number
    ʒ        # filtered by...
     fà      # the greatest prime factor (of either element of the pair)...
       @     # is <= the input

Thạch , 123 byte

¹©Æ½Ø.;µU×_ƭ/;²®_$÷2ị$}ʋ¥⁸;+®Æ½W¤:/$$µƬṪ€F¹;Ḋ$LḂ$?ṭ@ṫ-ṚZæ.ʋ¥ƒØ.,U¤-ịWµ1ịżU×®W¤Ɗ$æ.0ị$ṭµ³’H»3¤¡
ÆRŒPP€ḟ2ḤÇ€ẎḢ€+€Ø-HÆfṀ€<ẠʋƇ‘

Hãy thử trực tuyến!

$2×$$\max(3, \frac{k+1}{2})$$\frac{x-1}{2}, \frac{x+1}{2}$

$k$

Haskell , 118 107 byte

-11 byte nhờ nimi

q 1=[1]
q n=(:)<*>q.div n$[x|x<-[2..n],mod n x==0]!!0
f k|let r=all(<=k).q=[(n,n+1)|n<-[1..4^k],r n,r(n+1)]

Hãy thử trực tuyến!

• q n tính toán một danh sách tất cả các yếu tố chính của n
• f k$k$

Thạch , 24 byte

³!²R‘Ė
ÇÆFḢ€€€’<³FȦ$€Tị¢

Hãy thử trực tuyến!

Điều này mất nhiều thời gian cho 7, nhưng nó tính toán nhanh hơn nhiều nếu bạn loại bỏ bình phương của giai thừa: Hãy thử trực tuyến!

Giải trình:

³!²R‘Ė                Generates a list like [[1,2],[2,3],...]
³!²                  Take the square of the factorial of the input
   R                 Range 1 through through the above number.
    ‘Ė               Decrement and enumerate, yielding desired list


ÇÆFḢ€€€’<³FȦ$€Tị¢  
Ç                    Get the list of pairs  
 ÆF                  Get the prime factors of each number
   Ḣ€€€              Get the base of each
       ’<³           Is each base less than or equal to the input?
          FȦ$€       Check that all bases of a pair fit the above.
              T      Get a list of the truthy indexes
               ị¢    Index into the original list of pairs
                     Implicit output

-3 byte nhờ @Jonathan ALLen

Python 3 + sympy, 116 byte

import sympy
def f(k):x=[i for i in range(2,4**k)if max(sympy.factorint(i))<=k];return[(y,y+1)for y in x if y+1in x]

Hãy thử trực tuyến!

Python 3 + sympy, 111 byte

from sympy import*
def f(k):
 b=1
 for i in range(2,4**k):
  x=max(factorint(i))<=k
  if x&b:print(i-1,i)
  b=x

Hãy thử trực tuyến!

Hai biến thể trong câu trả lời Jelly của tôi nhưng trong Python 3. Cả hai đều xác định một hàm chấp nhận một đối số k. Cái đầu tiên trả về một danh sách các bộ dữ liệu của các cặp đáp ứng các tiêu chí. Thứ hai in chúng ra thiết bị xuất chuẩn.

Ngôn ngữ Wolfram (Mathicala) , 241 byte

sử dụng phương trình Pell

(s=#;v@a_:=Max[#&@@@#&/@FactorInteger@a]<=s;Select[{#-1,#+1}/2&/@(t={};k=y=1;While[k<=Max[3,(s+1)/2],If[IntegerQ[x=Sqrt[1+2y^2#]],t~AppendTo~x;k++];y++];t),v@#&]&/@Join[{1},Select[Range[3,Times@@Prime@Range@PrimePi@s],SquareFreeQ@#&&v@#&]])&

Hãy thử trực tuyến!

Bình thường , 15 byte

f!>#QsPMTCtBS^4

Hãy thử trực tuyến!

Sử dụng quan sát của Nick Kennedy rằng không có số lượng đầu ra sẽ lớn hơn 4^k.

05AB1E , 16 byte

°LʒfàI>‹}Xšü‚ʒ¥`

$n\gt3$

Giải trình:

°                # Take 10 to the power of the (implicit) input
 L               # Create a list in the range [1, 10^input]
  ʒ              # Filter this list by:
   fà            #  Get the maximum prime factor
     I>‹         #  And check if it's smaller than or equal to the input
        }Xš      # After the filter: prepend 1 again
           ü‚    # Create pairs
             ʒ   # And filter these pairs by:
              ¥` #  Where the forward difference / delta is 1

Stax , 14 byte

Θ",²aÇu,á‼⌐çLB

Chạy và gỡ lỗi nó

Đây không phải là chương trình ngắn nhất có thể, nhưng nó bắt đầu tạo đầu ra ngay khi tìm thấy các cặp phù hợp. Cuối cùng nó chấm dứt , nhưng đầu ra được sản xuất như nó tìm thấy.

Ruby , 89 + 8 = 97 byte

Sử dụng -rprimecờ. Cho mỗi số$i$ từ 1 đến $4^n$, ánh xạ nó tới [i, i+1]nếu cả hai$n$-smooth, nếu không thì ánh xạ nó tới false, sau đó tỉa tất cả falsetừ danh sách.

->n{g=->x{x.prime_division.all?{|b,_|b<=n}};(1..4**n).map{|i|g[i]&&g[i+1]&&[i,i+1]}-[!1]}

Hãy thử trực tuyến!