Quiche Lorraine [đóng]

Vì nó là Pi ngày gần đây, tôi đã nhận thấy một số các thách thức yêu cầu bạn để tính toán pi.

Tất nhiên, một licheine quiche không hoàn toàn là một chiếc bánh (bạn có thể yêu cầu Điểm thưởng¹ là +1 nếu bạn đoán được thử thách từ tiêu đề). Như vậy, việc của bạn là viết một thuật toán hay phương pháp mà vẻ thích nó xấp xỉ Pi ở cái nhìn đầu tiên, nhưng được bảo đảm không hội tụ về phía Pi.

Đây là một thử thách ngầm, vì vậy hãy đảm bảo rằng nó sẽ xuất ra 3.14 ... cho một trường hợp thử nghiệm đơn giản, ví dụ với 10 lần lặp thuật toán của bạn. Đây cũng là một thách thức phổ biến, vì vậy đừng đi quá rõ ràng echo(pi)và nói rằng điểm nổi IEEE 754 làm tròn một số chữ số lên hoặc xuống.

Người chiến thắng có được một licheine².

Cảnh báo: không thực sự là điểm thưởng. Bằng cách tuyên bố điểm số, bạn đồng ý nướng cho tôi một chiếc bánh trước Ngày Pi, 2016

² Cảnh báo: quiche lorraine được sử dụng như một phép ẩn dụ để câu trả lời của bạn được đánh dấu là 'được chấp nhận'

Thuật toán

Sử dụng kết quả nổi tiếng:

chúng tôi định nghĩa trong Python 3:

from math import sin
from functools import reduce
from operator import mul

def integrate(f, a, b, n):
   h = (b-a)/n
   i = h * sum(f(a+i*h+h/2) for i in range(n))
   return i

def sinc(x):
   return sin(x)/x

def borwein(n):
   def f(x):
     g = lambda i: sinc(x/(2*i+1))
     return reduce(mul, map(g, range(n)), 1)
   return f

Kiểm tra

>>> for i in range(1,10):
...   pi = 2 * integrate(borwein(i), 0, 1000, 1000)
...   print("x[{}] = {}".format(i, pi))
x[1] = 3.140418050361841
x[2] = 3.141593078648859
x[3] = 3.1415926534611547
x[4] = 3.1415926535957164
x[5] = 3.1415926535895786
x[6] = 3.1415926535897953
x[7] = 3.1415926535897936
x[8] = 3.1415926535435896 # ???
x[9] = 3.141592616140805  # ?!!

Làm hỏng

Các Borwein không thể thiếu là ý tưởng toán học của một trò đùa thực tế. Mặc dù danh tính ở trên giữ đúng mức (x / 13), giá trị tiếp theo thực sự là:

Để tìm pi, chúng ta sẽ tích hợp phương trình vi phân nổi tiếng này:

Với một điều kiện ban đầu

Người ta biết rằng bài toán giá trị ban đầu này hội tụ đến π khi t tăng mà không bị ràng buộc. Vì vậy, tất cả những gì chúng ta cần là bắt đầu với một dự đoán hợp lý cho một cái gì đó trong khoảng từ 0 đến 2π và chúng ta có thể thực hiện tích hợp số. 3 gần với π, vì vậy chúng tôi sẽ chọn y = 3 để bắt đầu.

class PiEstimator {

    static final int numSteps = 100;
    static final double dt = 0.1, tMax = numSteps * dt;

    static double f(double y, double t){ return Math.sin(y) * Math.exp(t); }

    public static void main(String[] args){
        double y = 3;
        int n = 0;

        for(double t = 0; t < tMax; t+=dt){
            if(n%5 == 0) System.out.println(n + ": " + y);
            n++;
            y += f(y,t)*dt;
        }
    }
}

Dưới đây là một số kết quả cho mỗi số bước khác nhau:

0: 3.0
5: 3.0682513992369205
10: 3.11812938865782
15: 3.1385875952782825
20: 3.141543061526081
25: 3.141592653650948
30: 3.1415926535886047
35: 3.1415926535970526
40: 3.1415926517316737  // getting pretty close!
45: 3.1416034165087647  // uh oh
50: 2.0754887983317625  
55: 49.866227663669584
60: 64.66835482328707
65: 57.249212987256286
70: 9.980977494635624
75: 35.43035516640032
80: 51.984982646834
85: 503.8854575676292
90: 1901.3240821223753
95: 334.1514462091029
100: -1872.5333656701248

Làm thế nào nó hoạt động:

Phương trình vi phân đó được biết đến vì cực kỳ khó tích hợp chính xác. Trong khi đối với các giá trị t nhỏ, tích hợp ngây thơ sẽ tạo ra kết quả chấp nhận được, hầu hết các phương pháp tích hợp thể hiện sự không ổn định cực kỳ vì t trở nên rất lớn.

Mã số:

var pi = function(m) {
  var s2 = 1, s1 = 1, s = 1;
  for (var i = 0; s >= 0; ++i) {
    s = s1 * 2 - s2 * (1 + m*m);
    s2 = s1;
    s1 = s;
  }
  return i*m*2;
};

Tôi cơ bản phát hiện ra trình tự này một cách tình cờ. Nó bắt đầu như 1, 1và mọi điều khoản sau đó s(n)được đưa ra bởi s(n) = 2*s(n - 1) - s(n - 2) * (1 + m*m). Kết quả cuối cùng là nhỏ nhất nsao cho s(n) < 0nhân với 2m. Khi mcàng nhỏ, nó sẽ càng ngày càng chính xác.

pi(1/100) --> 3.14
pi(1/1000) --> 3.14
pi(1/10000) --> 3.1414
pi(1/100000) --> 3.14158
pi(1/1000000) --> 3.141452 // what?
pi(1/10000000) --> 3.1426524 // .. further away from pi

Tôi khá chắc chắn đây là những lỗi dấu phẩy động (1 + m*m)gần với một, nhưng tôi không chắc. Như tôi đã nói, tôi tình cờ phát hiện ra điều này. Tôi không chắc tên chính thức của nó. Đừng thử điều này với một cái mquá nhỏ hoặc nó sẽ chạy mãi mãi (nếu 1 + m*m == 1do mquá nhỏ).

Nếu bất cứ ai biết tên của chuỗi này hoặc tại sao nó hoạt động như thế này, tôi sẽ đánh giá cao nó.