Đưa ra một đa thức, xác định xem nó là số nguyên tố.

Một đa thức là ax^n + bx^(n-1) + ... + dx^3 + ex^2 + fx + g, trong đó mỗi số hạng là một số không đổi (hệ số) nhân với một công suất nguyên không âm của x. Công suất cao nhất với hệ số khác không được gọi là độ. Đối với thử thách này, chúng tôi chỉ xem xét các đa thức ít nhất là độ 1. Nghĩa là, mỗi đa thức đều chứa một số x. Ngoài ra, chúng tôi chỉ sử dụng đa thức với các hệ số nguyên.

Đa thức có thể được nhân lên. Ví dụ, (x+3)(2x^2-2x+3)bằng 2x^3+4x^2-3x+9. Vì vậy, 2x^3+4x^2-3x+9có thể được bao gồm trong x+3và 2x^2-2x+3, vì vậy nó là tổng hợp.

Các đa thức khác không thể là yếu tố. Ví dụ, 2x^2-2x+3không phải là tích của hai đa thức (bỏ qua các đa thức không đổi hoặc các đa thức có hệ số không nguyên). Do đó, nó là số nguyên tố (còn được gọi là không thể giảm).

Quy tắc

• Đầu vào và đầu ra có thể thông qua bất kỳ cách tiêu chuẩn.
• Đầu vào có thể là một chuỗi như 2x^2-2x+3, một danh sách các hệ số thích {2,-2,3}hoặc bất kỳ phương tiện tương tự nào.
• Đầu ra là giá trị trung thực nếu là số nguyên tố hoặc giá trị falsey nếu là giá trị tổng hợp. Bạn phải mang lại cùng một giá trị trung thực cho tất cả các số nguyên tố và cùng một giá trị falsey cho tất cả các đa thức tổng hợp.
• Đầu vào sẽ có ít nhất là độ 1 và nhiều nhất là độ 10.
• Bạn không được sử dụng các công cụ tích hợp để xác định (số nguyên hoặc biểu thức) hoặc giải phương trình.

Ví dụ

Đúng - nguyên tố

x+3
-2x
x^2+x+1
x^3-3x-1
-2x^6-3x^4+2
3x^9-8x^8-3x^7+2x^3-10

Sai - tổng hợp

x^2
x^2+2x+1
x^4+2x^3+3x^2+2x+1
-3x^7+5x^6-2x
x^9-8x^8+7x^7+19x^6-10x^5-35x^4-14x^3+36x^2+16x-12

Toán học, 224 byte

f@p_:=(e=p~Exponent~x;r=Range[⌈e/-4⌉,(e+2)/4];e<2||FreeQ[PolynomialRemainder[p,Thread@{r,#}~InterpolatingPolynomial~x,x]&/@Tuples[#~Join~-#&[Join@@Position[#/Range@Abs@#,_Integer]]&/@#]~DeleteCases~{(a_)..},0|{}]&[p/.x->r])

Giải thích :

Phương pháp Kronecker được sử dụng ở đây. Phương pháp này tạo ra các đa thức bậc thấp nhất định và kiểm tra xem có tồn tại một yếu tố của đa thức ban đầu hay không.

Các trường hợp thử nghiệm :

f/@{x+3, -2x, x^2+x+1, x^3-3x-1, -2x^6-3x^4+2, 3x^9-8x^8-3x^7+2x^3-10}
(* {True, True, True, True, True, True} *)

f/@{x^2, x^2+2x+1, x^4+2x^3+3x^2+2x+1, -3x^7+5x^6-2x, x^9-8x^8+7x^7+19x^6-10x^5-35x^4-14x^3+36x^2+16x-12}
(* {True, True, True, True, True} *)

Phải mất 14 giây trên máy tính xách tay của tôi để kết luận đó 3x^9-8x^8-3x^7+2x^3-10là nguyên tố.

PARI / GP, 16 byte, rẻ như địa ngục

Vì một số lý do, điều này không được phép (lưu ý rằng lệnh không phải là yếu tố hoặc giải phương trình):

polisirreducible

Trường hợp thử nghiệm

%(x^2+x+1)

trả về 1(đúng). Các ví dụ khác hoạt động tương tự.

Nhưng để cho thấy rằng điều này có thể giải quyết được một cách khó khăn, đây là một giải pháp đầy đủ.

Ít rẻ hơn, nhưng sloooooooooow

Thực sự không có điểm đánh gôn này.

Beauzamy(P)=
{
  my(d=poldegree(P),s,c);
  s=sum(i=0,d,polcoeff(P,i)^2/binomial(d,i));
  c = 3^(3/2 + d);
  c *= s / (4*d*Pi);
  abs(c * pollead(P))
}
factorpol(P)=
{
  my(B=Beauzamy(P)\1, t=B*2+1, d=poldegree(P)\2, Q);
  for(i=0,t^(d+1)-1,
    Q=Pol(apply(n->n-B, digits(i,t)));
    if(Q && poldegree(Q) && P%Q==0, return(Q))
  );
  0
}
irr(P)=
{
  factorpol(P)==0
}

Chỉnh sửa: Các nhà bình luận đã chỉ ra rằng phương pháp đầu tiên có thể không được chấp nhận bởi hương vị tốt, tinh thần của các quy tắc, Công ước Geneva, quy tắc kẽ hở tiêu chuẩn, v.v. Tôi không đồng ý, nhưng trong mọi trường hợp tôi đã đăng phiên bản thứ hai cùng với đầu tiên và chắc chắn nó có vẻ chấp nhận được