Với mỗi mức độ nhất định n, có thể xây dựng (ít nhất một) một đa thức tích phân psao cho p(k)( pđánh giá trong k) là hệ số của thuật ngữ x^ktrong đa thức cho tất cả 0 <= k <= n. Để làm cho chúng là duy nhất, chúng tôi yêu cầu hệ số dẫn đầu (hệ số x^n) phải dương và tối thiểu.

Các đa thức này có một số tính chất thú vị, bạn có thể tìm thấy một số tài liệu tham khảo trong chủ đề đã truyền cảm hứng cho tôi để thực hiện thử thách này . Bạn cũng có thể tìm thấy các đa thức trong https://oeis.org/A103423

Một trong những đặc tính bất ngờ của tiên nghiệm là cách rễ hoạt động tùy thuộc vào n:

nguồn (bởi / u / zorngov và / u / EpicSauceSc2)

Bài tập

Cho một nđầu ra số nguyên không âm, đa thức tích phân tự tham chiếu của độ nvới hệ số dương dương tối thiểu.

Chi tiết

Đầu ra có thể ở bất kỳ dạng nào có thể đọc được của con người, dưới dạng chuỗi x^2-x-1hoặc cũng là một danh sách các hệ số [1,-1,-1]. (Thứ tự của các hệ số cũng có thể là cách khác, nó chỉ cần nhất quán.)

Đầu ra vài

n=0: 1
n=1: x
n=2: x^2-x-1
n=3: 10*x^3-29*x^2-6*x+19
n=4: 57*x^4-325*x^3+287*x^2+423*x-19
n=5: 12813*x^5-120862*x^4+291323*x^3+44088*x^2-355855*x-227362 

Sage , 74 byte

lambda n:kernel(matrix(n+1,[j^-i-(-i==j)for i in[-n..0]for j in[0..n]])).0

Các -ivà [-n..0]có thể là ivà [0..n], nếu không muốn nói cho các yêu cầu hệ số tích cực hàng đầu.

Dùng thử trên Sage Cell

Toán học, 55 byte

NullSpace@Table[x^c-Boole[r==c]/.x->r,{r,0,#},{c,0,#}]&

Đầu ra là các hệ số danh sách, bắt đầu từ số hạng không đổi. Thí dụ:

In[1084] := Do[Print[%1077[n] // StandardForm], {n, 0, 7}]

{{1}}

{{0,1}}

{{-1,-1,1}}

{{19,-6,-29,10}}

{{-19,423,287,-325,57}}

{{-227362,-355855,44088,291323,-120862,12813}}

{{145991969,64989065,-123338281,-85635661,79841909,-18146731,1286795}}

{{-5958511844199,3384370785404,8437850634901,489428412300,-4499161007143,1776194531596,-258931801371,13131073916}}

Điều này chỉ đơn giản là tìm thấy vectơ sao cho (A - I)v = 0tương tự như mã MAPLE trong OEIS. Các NullSpacephương pháp dường như luôn luôn chọn số dương tối thiểu cho các yếu tố cuối cùng, mà phù hợp với mô tả công việc.

Các quyết định x^c-…/.x->rlà để ngăn chặn có 0^0 == Indeterminate.

Pari / GP , 64 byte

n->a=matkerint(Mat([powers(i,n)|i<-[0..n]]~)-1);a*sign(a[n+1,1])

Trả về các hệ số dưới dạng một vectơ cột.

Hãy thử trực tuyến!