Trực giác của tôi luôn là khi bất kỳ quả cầu nào được chiếu vào không gian 2D thì kết quả sẽ luôn là hình elip (hoặc một vòng tròn trong các trường hợp suy biến).

Trước đây khi tôi đang tích cực thực hiện chương trình đồ họa của riêng mình và đưa nó lên với những người khác, họ đã kiên quyết rằng tôi đã sai. Nếu tôi nhớ lại một cách chính xác, họ tin rằng kết quả có thể là một cái gì đó mơ hồ "hình quả trứng".

Ai đã đúng?

Vì đã có một câu trả lời được gửi, tôi không muốn thay đổi hoàn toàn câu hỏi của mình nhưng tôi nhận ra mình đã bỏ qua các chi tiết quan trọng do mất đi sự quen thuộc với lĩnh vực này trong nhiều năm qua.

Tôi dự định hỏi cụ thể về phép chiếu phối cảnh trong đó phép chiếu là một ứng dụng tuyến tính .

Các dự đoán khác tất nhiên là thú vị cho nhiều mục đích sử dụng vì vậy tôi không muốn loại bỏ chúng vào thời điểm này. Nhưng sẽ thật tuyệt nếu câu trả lời có thể có hình chiếu phối cảnh là phần nổi bật nhất của chúng.

Giả sử một hình chiếu phối cảnh và một điểm nhìn bên ngoài hình cầu, thì 'ranh giới' được hình thành bởi điểm nhìn và vòng tròn trên hình cầu tạo thành đường chân trời WRT điểm nhìn, sẽ là một hình nón.

Thực hiện phép chiếu phối cảnh (lên một mặt phẳng) sau đó tương đương với việc giao hình nón này với mặt phẳng do đó tạo ra một phần hình nón. FYI bốn trường hợp, không suy thoái, được hiển thị trong hình ảnh này từ Wikipedia

Do đó, một hình elip / vòng tròn là một khả năng, nhưng không phải là duy nhất - parabolas hoặc hyperbol không liên kết (và tôi đoán nếu máy bay đi qua mắt, thậm chí trường hợp thoái hóa) là có thể.

Điều này giống như một nhận xét dài cho câu trả lời của @ SimonF rằng tôi đang cố gắng để làm cho một phần khép kín.

Tất cả các vết cắt của hình nón là có thể, hyperbola, parabola và hình bầu dục. Điều này rất dễ kiểm tra bằng cách vẽ hình ảnh trong động cơ 3D bằng một camera góc cực rộng. Xoay máy ảnh để nói ở góc 30 độ để đối tượng không ở giữa tiêu điểm của bạn. Sau đó dần dần di chuyển máy ảnh đến gần quả cầu.

Hình 1: Bay rất gần một quả cầu nhìn hơi lệch sang một bên. Chú ý cách chúng ta đột nhiên đâm thủng bề mặt bên trong.

Vì vậy, để tóm tắt lại khi hình cầu rất gần để nó thoát khỏi hình ảnh trong hình ảnh rộng, nó có thể là một parabola hoặc hyperbola. Nhưng hình dạng sẽ chỉ thoát khỏi khung để làm như vậy.

Các hệ thống chiếu được sử dụng để chuyển đổi hình dạng 3D thành hình phẳng (2D).

Theo loại hệ thống chiếu, các kết quả và hình dạng khác nhau như hình chữ nhật, bánh nướng, hình elip, hình tròn, ... có thể được tạo ra từ một hình cầu.

Các hệ thống chiếu có thể được phân loại theo các đặc điểm của kết quả mà chúng tạo ra.

Để tiếp tục, tôi muốn sử dụng một ví dụ rất dễ hiểu và phổ biến mà chúng ta đã thấy trước đây, hình cầu Trái đất và bản đồ toàn cầu, chúng ở khắp mọi nơi.

Giả sử hình cầu của bạn là trái đất!

Hãy tưởng tượng trái đất là hình cầu của bạn và bản đồ thế giới phẳng được tạo ra từ hình dạng hình cầu của trái đất. Trong hầu hết các bản đồ thế giới, bạn thấy các quốc gia gần cực đang ngày càng lớn hơn so với thực tế, như Iceland là 1/14 của lục địa châu Phi trong thực tế nhưng bản đồ cho thấy cả hai đều bằng nhau. Điều này là do khi chúng ta bỏ qua một chiều, chúng ta sẽ mất một đặc điểm của hình dạng.

Hệ thống chiếu khác nhau và kết quả của họ

Đây là một hình chiếu phẳng không bảo tồn khoảng cách, góc hoặc diện tích. Các vòng tròn màu đỏ cho thấy mức độ phóng đại là sản phẩm của phép chiếu này.

Equal-Area, nhìn vào Iceland và Châu Phi trong cái này và so sánh với ở trên.

Hệ thống chiếu có thể được phân loại theo những gì họ bảo tồn.

1. Diện tích bằng nhau.
2. Góc bằng nhau bảo tồn hình dạng mà không bị biến dạng (phù hợp).
3. Khoảng cách bằng nhau.
4. ......

Các phép chiếu phù hợp bảo tồn các hình dạng nhưng diện tích sẽ không được bảo tồn (hình đầu tiên ở trên) đây là hệ thống chiếu nổi tiếng nhất được sử dụng trong nhiều ứng dụng. Hình cầu của bạn là một hình chữ nhật ở đây!

Vì vậy, bạn không thể nói một hình cầu sẽ được chiếu thành hình elip luôn. Như đã đề cập ở trên, một hình cầu có thể được chiếu thành hình chữ nhật (hình đầu tiên) hoặc có thể là hình elip nhưng với các đặc điểm khác nhau (góc bằng nhau, khoảng cách, hình dạng, diện tích - xem hình sau), hoặc bạn cũng có thể chiếu hình cầu vào hình nón và sau đó mở hình nón để bạn sẽ có một chiếc bánh.

Mỗi hệ thống chiếu ở trên có thể được áp dụng với các thuật toán lặp hoặc trực tiếp có thể tìm thấy trên internet. Tôi đã không nói về công thức và biến đổi bởi vì bạn đã không hỏi. Mặc dù tôi muốn bạn tìm thấy câu trả lời này hữu ích.

Trong các hình chiếu phối cảnh tôi nói có, chỉ các hình elip sẽ được tạo ra từ các hình cầu

Cắt một hình nón với mặt phẳng nằm ngang tạo ra một vòng tròn.

Cắt bằng mặt phẳng xiên tạo ra một góc xiên sẽ là hình elip hoặc hyperbola tùy thuộc vào góc cắt và khi góc này nghiêng theo chiều dọc sẽ tạo ra một hình parabol (hình sau).

Có thể điều này là hiển nhiên nhưng hãy xem phương trình của họ.

Để đơn giản, tôi giả sử tất cả các hình học là nguồn gốc tập trung.

Phương trình:

$x^2+y^2=r^2$

$x^2/a^2+y^2/b^2=1$

$x^2/a^2-y^2/b^2=1$

$y^2=4ax$

Hình thái:

Một hình elip có hai tiêu điểm rõ ràng. Một vòng tròn như một loại dấu chấm lửng đặc biệt cũng có hai tiêu điểm nhưng chúng trùng nhau. Tuy nhiên, một hyperbola là gương trục ay của dấu chấm lửng bằng nhau và nó cũng có hai tiêu điểm. Một parabola có một tiêu điểm nhưng thực tế nó có hai tiêu điểm vì cái thứ hai ở vô cực: khi mặt phẳng cắt nghiêng 90 độ (góc mang), tiêu điểm thứ hai chuyển sang vô cực.

Phần kết luận

Như bạn thấy tất cả đều là hình elip, tuy nhiên bạn có thể đặt tên chúng theo cách khác để mô tả các trường hợp đặc biệt, nhưng nếu bạn định thực hiện nó trong trò chơi, bạn cần giả sử một phương trình hình elip và thế là đủ. Tôi không thể nói ai trong số các bạn nói đúng, bạn hoặc bạn của bạn, bởi vì cả hai đều đúng.

Lý luận của SimonF về cơ bản đã thuyết phục tôi, nhưng tôi quyết định kiểm tra sự tỉnh táo. Tôi đã tải lên một cấp độ UE4 có một số hình cầu, như thế này:

Tôi đặt FOV của máy ảnh lên tới 160 độ để tạo ra nhiều biến dạng phối cảnh và đặt nó sao cho hình cầu nằm gần góc của hình ảnh:

Sau đó, tôi đã đưa nó vào Inkscape và sử dụng công cụ hình elip để vẽ trên đó:

Sự ngạc nhiên! Đó là một sự phù hợp hoàn hảo!

Không có parabolas hoặc hyperbolas được hình thành khi cắt một quả cầu một lần. Không có hình elip nào ngoại trừ trường hợp đặc biệt là hình tròn. Kết quả luôn là hình tròn. Nếu bạn chiếu quả cầu lên mặt phẳng nghiêng, bạn sẽ có hình elip