Sự kết hợp của sóng hài bán cầu

Hình cầu sóng hài (SH) là một cách để biểu diễn các hàm hình cầu tần số thấp chỉ với một số ít hệ số. Chúng có một số tính chất toán học tốt, ví dụ: tích chập có hàm nhân h (x) (có đối xứng tròn) có thể được tính như

$(h * f) ^ m_l = \ sqrt {\ frac {4 \ pi} {2l + 1}} h ^ 0_l f ^ m_l$

Trong trường hợp tích chập với thùy cosine cho cấp 3 SH, điều này dẫn đến việc chia tỷ lệ đơn giản của các dải với các yếu tố

$[\ pi, \ frac {2 \ pi} {3}, \ frac {\ pi} {4}]$

Trong nhiều trường hợp, ví dụ ánh sáng tới cho một điểm nhất định trên bề mặt mờ, không cần thông tin hình cầu đầy đủ, vì một nửa hình cầu là zero / không xác định / không được sử dụng. Do đó, Hòa âm bán cầu (HSH) đã ra đời.

Làm thế nào để tích chập với một hạt nhân tùy ý (với đối xứng tròn) hoạt động cho HSH? Sự tích chập từ SH có thể được gia hạn hay có bất kỳ bài viết nào đi vào chi tiết về điều này không?

hemisphere

— David Kuri
nguồn

Bạn viết "hạt nhân tùy ý với tính đối xứng tròn": Điều đó không có nghĩa là bạn thực sự chỉ cần tích chập với phần Hòa âm Zonal (Bán cầu)? Nếu trục đối xứng của bạn khác, bạn vẫn có thể sử dụng nó bằng cách thêm các phép quay trước và sau khi tích chập Zonal. Làm thế nào để thực hiện các phép quay được mô tả trong bài báo. Tích hợp với phần Zonal (m = 0) nên tương đối dễ dàng. Tuy nhiên, như với Hòa âm hình cầu, nó sẽ không thể phân tích được cho các chức năng tùy ý. Những thứ đơn giản như thùy cosine sẽ hoạt động tốt (mặc dù chưa thử).

— Wumpf

@Wumpf Bạn nói đúng, đó là những gì nó sôi nổi. Đối với SH, tôi chỉ chia tỷ lệ "mỗi dải của f theo số hạng m = 0 tương ứng từ [hàm kernel] h" (trích dẫn Thủ thuật SH ngu ngốc của Sloan). Câu hỏi là, tôi có thể làm tương tự cho HSH không?

— David Kuri

Câu trả lời này cố gắng đưa ra một cái nhìn tổng quan ngắn về một số khía cạnh quan trọng. Vì định nghĩa HSH khá phức tạp và tôi không thể tìm thấy tổng quan về một số chức năng được đánh giá trước, tôi đã không cung cấp các ví dụ đơn giản vì nó sẽ khiến tôi mất quá nhiều thời gian ngay bây giờ.

Mô tả sự cố & Brute Force

Để xác định tích chập bất kỳ với bất kỳ tập hợp hàm cơ sở nào và do đó tính toán các hệ số, chúng ta thường cần tính tích phân trên miền (= hình cầu cho SH, bán cầu cho HSH). Tất cả mọi thứ chúng ta cần làm, để biểu diễn hàm bán cầu f , được xác định qua các góc theta ("lên / xuống") và phi ("trái / phải"), thông qua hệ số c cho các hàm cơ sở HSH H là như sau:

$\ int_0 ^ {2 \ pi} \ int_0 ^ {\ frac {2} {\ pi}} f (\ theta, \ phi) \ cdot H_l ^ m (\ theta, \ phi) \ cdot sin (\ theta) \ , \, \ mathrm {d} \ theta \ mathrm {d} \ phi$

Các sin (theta) là có bởi vì chúng tôi tích hợp trên bề mặt của một (tiếp đầu ngữ nghĩa là nữa) hình cầu. Về mặt khái niệm, kích thước của một khu vực xuất phát từ việc thay đổi phi lớn hơn hoặc nhỏ hơn trên theta hiện tại. Thêm về điều này ở đây

Nếu chúng ta không quan tâm quá nhiều đến độ chính xác hoặc thời gian tính toán, chúng ta có thể giải quyết vấn đề này một cách đơn giản bằng cách lấy mẫu: Tạo các hướng phân phối (!) Trên bán cầu, tính toán sản phẩm của f và H và tính trung bình các kết quả (nếu bạn thực sự phân phối đều điểm bạn không cần tội lỗi (theta) ).

Bắt đầu với một giải pháp phân tích

Tất nhiên chúng tôi rất thích có một giải pháp phân tích cho chức năng của chúng tôi, nhưng đây là nơi mọi thứ có thể trở nên rất khó khăn. Bước đầu tiên, chúng ta có thể cần phải chuyển đổi một hàm được đưa ra theo hướng của Cartesian thành tọa độ hình cầu. Phần này vẫn dễ dàng, chỉ cần thay thế tất cả x, y và z của bạn như sau:

$(x, y, z) \ rightarrow (\ sin \ theta \ cos \ phi, \ sin \ theta \ sin \ phi, \ cos \ theta)$

Lưu ý rằng điều này cung cấp cho chúng ta một hệ thống trong đó trục z là "lên" của bán cầu (theta = 0) sẽ được đại diện bởi HSH. Sau đó, có thể đã chèn mọi thứ vào hệ thống đại số máy tính và giải phương trình. Đừng cố gắng giải quyết tất cả các m & l mà nên thử một hệ số tại một thời điểm, vì không chắc là có một biểu thức nhỏ gọn mô tả tất cả chúng cùng một lúc. Định nghĩa của HSH tương đối phức tạp, khiến cho việc đánh giá các chức năng này trở nên rất tẻ nhạt. Trong bài báo này, các hàm cơ sở HSH bậc 0 và bậc 1 được đề cập trong tọa độ cartesian.

Ghi chú về Xoay và Hòa âm Zonal

Các hàm đối xứng xoay quanh trục z này là những ứng cử viên rất tốt để dẫn xuất phân tích thành công, vì chúng chỉ ảnh hưởng đến các hệ số khu vực , tất cả đều là các hệ số có chỉ số m bằng 0. Điều này đặc biệt hữu ích cho các Hài hòa hình cầu tổng quát hơn, nơi tồn tại một công thức dễ dàng cho phép xoay bất kỳ biểu diễn Hài hòa hình cầu Zon nào sang một hướng tùy ý, dẫn đến biểu diễn Hài hòa hình cầu mà không mất dữ liệu (xem tại đây). Điều này có nghĩa là bạn có thể rút ra các hệ số ZSH bằng cách giả sử rằng "hàm đối xứng xuyên tâm của bạn trỏ đến z" và xoay nó sau đó theo hướng mong muốn. Điều này hoạt động hoàn hảo, ví dụ với các biến thể thùy cosin khác nhau và cũng cung cấp cho bạn các yếu tố bạn đã đề cập trong câu hỏi.

Bây giờ là tin xấu: Đối với HSH, bất kỳ phép quay nào của hàm quanh trục khác với z đều bị mất, vì hàm của bạn sẽ "chạm" vào bán cầu không xác định thấp hơn sau khi xoay. Do đó, cũng không có công thức xoay vòng "Hemi Zonal to HSH" thuận tiện. Thay vào đó, có nhiều cách để làm điều đó với những nhược điểm khác nhau. Để biết thêm chi tiết xem bài báo và bài thuyết trình .

Nhân tiện: Tất cả điều này dễ dàng hơn với H-Basis , cũng là bán cầu (nhưng ban đầu chỉ được xác định cho một số dải tần số giới hạn).

— Wumpf
nguồn