Tại sao để phản xạ hoàn hảo một bề mặt phải có liên tục G2?

Tại sao để phản xạ hoàn hảo một bề mặt phải có tính liên tục G2 (bề mặt loại A)?

Tôi muốn một câu trả lời toán học.

rendering

— Valerio
nguồn

Bất kỳ bối cảnh? Hoặc tham khảo nơi bạn đã đọc nó? Bởi vì nó không có ý nghĩa với tôi. Ngoài ra, nếu tôi không nhầm, tính liên tục Gn chỉ được xác định cho các bề mặt đa thức khôn ngoan, không có lý do gì để một bề mặt là đa thức và trong thực tế, hầu hết các bề mặt là tuyến tính mảnh.

— tom

G2 chỉ đề cập đến khả năng dẫn xuất n hình học, độc lập với bất kỳ tham số hóa nào.

— Fabrice NEYRET

@tom Ông đang nói về thiết kế lướt sóng nói chung như trong CAD. Không, họ không cần phải là đa thức, nhưng trong thực tế, chúng thường là (ngoại trừ vòng cung và hình nón)

— joojaa

@joojaa Hơn tôi vẫn còn băn khoăn tại sao việc sử dụng ký hiệu đặc biệt Gn. Trong toán học có khái niệm tiêu chuẩn về đa tạp Cn. Vậy Gn và Cn có giống nhau không? Tôi nghĩ rằng đa tạp Gn là đa thức mảnh, vì vậy nó là đa tạp C-infty ngoại trừ tại các đường nối vá.

— tom

@tom C liên tục là liên tục tham số và G là liên tục địa lý và trong trường hợp này là liên tục trên 2 hình học riêng biệt.

— joojaa

Câu trả lời:

Những gì bạn thấy trên phản ánh là n-liên tục của quy tắc, là đạo hàm của các vị trí. -> một bề mặt chỉ có G1 sẽ có trường bình thường chỉ có G0, nghĩa là, với sự thay đổi đột ngột của độ dốc trong các quy tắc (và do đó, phản xạ), mà mắt có thể nhận thấy. Bề mặt G2 có các trường quy tắc G1, đủ mịn cho mắt của bạn.

— NEYRET Fabrice
nguồn

G0 Continuity có nghĩa là các bề mặt riêng biệt gặp nhau,
G1 Liên tục mà các bề mặt gặp nhau ở cùng một góc,
G2 Continuity có nghĩa là sự thay đổi góc khớp với điểm tiếp xúc.

Yêu cầu G2 không có nghĩa là bề mặt có chất lượng tốt. Chỉ có nghĩa là không có điều này, bề mặt sẽ không có một luồng phản xạ liên tục để con người có thể thấy sự khác biệt. Điều đó có thể hoặc không thể là một điều tốt phụ thuộc vào những gì bạn muốn.

Về mặt toán học, bề mặt bình thường là:

$f(u,v) \frac{\partial}{\partial u} \times f(u,v) \frac{\partial}{\partial v}$

Vì cả hai mặt đều có nghĩa là trường chức năng của bề mặt bình thường có một độ nhỏ hơn bề mặt ban đầu. Vì vậy, để sự phản chiếu là mức độ thứ nhất liên tục, nó phải có một mức độ liên tục thứ hai.

Cho đến nay chúng tôi đã thiết lập mối quan hệ giữa tính liên tục của bề mặt và tính liên tục của sự phản chiếu. Không có gì cho đến nay chứng minh rằng sự phản xạ bề mặt cần phải liên tục mức độ đầu tiên. Để hiểu lý do tại sao chúng ta phải thoát khỏi lĩnh vực toán học và đi vào lĩnh vực sinh học.

Mắt được trang bị thuật toán phát hiện cạnh ở cấp độ cấu trúc ngay trên võng mạc. Thuật toán phát hiện cạnh này về bản chất hoạt động như một đạo hàm riêng biệt của tín hiệu đầu vào. Vì vậy, nếu bề mặt của bạn không phải là G2 liên tục thì phát hiện cạnh của con người sẽ xuất hiện và tự hiện lên. Đối với tài liệu tham khảo đọc trên Mach Band và vv.

Vì phát hiện cạnh là liên tục G2 rời rạc là không đủ. Sự thay đổi không chỉ được thỏa mãn cục bộ mà còn được thỏa mãn trên võng mạc. Vì vậy, sự thay đổi vẫn phải đủ nông để không gây ra vấn đề.

— joojaa
nguồn

"Sự thay đổi không chỉ được thỏa mãn cục bộ mà còn được thỏa mãn trên võng mạc" nghĩa là gì?

— Dan Hulme

Mắt không ghi tín hiệu liên tục. Nó rời rạc, vì vậy ngay cả khi bề mặt của bạn về mặt kỹ thuật có thể đáp ứng điều kiện được trình bày ở cấp độ toán học. Nó có thể là không đủ nếu khoảng cách mẫu dicret không thấy sự thay đổi. Vì vậy độ dốc vẫn phải đủ lớn để mắt người có thể chú ý.

— joojaa

Nghe có vẻ như bạn đang nói rằng đạo hàm (của bình thường) không nhất thiết phải liên tục, nhưng đạo hàm của nó phải ở dưới một giới hạn nào đó. Nếu đó là những gì bạn muốn nói, tôi nghĩ rằng đoạn cuối câu trả lời của bạn có thể rõ ràng hơn.

— Dan Hulme

@DanHulme nó không phải là một giới hạn phái sinh, nó không phải là một câu hỏi về độ dốc, mà chỉ là sự xen kẽ của độ dốc. Vì vậy, đó là về một mẫu riêng biệt. Vì vậy, một góc rất sắc nét nhưng sự khác biệt nhỏ về độ dốc có vẻ liên tục. Tương tự như vậy, những thay đổi liên tục dưới một bức tường ngắn có vẻ sắc nét. Nó không phải là về toán học mà là về lấy mẫu. Nó chỉ khó để qantify như là một hệ thống sinh học.

— joojaa