Là quan điểm toán học của tôi đúng?

Tôi đã có một bài tập về nhà trong đó tôi phải tính toán và vẽ một số điểm bằng cách sử dụng phép biến đổi theo phương pháp, nhưng tôi không chắc kết quả của mình là đúng, vì biểu đồ 3d sử dụng tọa độ Camera trông rất khác so với biểu đồ 2d sử dụng tọa độ hình ảnh . Bạn có thể giúp tôi hiểu những gì sai?

Đây là những gì được đưa ra: Máy ảnh ở điểm W T C = [ - 1 , 1 , 5 ] T , được chỉ định trong tọa độ thế giới (tính bằng mét). Chiếc máy ảnh hệ tọa độ có thể xoay quanh trục y của tham chiếu thế giới bởi θ = 160 o , vì vậy nó của ma trận xoay là w R c = [ c o s ( θ ) 0 s i n ( θ ) 0 1 0 - s i n ($_WT^C = [−1, 1, 5]^T$$\theta = 160^o$$^wR_c = \begin{bmatrix}cos(\theta) & 0 & sin(\theta)\\ 0 & 1 & 0 \\ -sin(\theta) & 0 & cos(\theta)\end{bmatrix}$

Thông số máy ảnh là: , s x = s y = 0,01 m m / p x , o x = 320 p x , o y = 240 p $f = 16mm$$s_x = s_y = 0.01 mm/px$$o_x = 320 px$$o_y = 240px$

Điểm mẫu (theo tọa độ thế giới):

$^WP_1 = [1, 1, 0.5]^T$

$^WP_2 = [1, 1.5, 0.5]^T$

$^WP_3 = [1.5, 1.5, 0.5]^T$

$^WP_4 = [1.5, 1, 0.5]^T$

Tôi phải tính toán và vẽ các điểm trong tọa độ camera và tọa độ hình ảnh, vì vậy tôi đã viết đoạn mã sau trong Octave:

%camera intrinsic parameters
f = 16
Sx = 0.01
Sy = 0.01
Ox = 320
Oy = 240

%given points, in world coordinate
wP1 = transpose([1, 1, 0.5])
wP2 = transpose([1, 1.5, 0.5])
wP3 = transpose([1.5, 1.5, 0.5])
wP4 = transpose([1.5, 1, 0.5])

% camera translation matrix
wTc = transpose([-1, 1, 5])

% rotation angle converted to rad
theta = 160 / 180 * pi

%camera rotation matrix
wRc = transpose([cos(theta), 0, sin(theta); 0, 1, 0; -sin(theta), 0, cos(theta)])

%transform the points to homogeneous coordinates
wP1h = [wP1; 1]
wP2h = [wP2; 1]
wP3h = [wP3; 1]
wP4h = [wP4; 1]

%separate each line of the rotation matrix
R1 = transpose(wRc(1 , :))
R2 = transpose(wRc(2 , :))
R3 = transpose(wRc(3 , :))

%generate the extrinsic parameters matrix
Mext = [wRc, [-transpose(R1) * wTc; -transpose(R2) * wTc; -transpose(R3) * wTc]]

%intrinsic parameters matrix
Mint = [-f/Sx, 0, Ox; 0, -f/Sy, Oy; 0, 0, 1]

% calculate coordinates in camera coordinates
cP1 = wRc * (wP1 - wTc)
cP2 = wRc * (wP2 - wTc)
cP3 = wRc * (wP3 - wTc)
cP4 = wRc * (wP4 - wTc)

% put coordinates in a list for plotting

x = [cP1(1), cP2(1), cP3(1), cP4(1), cP1(1)]
y = [cP1(2), cP2(2), cP3(2), cP4(2), cP1(2)]
z = [cP1(3), cP2(3), cP3(3), cP4(3), cP1(3)]

%plot the points in 3D using camera coordinates
plot3(x, y, z, "o-r")

pause()

% calculate the points in image coordinates
iP1 = Mint * (Mext * wP1h)
iP2 = Mint * (Mext * wP2h)
iP3 = Mint * (Mext * wP3h)
iP4 = Mint * (Mext * wP4h)

%generate a list of points for plotting
x = [iP1(1) / iP1(3), iP2(1) / iP2(3), iP3(1) / iP3(3), iP4(1) / iP4(3), iP1(1) / iP1(3)]
y = [iP1(2) / iP1(3), iP2(2) / iP2(3), iP3(2) / iP3(3), iP4(2) / iP4(3), iP1(2) / iP1(3)]

plot(x, y, "o-r")

pause()

Và đây là những âm mưu tôi có được từ kịch bản: Tôi đã hy vọng chúng có phần giống nhau, nhưng chúng không giống nhau.

Âm mưu trong tọa độ camera

Vẽ trong tọa độ hình ảnh

Xác định các trục của bạn trong cả hai hình và thêm vị trí camera vào hình đầu tiên của bạn sẽ giúp bạn hiểu những gì đang diễn ra.

$x$$y$$z$

$[0, 0, 1]$$[0, 1, 0]$

$0.016$$S_x = S_y = 0.0001$$0.00001$

$[-1,1,x]$$z=0.5$$x$$tan(160°) \cdot (5 - 0.5) = 1.64...$$x=-1$$\approx 0.64$$y$$y$

Một cách tốt để kiểm tra câu trả lời của bạn là sử dụng trình tạo mô hình 3D hiện có như Blender: Hãy thận trọng với hệ tọa độ của Blender, ví dụ như vectơ máy ảnh mặc định là [0, 0, -1]. Đây là kết xuất: Tiêu điểm được đặt thành giá trị khác để làm cho hình cầu rõ hơn. Vì vậy, chúng ta thấy rằng hai điểm dưới cùng nằm ở hàng giữa của hình ảnh và các điểm hơi ở bên phải của hình ảnh.

Tôi đã triển khai bài tập về nhà của bạn bằng Python:

import numpy as np

from matplotlib import pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import axes3d, Axes3D


# Parameters
f_mm = 0.016
f_px = f_mm / 0.00001
t_cam = np.array([[-1., 1., 5.]]).T
t_cam_homogeneous = np.vstack((t_cam, np.array([[0]])))
theta = 160. * np.pi / 180.
ox = 320
oy = 240
# Rotation and points are in homogeneous coordinates
rot_cam = np.array([[np.cos(theta), 0, np.sin(theta)],
                    [0, 1, 0],
                    [-np.sin(theta), 0, np.cos(theta)]])
points = np.array([[1, 1, 0.5, 1],
                   [1, 1.5, 0.5, 1],
                   [1.5, 1.5, 0.5, 1],
                   [1.5, 1, 0.5, 1]]).T

# Compute projection matrix using intrinsics and extrinsics
intrinsics = np.array([[f_px, 0, ox],
                       [0, f_px, oy],
                       [0, 0, 1]])
extrinsics = np.hstack((rot_cam, rot_cam.dot(-t_cam)))

rot_cam2 = np.identity(4); rot_cam2[:3,:3] = rot_cam
camera_coordinates = rot_cam2.dot(points - t_cam_homogeneous)
camera_coordinates = camera_coordinates[:3,:] / camera_coordinates[3,:]

# Perform the projection
projected_points = intrinsics.dot(camera_coordinates)
projected_points = projected_points[:2,:] / projected_points[2,:]
projected_points[0,:] = -projected_points[0,:] # Inverted x-axis because camera is pointing toward [0, 0, 1]

fig = plt.figure()
ax = Axes3D(fig)
ax.scatter(points[0,:], points[1,:], points[2,:], label="Points")
ax.scatter(t_cam[0], t_cam[1], t_cam[2], c="red", label="Camera")
ax.set_xlabel("X axis"); ax.set_ylabel("Y axis"); ax.set_zlabel("Z axis")
plt.title("World coordinates")
plt.legend()
plt.savefig('world_coordinates.png', dpi=300, bbox_inches="tight")

fig = plt.figure()
ax = Axes3D(fig)
ax.scatter(camera_coordinates[0,:], camera_coordinates[1,:], camera_coordinates[2,:], label="Points")
ax.scatter(0, 0, 0, c="red", label="Camera")
ax.set_xlabel("X axis"); ax.set_ylabel("Y axis"); ax.set_zlabel("Z axis")
plt.title("Camera coordinates")
plt.legend()
plt.savefig('camera_coordinates.png', dpi=300, bbox_inches="tight")

plt.figure()
plt.scatter(projected_points[0,:], projected_points[1,:])
plt.xlabel("X axis"); plt.ylabel("Y axis")
plt.title("Image coordinates")
plt.savefig('image_coordinates.png', dpi=300, bbox_inches="tight")

plt.show()

Điều này mang lại cho tôi những số liệu: Tương ứng: Tọa độ thế giới, Tọa độ máy ảnh, Tọa độ máy ảnh được xoay để khớp với hướng máy ảnh một chút (lưu ý rằng ở đây vectơ camera đi về phía quan điểm hình, nó không "nhập" hình) và tọa độ hình ảnh.

Vì vậy, chúng ta thấy rằng tọa độ dọc cho các điểm dưới cùng là chính xác ở hàng giữa (240) và các điểm nằm ở bên phải của hình ảnh (giá trị ngang> 320).

-f/Sxy$[0, 0, 1]$$x$

$[0, -1, 0]$