Cần một nguồn có uy tín cho công thức cho hình dạng đường chân trời của Trái đất

Những gì tôi đang yêu cầu

Tôi nhấn mạnh rằng tôi không yêu cầu công thức --- Tôi biết công thức và làm thế nào để lấy được nó. Một số phiên bản khác nhau của nó được sao chép gần cuối bài. Trên thực tế, một người khác không chỉ bắt nguồn từ nó mà còn trình bày độc đáo một trong những dẫn xuất ở đây .

Những gì tôi cần là một nguồn có uy tín cho công thức để, ví dụ, người ta có thể đưa nó lên Wikipedia mà không vi phạm lệnh cấm báo cáo nghiên cứu ban đầu. [Mọi người đã thực sự cố gắng ... Nhưng bài báo có liên quan có một biên tập viên rất có lương tâm đã xóa phần này với lý do là nghiên cứu ban đầu ... và, thật không may, biên tập viên là chính xác, vì vậy không có nhiều điểm trong việc thử để chiến đấu với nó.]

Lý do tôi đăng bài trong Đồ họa máy tính stackexchange

Vì ai đó ở đây có thể đã mô hình hóa cách Trái đất hình thành quỹ đạo, có lẽ người đó có thể biết liệu công thức này (hoặc, nhiều khả năng, một số khái quát của nó) được xuất bản trong một số cuốn sách, tạp chí, hoặc thủ tục hội nghị, hoặc ghi chú lớp học , Vân vân.

Tôi đã thực hiện "do googling"

Xin hãy hiểu rằng tôi không yêu cầu ai đi tìm câu trả lời thay cho tôi. Tôi đã thực hiện rất nhiều việc và đã chỉ đăng ở đây như là phương sách cuối cùng. Hy vọng (rất xa vời) của tôi là ai đó ở đây sẽ đơn giản biết một tài liệu tham khảo ngay lập tức; nếu không ... tốt, tôi hy vọng ít nhất bạn thích bức ảnh đẹp dưới đây (nếu tôi tự nói như vậy, với nhận thức đầy đủ Tôi đang nói chuyện với những người quan tâm đến đồ họa máy tính của tất cả mọi thứ) trước khi bạn chuyển sang lớn hơn và tốt hơn nhiều thứ.

Hai nguồn đến gần

1. DK Lynch, "Trực quan làm sáng tỏ độ cong của Trái đất," Quang học ứng dụng tập. 47, H39 (2008). Nó là miễn phí có sẵn ở đây . Thật không may, thay vì thực hiện đúng cách (điều đó không khó lắm), tác giả đã chọn cách hack, điều này (a) tôi không hoàn toàn hiểu và (b) không đồng ý với những gì tôi biết là công thức đúng

2. R. Hartley và A. Zisserman, Hình học nhiều góc nhìn trong thị giác máy tính, tái bản lần 2. (Nhà xuất bản Đại học Cambridge, Cambridge UK, 2004). Trong giây. 8.3, "Hành động của một máy ảnh phóng chiếu trên tứ giác", chúng tôi đọc :

Giả sử tứ giác là một hình cầu, sau đó hình nón của các tia giữa tâm camera và tứ giác là hình tròn bên phải, tức là bộ tạo đường viền là một hình tròn, với mặt phẳng của hình tròn trực giao với đường thẳng nối giữa camera và tâm hình cầu. Điều này có thể được nhìn thấy từ sự đối xứng quay của hình học về dòng này. Hình ảnh của hình cầu thu được bằng cách giao hình nón với mặt phẳng hình ảnh. Rõ ràng rằng đây là một phần hình nón cổ điển, do đó đường viền rõ ràng của một hình cầu là một hình nón.

Về nguyên tắc, đây sẽ chính xác là những gì cần thiết, nếu chỉ cần thêm một chút thông tin --- ít nhất là một biểu thức cho độ lệch tâm của hình nón như là một hàm của khoảng cách đến hình cầu và bán kính hình cầu (trong trường hợp khi chiếc máy bay hình ảnh vuông góc với một đường sinh một mặt của hình nón, như là trường hợp khi máy ảnh pinhole là hướng vào một điểm trên đường chân trời).

Chi tiết về công thức mà tôi cần một tài liệu tham khảo học thuật

Chúng ta giả sử một Trái đất hoàn toàn hình cầu, hoàn toàn mịn màng không có bầu khí quyển. Chúng tôi hướng máy ảnh pinhole lý tưởng hóa ở đường chân trời, và, bằng cách sử dụng phép chiếu trung tâm đơn giản, tính toán hình dạng của hình ảnh đường chân trời ở mặt sau của máy ảnh (tức là hình dạng mà nó sẽ có trên phim --- "mặt phẳng phim") . Đây là một hình ảnh (được thực hiện trong Asymptote , dành cho những người quan tâm) sẽ làm cho điều này rõ ràng hơn:

Như chúng ta đã thấy ở trên, hình ảnh của đường chân trời là một phần của phần hình nón. Hãy là độ lệch tâm của hình nón; thay vào đó, đạo hàm tôi đã đề cập ở trên sử dụng tham số k , chỉ là độ lệch tâm nghịch đảo: k = 1 / ε . Độ lệch tâm bản thân được cho là ε = 1 / $\varepsilon$$k$$k=1/\varepsilon$ , nơiε=h/Rlà tỷ số giữa độ caohcủa pinhole trên bề mặt của Trái đất và bán kính Trái ĐấtR. [Thay vì sử dụngε, đó là tỷ số giữađộ caođểR, nó có thể hữu ích để sử dụngη, tỷ lệkhoảng cách của pinhole đến trung tâm của Trái Đất,h+R, để bán kính của Trái Đất:η=(R+h)/R=$\varepsilon=1/\sqrt{\epsilon(2+\epsilon)}$$\epsilon=h/R$$h$$R$$\epsilon$$R$$\eta$$h+R$ . Về η , chúng tôi có ε = 1 / $\eta=(R+h)/R=1+\epsilon$$\eta$ ]$\varepsilon=1/\sqrt{\eta^{2}-1}$

Khoảng cách từ lỗ kim (điểm trong đồ họa) đến mặt phẳng phim được lấy là một đơn vị chiều dài.$P$

Các trục trong mặt phẳng phim được chọn để trở thành song song với đường nối trung tâm của Trái Đất C (không hiển thị trong hình) và điểm trên đường chân trời (nhãn V trong hình ảnh) mà tại đó các camera được đào tạo. Lựa chọn này được xác định rõ vì dòng C V phải song song với mặt phẳng phim. Lý do cho điều này là cả C V và mặt phẳng phim đều vuông góc với đường ngắm P V (đường nối P và V ). Và đó là vì 1. đường thẳng P V tiếp xúc với Trái đất tại V , do đó vuông góc với$y$$C$$V$$CV$$CV$$PV$$P$$V$$PV$$V$ , và 2. P V vuông góc với mặt phẳng phim vì máy ảnh được đào tạo tại V . Các x trục là dĩ nhiên vuông góc với y trục và nằm trong mặt phẳng phim, và nguồn gốc được chọn làm chiếu của điểm V .$CV$$PV$$V$$x$$y$$V$

Với những định nghĩa này, chúng ta đã sẵn sàng viết ra một đại diện cho phần hình nón là hình ảnh của đường chân trời của Trái đất. Điều này có thể được viết theo nhiều cách, một số trong đó được đưa ra dưới đây. Những gì tôi cần là một tài liệu tham khảo có uy tín cho bất kỳ một trong những công thức này, hoặc cho một công thức tương đương với chúng.

1. Công thức rõ ràng được đưa ra trong đạo hàm được đề cập ở trên

Đạo hàm tôi đã đề cập ở trên cung cấp cho điều này như là phiên bản cuối cùng:

$[\,y\,(1/\varepsilon-\varepsilon)-1\,]^{2}+x^{2}(1/\varepsilon^{2}-1)=1.$

Chúng ta hãy đại diện cho điều này trong một vài cách bổ sung.

2. Biểu thức dưới dạng phương trình chính tắc của một phần hình nón

Trong trường hợp này, phương trình có dạng sau :

,$x^2=2\mu y-(1-\varepsilon^{2}) y^2$

ở đâu, trong trường hợp của chúng tôi, .$\mu=\varepsilon$

Ưu điểm của hình thức chính tắc là nó có thể xử lý tất cả các hình nón trên một nền tảng bằng nhau, đặc biệt là trường hợp của parabol, . Trong công thức `` tiêu chuẩn '' (xem bên dưới), trường hợp của parabol chỉ có thể được xử lý bằng cách lấy giới hạn ε → 1 .$\varepsilon=1$$\varepsilon\to 1$

Thông tin chi tiết: công thức trên giữ trong trường hợp của một hình nón tròn đúng, mà bên phép tính một góc , được giao nhau --- ở khoảng cách d từ đỉnh của hình nón --- bởi một chiếc máy bay ở một góc ω tương đối đến trục hình nón. (Để làm rõ: d là khoảng cách từ đỉnh hình nón đến điểm trên hình elip gần với đỉnh hình nón nhất; điểm đó luôn là một trong các đầu của trục chính của hình elip). Trong trường hợp tổng quát này, độ lệch tâm được cho là ε = cos ω / cos θ , trong khi μ = d ( ε - cos |$2\theta$$d$$\omega$$d$$\varepsilon=\cos \omega/\cos \theta$ .$\mu=d(\varepsilon-\cos|\omega+\theta|)$

Về mặt đồ họa trên: là khoảng cách từ P đến mặt phẳng phim (nghĩa là khoảng cách dọc theo đường màu đỏ chấm); θ là góc giữa đường đỏ rải rác và trục của hình nón (đó là đường nối P và trung tâm của Trái Đất --- phần mở rộng của dòng đen dán nhãn h trong đồ họa); góc ω là góc giữa trục của hình nón và mặt phẳng phim.$d$$P$$\theta$$P$$h$$\omega$

$\omega+\theta=\pi/2$$d=1$$\mu=\varepsilon$

3. Biểu hiện dưới dạng '`mẫu chuẩn' của phần hình nón

Hình thức này có lẽ là quen thuộc nhất:

$\frac{(x-x_{0})^{2}}{p^2}+\frac{(y-y_{0})^{2}}{q^2}=1$

Nó liên quan đến các tham số nhập phương trình chính tắc (xem 2., ở trên) như sau:

$x_{0}=0$

$y_{0}=q=\frac{\mu}{1-\varepsilon^{2}}$$\frac{\varepsilon}{1-\varepsilon^{2}}$$y_{0}=q$

$p=q\smash[b]{\sqrt{|1-\varepsilon^{2}|}}=\frac{\mu}{\smash[b]{\sqrt{|1-\varepsilon^{2}|}}}$$\frac{\varepsilon}{\smash[b]{\sqrt{|1-\varepsilon^{2}|}}}$

$\varepsilon=1$$\varepsilon\to 1$

4. Biểu thức dưới dạng đường cong tham số

$x=\frac{(\epsilon+1) \cos (\alpha )}{\sin (\alpha )+\epsilon(\epsilon+2)}$

$y=\frac{\sqrt{\epsilon (\epsilon+2)} (\sin (\alpha )-1)}{\sin (\alpha )+\epsilon (\epsilon+2)},$

$\alpha$$\alpha=\pi/2$$V$

Để biết cách người ta có thể sử dụng các công thức này, hãy xem cái này .

Tóm lại là...

Có ai nhìn thấy các công thức trên trong một số nguồn có uy tín, có thể trong bối cảnh mô hình hóa Trái đất trông như thế nào từ không gian? Nếu vậy, bạn có thể cho tôi biết nguồn này là gì không?

Cảm ơn!

Đường cong bạn đang tìm kiếm chỉ là giao điểm của một mặt phẳng (mặt sau của máy ảnh) và một hình nón tròn bên phải. Đây thực sự không phải là một câu hỏi về trái đất, hoặc quan điểm của các hành tinh từ không gian; nó chỉ đơn giản là hình học tọa độ 3D đơn giản. Để tìm tài liệu tham khảo, tôi khuyên bạn nên tìm kiếm "giao điểm của mặt phẳng và hình nón" hoặc "phần mặt phẳng của hình nón" hoặc "phần mặt phẳng của hình tứ giác", đại loại như thế.

Tôi hy vọng rằng bạn có thể tìm thấy các công thức có liên quan (và các dẫn xuất) trong bất kỳ văn bản tiêu chuẩn nào trên hình học tọa độ 3D. Một số nơi có khả năng là:

• Cá hồi - Một chuyên luận về hình học phân tích của ba chiều
• Somerville - Hình học phân tích của ba chiều
• Snyder và Sisam - Hình học phân tích không gian

Đây đều là những cuốn sách khá cũ và bạn có thể gặp khó khăn khi tìm chúng.

Bạn cũng có thể thử hỏi trên Math.StackExchange.

Gọi đạo hàm là "nghiên cứu ban đầu" có vẻ vô lý, với tôi. Đó là một vấn đề bài tập về nhà ở trường trung học trong hình học giải tích.